有限位数の元を集めると部分群になる〜有限生成アーベル群のねじれ部分

アーベル群の中で有限位数の元だけを集めると、それが部分群になります^[3]。ねじれ部分です。

$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ なら $\{0\}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ がそれにあたる。有限生成なら、この部分と残りの自由な部分に群がきれいに分かれます^[1]。

ねじれ元

アーベル群 $G$ を加法で書きます。$a\in G$ について、$na=0$ となる正整数 $n$ があるとき $a$ をねじれ元といいます。位数が有限であることと同じです。

ねじれ元の全体を $T(G)$ と書きます。

$$T(G)=\{a\in G:na=0\text{ となる }n>0\text{ がある}\}$$

これが部分群になることを見ます^[3]。$0$ は $1\cdot 0=0$ なので入る。$a,b\in T(G)$ で $ma=0$、$nb=0$ とすると

$$mn(a+b)=n(ma)+m(nb)=0$$

なので $a+b\in T(G)$。$m(-a)=-(ma)=0$ から $-a\in T(G)$ です。

途中で $ma$ と $nb$ を分けて計算しました。ここで可換性を使っています。

可換でないと崩れる

非可換群では、有限位数の元を集めても部分群になりません。

無限二面体群 $D_{\infty }=⟨r,s\mid s^2=e,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ をとります。$s$ の位数は $2$、$rs{r}^{-1}$ の位数も $2$ です。

積を計算します。$sr=r^{-1}s$ を使うと

$$s\cdot rs{r}^{-1}=(sr)(s{r}^{-1})=(r^{-1}s)(s{r}^{-1})=r^{-1}{s}^2{r}^{-1}=r^{-2}$$

$r$ は無限位数なので $r^{-2}$ も無限位数。位数 $2$ の元 2 つの積が無限位数になりました。集合として閉じていません。

上の計算で $ma$ と $nb$ を入れ替えられたことが、そのまま効いています。

商はねじれ自由になる

$T(G)=\{0\}$ の群をねじれ自由といいます。$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ が加法群としてそうです。

どんなアーベル群でも、ねじれ部分で割った商はねじれ自由になります^[3]。

証明は短い。$n(g+T(G))=T(G)$ とすると $ng\in T(G)$ なので、ある $m>0$ で $m(ng)=0$。つまり $(mn)g=0$ で $g\in T(G)$、すなわち $g+T(G)$ は $0$ です。

有限生成なら 2 つに分かれる

有限生成アーベル群 $G$ は、ねじれ部分と自由部分の直和に分かれます^[1]。

$$G\cong T(G)\oplus {\mathbb{Z}}^r$$

証明の道具は 2 つです。1 つは、PID 上の有限生成ねじれ自由加群が自由になること^[1]。$\mathbb{Z}$ は PID なので、有限生成でねじれ自由なアーベル群は自由アーベル群です。

もう 1 つは、自由な商を持つ完全列が分裂することです。

$$0\to T(G)\to G\to G/T(G)\to 0$$

$G$ が有限生成なら商 $G/T(G)$ も有限生成で、上で見たとおりねじれ自由。だから自由アーベル群 ${\mathbb{Z}}^r$ です。

${\mathbb{Z}}^r$ の基底 $\overline{e_1},\dots ,\overline{e_r}$ をとり、それぞれの引き戻し $g_i\in G$ を選びます。$\overline{e_i}\mapsto g_i$ で定まる準同型 ${\mathbb{Z}}^r\to G$ が切断になるので、列は分裂します。

有限生成を外すと成り立たない

ねじれ自由なら自由、という主張には有限生成が要ります^[1]。

$\mathbb{Q}$ が反例です。加法群としてねじれ自由ですが、$\mathbb{Z}$ 上の基底を持ちません。

理由を書きます。$0$ でない自由 $\mathbb{Z}$ 加群には、指数が有限の真部分加群があります。${\mathbb{Z}}^r$ なら $2{\mathbb{Z}}^r$ が指数 $2^r$ です。

一方 $\mathbb{Q}$ には、そういう部分群がない。$H\le \mathbb{Q}$ の指数が $n$ だとすると $n\mathbb{Q}\subseteq H$ ですが、$\mathbb{Q}$ は $n$ で割り切れるので $n\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$。よって $H=\mathbb{Q}$ になります。

分裂のほうも、有限生成を外すと崩れます。$G={\prod }_p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ をすべての素数にわたる直積とすると、$T(G)$ は $G$ の直和因子になりません^[2]。

ねじれ部分は一般には直和因子にならない、というのが正しい形です^[3]。有限生成が効いています。

ねじれ部分は有限になる

$G$ が有限生成なら $T(G)$ は有限群です。

まず $T(G)$ が有限生成であること。有限生成アーベル群の部分群は有限生成になります^[1]。${\mathbb{Z}}^n$ の部分加群が階数 $n$ 以下の自由加群になる、という事実から出ます。

次に、有限生成のねじれアーベル群は有限であること。生成元 $x_1,\dots ,x_k$ の位数を $n_1,\dots ,n_k$ とすると、どの元も $\sum a_i{x}_i$（$0\le a_i<n_i$）と書けます。個数は $n_1\cdots n_k$ 以下です。

だから有限生成アーベル群は ${\mathbb{Z}}^r$ と有限アーベル群の直和になります^[1]。

自由部分は一意でない

分解 $G\cong F\oplus T$ で、$T$ は一意に決まります^[1]。$T$ は零化イデアルが $0$ でない元の全体なので、分解のとり方に触れずに書ける。

$F$ のほうは一意ではありません。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で見ます^[1]。

生成系として $\{(1,0),(0,1)\}$ をとれば $F_1=⟨(1,0)⟩$。$\{(1,1),(0,1)\}$ をとれば $F_2=⟨(1,1)⟩$ です。どちらも $\mathbb{Z}$ と同型で、$T$ は同じ $0\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ になります。

数論にも同じ形が出ます。$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ の単数はすべて $\pm (1+\sqrt{2}{)}^k$ の形で、単数群は有限生成アーベル群です^[1]。

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}{]}^{\times }=\{\pm 1\}\times (1+\sqrt{2}{)}^{\mathbb{Z}}=\{\pm 1\}\times (-(1+\sqrt{2}){)}^{\mathbb{Z}}$$

ねじれ部分は $\{\pm 1\}$ で、どちらの分解でも同じ。自由部分は $1+\sqrt{2}$ の冪と $-(1+\sqrt{2})$ の冪という別々の部分群になります^[1]。

素数ごとに分ける

ねじれ群は素数成分の直和に一意に分かれます^[3]。$p$ 成分を次で定めます。

$$T_p=\{a\in T:p^{k}a=0\text{ となる }k\ge 0\text{ がある}\}$$

$a$ の位数を $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ とし、$n_i=n/p_i^{e_i}$ と置きます。$n_1,\dots ,n_k$ の最大公約数は $1$ なので、$\sum c_i{n}_i=1$ となる整数がとれる。

$$a=\left(\sum _i{c}_i{n}_i\right)a=\sum _i{c}_i{n}_{i}a$$

各項について $p_i^{e_i}(c_i{n}_{i}a)=c_{i}na=0$ なので $c_i{n}_{i}a\in T_{p_i}$ です。和になりました。

直和であることも出ます。$T_p$ と、ほかの素数成分の和との共通部分にいる元は、位数が $p$ のべきであり、同時に $p$ と互いに素になる。そんな元は $0$ だけです。

階数

$G\cong T(G)\oplus {\mathbb{Z}}^r$ の $r$ を階数といいます。自由部分のとり方は一意でなくても、$r$ は決まります。

$T(G)$ で割ると ${\mathbb{Z}}^r$ が残り、自由アーベル群の階数は一意だからです。一般のアーベル群でも、線型独立な元の最大個数として階数が定まります^[3]。ねじれ群の階数は $0$ です。

例を並べます。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は $T=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$、階数 $1$。${\mathbb{Z}}^2$ は $T=\{0\}$、階数 $2$。有限アーベル群は $T=G$、階数 $0$ です。

何を測っているのか

ねじれ部分は、群の中で「有限で閉じている部分」を全部集めたものです。可換性がないと集めた先が閉じないので、この操作はアーベル群に固有のものになります。

有限生成という条件が付くと、残りが自由アーベル群になり、群がねじれと自由の 2 枚に分かれる。$\mathbb{Q}$ や無限直積を持ち込むと、この 2 枚に分かれる性質だけが先に壊れます。

有限位数の元を集める、という操作だけで群が 2 つに割れる。割れることのほうが特別で、有限生成という条件がその特別さを支えています。

出典