直交群と回転群｜O(n) と SO(n) の定義から、Euler の回転定理と正多面体まで

${\mathbb{R}}^n$ の標準内積を保つ線型変換の全体を、$n$ 次直交群 $O(n)$ といいます。

$$O(n)=\{A\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid A^{\top }A=I\}$$

条件 $A^{\top }A=I$ は、$A$ の列が正規直交基底をなすことと同じ。行列式が $1$ のものだけを集めると、回転の全体 $SO(n)$ になる。

長さを保つことと同じ

内積を保つことと、長さを保つことは同じ条件です。長さから内積を $⟨x,y⟩=(|x+y{|}^2-|x{|}^2-|y{|}^2)/2$ で復元できるから。

だから、原点を動かさず距離も変えない線型写像を集めれば、それが $O(n)$ になる。

どれか 1 つを確かめれば、残りも自動的に付いてくる。

例：2 次の直交行列を書き下す

$n=2$ で条件を解いてみます。1 列目を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ とおけば、長さ $1$ の条件は自動的に満たされる。

2 列目はこれと直交して長さ $1$ なので、$(-\sin \theta ,\cos \theta )$ か $(\sin \theta ,-\cos \theta )$ の 2 通りしかありません。

前者が行列式 $1$ の回転、後者が行列式 $-1$ の鏡映。$O(2)$ はこの 2 系列だけでできている。

行列式は 1 か -1 になる

$A^{\top }A=I$ の両辺の行列式をとります。

$$(\det A{)}^2=1$$

だから $\det A$ は $1$ か $-1$ に限られる。逆行列も簡単で、$A^{-1}=A^{\top }$ になる。

行列式が $0$ でないので、$O(n)$ は $G{L}_n(\mathbb{R})$ の部分群。

特殊直交群と 2 つの連結成分

行列式 $1$ の元だけを集めた $SO(n)$ は、行列式という準同型の核です。だから正規部分群で、指数は $2$ になる。

$$O(n)/SO(n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

位相の側から見ると、$O(n)$ は連結成分をちょうど 2 つ持つ。$SO(n)$ が単位元を含むほうの成分で、もう一方は群になりません。

$O(n)$ はコンパクトになる。列が単位ベクトルなので成分が $1$ 以下に収まり、しかも閉集合だからです。

SO(2) は円周

$SO(2)$ の元は角度 1 つで決まります。

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

掛け算は角度の足し算になり、$R_{\alpha }{R}_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$ が成り立つ。

だから $SO(2)$ は円周 $S^1$ と同型で、可換群です。$\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ と書いても同じもの。

O(2) は半直積

$O(2)$ には、鏡映が加わります。鏡映を 1 つ選んで $s$ とすると、$O(2)$ の元は $R_{\theta }$ か $R_{\theta }s$ の形に書ける。

しかも $s{R}_{\theta }{s}^{-1}=R_{-\theta }$ になる。鏡に映すと回転の向きがひっくり返る、という関係です。

だから $O(2)\cong SO(2)⋊\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ という半直積。直積にはならない。

鏡映で生成される

$O(n)$ の元は、鏡映だけで作れます。しかも高々 $n$ 個で足りる。

これが Cartan-Dieudonné の定理です。$n=2$ なら、鏡映 2 つの積が回転になる。

2 枚の鏡のなす角を $\phi$ にすると、合成は $2\phi$ の回転になる。$SO(n)$ の元は偶数個の鏡映の積で、$\det$ が $(-1)$ の偶数乗として $1$ になる。

Euler の回転定理

3 次元の回転は、かならず軸を持ちます。$A\in SO(3)$ が固有値 $1$ を持つ、という主張。

証明は行列式の計算だけで済む。$A{A}^{\top }=I$ から $A-I=A-A{A}^{\top }=A(I-A^{\top })$ と書けます。

行列式をとると、$\det A=1$ なので次のようになる。

$$\det (A-I)=\det (I-A^{\top })=\det (I-A)=-\det (A-I)$$

最後の等号は $I-A=-(A-I)$ と、$3$ が奇数であることから出ます。あわせて $\det (A-I)=0$。

固有値 $1$ の固有ベクトルが、そのまま回転軸になる。

奇数次元であることと $\det A=1$ の両方が効いています。$SO(2)$ の回転には軸がなく、$SO(4)$ でも同じ議論は通らない。

例：回転行列から軸と角を出す

$e_1$ を $e_2$ へ、$e_2$ を $e_3$ へ、$e_3$ を $e_1$ へ送る行列をとります。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

行列式は $1$ で、たしかに $SO(3)$ の元。$Av=v$ を解くと $v=(1,1,1)$ が出る。

角は跡から出ます。軸のまわりの $\theta$ の回転は、適当な基底で $1$ と $2$ 次の回転ブロックに分かれるので、跡が $1+2\cos \theta$ になる。

$$\mathrm{tr}A=0=1+2\cos \theta$$

$\cos \theta =-1/2$ なので $\theta$ は $120$ 度です。立方体を対角線のまわりに $120$ 度まわす操作が、ちょうどこれにあたる。

SO(3) の位相と 2 重被覆

回転は、軸の向きと角で指定できます。半径 $\pi$ の球体の点にその 2 つを詰め込むと、表面の対蹠点どうしが同じ回転を表す。

だから $SO(3)$ は 3 次元実射影空間と同相です。連結ではあるものの、単連結ではない。

基本群は位数 $2$ の群になります。単位四元数のなす $SU(2)$ から $SO(3)$ への 2 対 1 の全射があり、これが普遍被覆にあたる。

SO(3) の有限部分群

$SO(3)$ の有限部分群は、5 系統に分かれます。

巡回群と二面体群の 2 系統が無限にあり、あとは正多面体の回転群が 3 つ。双対な立体は回転群が同じなので、5 種類の正多面体に対して 3 つの群しか現れません。

$O(3)$ のほうは事情が違う。鏡映が入るぶん系統が増え、点群として 14 系統に分かれます。

リー環は反対称行列

単位元の近くを見ると、$A=I+tX$ の形に書けます。$A^{\top }A=I$ に入れて $t$ の 1 次までを残すと、$X^{\top }+X=0$ が出る。

$$\mathfrak{so}(n)=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid X^{\top }=-X\}$$

反対称行列の全体が $SO(n)$ のリー環です。対角成分は $0$ に決まり、上三角の $n(n-1)/2$ 個だけが自由に動く。

だから次元は $n(n-1)/2$ で、$SO(3)$ なら $3$ になる。軸の向きに 2 つ、角に 1 つという内訳と合う。

よくある誤り

参考文献