直交群と回転群

直交群は内積を保つ線型変換のなす群であり、回転や鏡映といった幾何学的変換を記述する。

直交群の定義

$n$ 次直交群 $O (n)$ は、 $R^{n}$ の標準内積を保つ線型変換全体である。行列で表すと

$O (n) = {A \in G L_{n} (R) : A^{T} A = I_{n}}$

となる。 $A^{T} A = I_{n}$ は $A$ の列ベクトルが正規直交基底をなすことと同値である。

直交行列の性質

$A \in O (n)$ ならば $det A = \pm 1$ である。 $det (A^{T} A) = (det A)^{2} = det I_{n} = 1$ から従う。

また $A^{- 1} = A^{T}$ であり、逆行列が転置で与えられる。

特殊直交群

特殊直交群 $SO (n)$ は行列式が $1$ の直交行列全体である。

$SO (n) = {A \in O (n) : det A = 1} = O (n) \cap S L_{n} (R)$

$SO (n)$ は $O (n)$ の指数 $2$ の正規部分群であり、 $O (n) / SO (n) ≅ Z /2 Z$ となる。

幾何学的解釈

$SO (n)$ の元は原点を固定する回転を表す。 $O (n) ∖ SO (n)$ の元は回転と鏡映の合成（瑕回転）を表す。

$det A = 1$ の変換は向きを保ち、 $det A = - 1$ の変換は向きを逆転させる。

$O (1)$ と $SO (1)$

$O (1) = {1, - 1} ≅ Z /2 Z$ であり、 $SO (1) = {1}$ は自明群である。

$O (2)$ と $SO (2)$

$SO (2)$ は平面の原点周りの回転全体である。角度 $θ$ の回転は

$R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$

で表される。 $SO (2) ≅ S^{1} ≅ R / Z$ であり、可換群である。

$O (2)$ は $SO (2)$ に鏡映を加えたものである。 $O (2) ≅ SO (2) ⋊ Z /2 Z$ （半直積）となる。

$O (3)$ と $SO (3)$

$SO (3)$ は $3$ 次元空間の回転全体である。任意の回転は、ある軸の周りの回転として表せる（Eulerの回転定理）。

SO (3)

の位相

$SO (3)$ は $RP^{3}$ （3次元実射影空間）と同相である。 $S^{3}$ からの2重被覆 $S U (2) \to SO (3)$ が存在する。

回転の表現

回転は回転軸（単位ベクトル）と回転角で指定できる。四元数やオイラー角による表現もよく使われる。

$O (3)$ の部分群

$O (3)$ の有限部分群は完全に分類されている。

巡回群

C_{n}

：

n

回回転対称

二面体群

D_{n}

：正

n

角形の対称群

正四面体群

T ≅ A_{4}

正八面体群

O ≅ S_{4}

正二十面体群

I ≅ A_{5}

これらに鏡映を加えたものも含まれる。

無限小回転とリー環

$SO (n)$ の単位元近傍の元は $I + ϵ X$ （ $ϵ$ は微小）の形で近似できる。 $(I + ϵ X)^{T} (I + ϵ X) = I$ から $X^{T} + X = 0$ が従う。

反対称行列全体 $so (n) = {X \in M_{n} (R) : X^{T} = - X}$ は $SO (n)$ のリー環をなす。 $dim so (n) = n (n - 1) /2$ である。