有限生成アーベル群のねじれ部分は有限位数の元全体からなる部分群である。ねじれ部分は群の「有限な部分」を捉え、自由部分と直和に分離される。
ねじれ元の定義
アーベル群 の元 がねじれ元（torsion element）であるとは、ある正整数 が存在して となることをいう。
であることと同値である。
ねじれ部分群
のねじれ部分（torsion subgroup） は、 のねじれ元全体からなる集合である。
がアーベル群のとき、 は の部分群である。 ならば だからである。
非可換群の場合
非可換群ではねじれ元全体は部分群にならないことがある。
無限二面体群 において、 と はともに位数2だが、積 は無限位数である。
ねじれ自由群
のとき、 をねじれ自由群（torsion-free group）という。
, , は加法群としてねじれ自由である。
有限生成アーベル群の分解
有限生成アーベル群 は
と分解される。 はねじれ自由な有限生成アーベル群（すなわち自由アーベル群）である。
は有限群であり、（ は の階数）である。
ねじれ部分の構造
有限アーベル群の構造定理により、 は巡回群の直積に分解される。
または素因子分解の形で書ける。
例
のねじれ部分は である。自由部分は 。
はねじれ自由であり、 である。
-成分
の -成分（-primary component） は、位数が のべきである元全体からなる。
（直和は有限）である。
ホモロジー群のねじれ
位相空間のホモロジー群のねじれ部分は空間の位相的性質を反映する。
であり、ねじれ部分が空間の向き付け不可能性を示している。
普遍係数定理との関係
のねじれ部分は のねじれ部分と関係する（普遍係数定理）。
の項がねじれから来る。
