N と G/N を知っても G は決まらない（群の拡大と H2）

$N$ と $G/N$ が分かっても、$G$ は決まりません^[3]。$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は同型でないのに、位数 $p$ の巡回な正規部分群を持ち、商も位数 $p$ の巡回群です。

では何通りあるのか。可換な核については、その答えが $H^2$ です^[1]。

拡大

短完全列 $1\to A\to E\to G\to 1$ を、$A$ による $G$ の拡大といいます。$A$ は可換群とします。

$A$ を $E$ の正規部分群と見なし、$E/A\cong G$ です。$E$ の元は $A$ の元と $G$ の元の組み合わせで書けそうですが、書き方に自由度が残ります。

$G$ が $A$ に作用します。$g\in G$ の持ち上げ $e$ をとり、$a\mapsto ea{e}^{-1}$ とする。$A$ が可換なので、持ち上げの選び方によりません。

作用が自明になる拡大を中心拡大といいます。$A$ が $E$ の中心に入る場合です。

切断と因子団

全射 $\pi :E\to G$ に対し、写像 $s:G\to E$ で $\pi (s(g))=g$ を満たすものをとります。準同型である必要はありません。$s(1)=1$ としておきます。

$s(g)s(h)$ と $s(gh)$ はどちらも $gh$ の上にあるので、差が $A$ に入ります。

$$f(g,h)=s(g)s(h)s(gh{)}^{-1}\in A$$

この $f$ を因子団といいます^[3]。$s$ が準同型なら $f$ は恒等的に $1$ です。

結合律がコサイクル条件になる

$f$ が満たす条件を計算します。$s(g)s(h)=f(g,h)s(gh)$ と書き直しておきます。

3 つの積を 2 通りに括ります。

$$\begin{array}{rl}(s(g)s(h))s(k)& =f(g,h)s(gh)s(k)=f(g,h)f(gh,k)s(ghk)\\ s(g)(s(h)s(k))& =s(g)f(h,k)s(hk)=({}^{g}f(h,k))f(g,hk)s(ghk)\end{array}$$

途中で $s(g)a=({}^{g}a)s(g)$ を使いました。$E$ の結合律から 2 つが等しいので、加法で書くと次になります。

$$g\cdot f(h,k)-f(gh,k)+f(g,hk)-f(g,h)=0$$

$2$ 次のコサイクル条件そのものです^[1]。$E$ の結合律が、この式に翻訳されました。

切断を替えても類は動かない

持ち上げの選び方には自由度があります。別の切断 $s^{\prime }$ をとると $s^{\prime }(g)=a(g)s(g)$（$a(g)\in A$）と書けます。

新しい因子団を計算します。

$$f^{\prime }(g,h)=s^{\prime }(g)s^{\prime }(h)s^{\prime }(gh{)}^{-1}=a(g)({}^{g}a(h))f(g,h)a(gh{)}^{-1}$$

加法で書くと $f^{\prime }(g,h)=f(g,h)+(a(g)+g\cdot a(h)-a(gh))$ です。

括弧の中は $a$ から作ったコバウンダリそのもの。だから $f$ と $f^{\prime }$ は $H^2(G,A)$ で同じ元を定めます^[1]。

逆に、コサイクル $f$ が与えられれば、集合 $A\times G$ に

$$(a,g)(b,h)=(a+g\cdot b+f(g,h),gh)$$

で積を入れると群になります。コサイクル条件が結合律を保証します。

まとめると、作用を固定したときの拡大の同値類と $H^2(G,A)$ の元が 1 対 1 に対応します^[1]。

分裂すること

$f$ がコバウンダリなら、切断をとり替えて $f=0$ にできます。そのとき $s$ が準同型になり、$E$ は半直積です。

$$\text{拡大が分裂する}⟺H^2\text{での類が }0$$

だから $H^2(G,A)=0$ なら、この作用での拡大は半直積しかありません。$H^2$ の大きさが、半直積からどれだけ外れられるかを測っています。

巡回群による拡大

巡回群では計算できます。$C_n$ の周期的な分解から、自明な作用のときは次になります^[1]。

$$H^2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/\gcd (n,m)\mathbb{Z}$$

$n=m=2$ なら $\gcd =2$ で、中心拡大は 2 通りです。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が対応します。

$n=2$、$m=3$ なら $\gcd =1$ で $H^2=0$。位数 $6$ の中心拡大は直積 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ しかありません。$S_3$ は中心拡大ではないので、ここには入ってこない。

分裂しない例

$Q_8$ が典型です^[3]。中心 $\{\pm 1\}$ で割ると $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$ になるので、$\{\pm 1\}$ による $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$ の中心拡大です。

これが分裂すれば $Q_8$ は $\{\pm 1\}$ と位数 $4$ の部分群の半直積になります。$\mathrm{Aut}(\{\pm 1\})$ は自明群なので、実際には直積 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$ でなければならない。

その群には位数 $2$ の元が $7$ 個あります。$Q_8$ には $-1$ しかありません。分裂しません^[3]。

$H^2$ の側から見ると、$Q_8$ が定める類が $0$ でない、ということです。$N$ と $G/N$ を知っても $E$ が決まらないのは、この類の情報が落ちているからでした。

互いに素なら分裂する

分裂を保証する条件があります^[3]。

$|G|=ab$ で $\gcd (a,b)=1$ とします。$G$ が位数 $a$ の正規部分群を持てば、位数 $b$ の部分群も持つ^[3]。Schur と Zassenhaus の定理です。

このとき $N\cap H$ が自明なので $G=NH$ となり、$G$ は $N$ と $H$ の半直積です^[3]。

コホモロジーの言葉では、$\gcd (|G|,|A|)=1$ なら $H^2(G,A)=0$ になる、という形です。$H^n$ は $n\ge 1$ で $|G|$ 倍でも $|A|$ 倍でも消えるので、位数が互いに素なら $0$ しか残りません。

ただし分裂しても $G$ は決まりません^[3]。同じ $N$ と $H$ から、同型でない半直積が何通りも作れるためです。

核が可換でない場合

$A$ が可換でないと、話が長くなります^[2]。

作用が持ち上げの選び方に依存するので、因子団だけでなく $T:G\to \mathrm{Aut}(A)$ も組にして扱います。この組を因子系といいます^[2]。

Schreier の定理は、拡大の同値類と因子系の同値類が 1 対 1 に対応することを述べます^[2]。1926 年の論文で、可換とは限らない核を系統的に扱った最初のものです^[2]。

可換な場合に限ると、$T$ の部分が作用として固定され、残った因子団が $H^2$ の元になります。コホモロジーで書ける形は、Schreier の定理の特別な場合です。

拡大を作る作業は、持ち上げを選んで積のずれを記録する作業でした。ずれの記録が因子団で、選び直しで動く分がコバウンダリ。割った残りが $H^2$ です。$N$ と $G/N$ から $G$ が決まらない、という事実の「決まらなさ」が、そのまま 1 つの群として書けています。

参考