有限生成アーベル群のねじれ部分

有限生成アーベル群のねじれ部分は有限位数の元全体からなる部分群である。ねじれ部分は群の「有限な部分」を捉え、自由部分と直和に分離される。

ねじれ元の定義

アーベル群 $G$ の元 $a$ がねじれ元（torsion element）であるとは、ある正整数 $n$ が存在して $na=0$ となることをいう。

$\mathrm{ord}(a)<\infty$ であることと同値である。

ねじれ部分群

$G$ のねじれ部分（torsion subgroup）$T(G)$ は、$G$ のねじれ元全体からなる集合である。

$$T(G)=\{a\in G:\exists n>0,na=0\}$$

$G$ がアーベル群のとき、$T(G)$ は $G$ の部分群である。$a,b\in T(G)$ ならば $\mathrm{ord}(a)\cdot \mathrm{ord}(b)\cdot (a+b)=0$ だからである。

非可換群の場合

非可換群ではねじれ元全体は部分群にならないことがある。

無限二面体群 $D_{\infty }=⟨r,s\mid s^2=e,srs=r^{-1}⟩$ において、$s$ と $rs{r}^{-1}$ はともに位数2だが、積 $s\cdot rs{r}^{-1}=r^{-2}$ は無限位数である。

ねじれ自由群

$T(G)=\{0\}$ のとき、$G$ をねじれ自由群（torsion-free group）という。

$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ は加法群としてねじれ自由である。

有限生成アーベル群の分解

有限生成アーベル群 $G$ は

$$G\cong T(G)\oplus F$$

と分解される。$F$ はねじれ自由な有限生成アーベル群（すなわち自由アーベル群）である。

$T(G)$ は有限群であり、$F\cong {\mathbb{Z}}^r$（$r$ は $G$ の階数）である。

ねじれ部分の構造

有限アーベル群の構造定理により、$T(G)$ は巡回群の直積に分解される。

$$T(G)\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$$

$d_1|d_2|\cdots |d_k$ または素因子分解の形で書ける。

例

$G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ のねじれ部分は $T(G)=\{0\}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ である。自由部分は $\mathbb{Z}$。

$G={\mathbb{Z}}^2$ はねじれ自由であり、$T(G)=\{0\}$ である。

$p$-成分

$G$ の $p$-成分（$p$-primary component）$T_p(G)$ は、位数が $p$ のべきである元全体からなる。

$$T_p(G)=\{a\in G:p^{n}a=0\text{ となる }n\ge 0\text{ が存在}\}$$

$T(G)={⨁}_p{T}_p(G)$（直和は有限）である。

ホモロジー群のねじれ

位相空間のホモロジー群のねじれ部分は空間の位相的性質を反映する。

$H_1({\mathbb{RP}}^2)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、ねじれ部分が空間の向き付け不可能性を示している。

普遍係数定理との関係

$H_n(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分は $H_{n-1}(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分と関係する（普遍係数定理）。

$$H^n(X;\mathbb{Z})\cong \mathrm{Hom}(H_n(X),\mathbb{Z})\oplus \mathrm{Ext}(H_{n-1}(X),\mathbb{Z})$$

$\mathrm{Ext}$ の項がねじれから来る。