N と G/N を知っても G は決まらない（群の拡大と H2）

$N$ と $G / N$ が分かっても、 $G$ は決まりません^[3]。 $Z / p^{2} Z$ と $Z / p Z \times Z / p Z$ は同型でないのに、位数 $p$ の巡回な正規部分群を持ち、商も位数 $p$ の巡回群です。

では何通りあるのか。可換な核については、その答えが $H^{2}$ です^[1]。

拡大

短完全列 $1 \to A \to E \to G \to 1$ を、 $A$ による $G$ の拡大といいます。 $A$ は可換群とします。

$A$ を $E$ の正規部分群と見なし、 $E / A ≅ G$ です。 $E$ の元は $A$ の元と $G$ の元の組み合わせで書けそうですが、書き方に自由度が残ります。

$G$ が $A$ に作用します。 $g \in G$ の持ち上げ $e$ をとり、 $a \mapsto e a e^{- 1}$ とする。 $A$ が可換なので、持ち上げの選び方によりません。

作用が自明になる拡大を中心拡大といいます。 $A$ が $E$ の中心に入る場合です。

切断と因子団

全射 $π : E \to G$ に対し、写像 $s : G \to E$ で $π (s (g)) = g$ を満たすものをとります。準同型である必要はありません。 $s (1) = 1$ としておきます。

$s (g) s (h)$ と $s (g h)$ はどちらも $g h$ の上にあるので、差が $A$ に入ります。

$f (g, h) = s (g) s (h) s (g h)^{- 1} \in A$

この $f$ を因子団といいます^[3]。 $s$ が準同型なら $f$ は恒等的に $1$ です。

結合律がコサイクル条件になる

$f$ が満たす条件を計算します。 $s (g) s (h) = f (g, h) s (g h)$ と書き直しておきます。

3 つの積を 2 通りに括ります。

$(s (g) s (h)) s (k) s (g) (s (h) s (k)) = f (g, h) s (g h) s (k) = f (g, h) f (g h, k) s (g hk) = s (g) f (h, k) s (hk) = (^{g} f (h, k)) f (g, hk) s (g hk)$

途中で $s (g) a = (^{g} a) s (g)$ を使いました。 $E$ の結合律から 2 つが等しいので、加法で書くと次になります。

$g \cdot f (h, k) - f (g h, k) + f (g, hk) - f (g, h) = 0$

$2$ 次のコサイクル条件そのものです^[1]。 $E$ の結合律が、この式に翻訳されました。

切断を替えても類は動かない

持ち上げの選び方には自由度があります。別の切断 $s^{'}$ をとると $s^{'} (g) = a (g) s (g)$ （ $a (g) \in A$ ）と書けます。

新しい因子団を計算します。

$f^{'} (g, h) = s^{'} (g) s^{'} (h) s^{'} (g h)^{- 1} = a (g) (^{g} a (h)) f (g, h) a (g h)^{- 1}$

加法で書くと $f^{'} (g, h) = f (g, h) + (a (g) + g \cdot a (h) - a (g h))$ です。

括弧の中は $a$ から作ったコバウンダリそのもの。だから $f$ と $f^{'}$ は $H^{2} (G, A)$ で同じ元を定めます^[1]。

逆に、コサイクル $f$ が与えられれば、集合 $A \times G$ に

$(a, g) (b, h) = (a + g \cdot b + f (g, h), g h)$

で積を入れると群になります。コサイクル条件が結合律を保証します。

まとめると、作用を固定したときの拡大の同値類と $H^{2} (G, A)$ の元が 1 対 1 に対応します^[1]。

分裂すること

$f$ がコバウンダリなら、切断をとり替えて $f = 0$ にできます。そのとき $s$ が準同型になり、 $E$ は半直積です。

$拡大が分裂する ⟺ H^{2} での類が 0$

だから $H^{2} (G, A) = 0$ なら、この作用での拡大は半直積しかありません。 $H^{2}$ の大きさが、半直積からどれだけ外れられるかを測っています。

巡回群による拡大

巡回群では計算できます。 $C_{n}$ の周期的な分解から、自明な作用のときは次になります^[1]。

$H^{2} (Z / n Z, Z / m Z) ≅ Z / g cd (n, m) Z$

$n = m = 2$ なら $g cd = 2$ で、中心拡大は 2 通りです。 $Z /4 Z$ と $Z /2 Z \times Z /2 Z$ が対応します。

$n = 2$ 、 $m = 3$ なら $g cd = 1$ で $H^{2} = 0$ 。位数 $6$ の中心拡大は直積 $Z /6 Z$ しかありません。 $S_{3}$ は中心拡大ではないので、ここには入ってこない。

分裂しない例

$Q_{8}$ が典型です^[3]。中心 ${\pm 1}$ で割ると $(Z /2 Z)^{2}$ になるので、 ${\pm 1}$ による $(Z /2 Z)^{2}$ の中心拡大です。

これが分裂すれば $Q_{8}$ は ${\pm 1}$ と位数 $4$ の部分群の半直積になります。 $Aut ({\pm 1})$ は自明群なので、実際には直積 $Z /2 Z \times (Z /2 Z)^{2}$ でなければならない。

その群には位数 $2$ の元が $7$ 個あります。 $Q_{8}$ には $- 1$ しかありません。分裂しません^[3]。

$H^{2}$ の側から見ると、 $Q_{8}$ が定める類が $0$ でない、ということです。 $N$ と $G / N$ を知っても $E$ が決まらないのは、この類の情報が落ちているからでした。

互いに素なら分裂する

分裂を保証する条件があります^[3]。

$∣ G ∣ = ab$ で $g cd (a, b) = 1$ とします。 $G$ が位数 $a$ の正規部分群を持てば、位数 $b$ の部分群も持つ^[3]。Schur と Zassenhaus の定理です。

このとき $N \cap H$ が自明なので $G = N H$ となり、 $G$ は $N$ と $H$ の半直積です^[3]。

コホモロジーの言葉では、 $g cd (∣ G ∣, ∣ A ∣) = 1$ なら $H^{2} (G, A) = 0$ になる、という形です。 $H^{n}$ は $n \geq 1$ で $∣ G ∣$ 倍でも $∣ A ∣$ 倍でも消えるので、位数が互いに素なら $0$ しか残りません。

ただし分裂しても $G$ は決まりません^[3]。同じ $N$ と $H$ から、同型でない半直積が何通りも作れるためです。

位数が互いに素なとき

拡大は必ず分裂する。作用の選び方だけが残る

位数に共通因数があるとき

分裂しない拡大が出てくる。その個数を $H^{2}$ が数える

核が可換でない場合

$A$ が可換でないと、話が長くなります^[2]。

作用が持ち上げの選び方に依存するので、因子団だけでなく $T : G \to Aut (A)$ も組にして扱います。この組を因子系といいます^[2]。

Schreier の定理は、拡大の同値類と因子系の同値類が 1 対 1 に対応することを述べます^[2]。1926 年の論文で、可換とは限らない核を系統的に扱った最初のものです^[2]。

可換な場合に限ると、 $T$ の部分が作用として固定され、残った因子団が $H^{2}$ の元になります。コホモロジーで書ける形は、Schreier の定理の特別な場合です。

中心拡大 $1 \to A \to E \to G \to 1$ が分裂するのは、どんなときですか。

$A$ が有限群のとき
その拡大が定める $H^{2} (G, A)$ の類が $0$ のとき
$G$ が可換なとき

__RESULT__

因子団がコバウンダリになるのは、切断をとり替えて準同型にできるときです。準同型な切断があることと、拡大が分裂して半直積になることは同じ。中心拡大では作用が自明なので、分裂すれば直積になります。 $H^{2}$ の類が $0$ でない例が $Q_{8}$ です。

拡大を作る作業は、持ち上げを選んで積のずれを記録する作業でした。ずれの記録が因子団で、選び直しで動く分がコバウンダリ。割った残りが $H^{2}$ です。 $N$ と $G / N$ から $G$ が決まらない、という事実の「決まらなさ」が、そのまま 1 つの群として書けています。

参考

Caroline Lassueur, *Cohomology of Groups*, TU Kaiserslautern

Dietrich Burde, *Cohomology of groups with applications to number theory*, Universität Wien

Keith Conrad, *The Schur-Zassenhaus Theorem*, University of Connecticut

位数 $p^2$ の巡回群と、位数 $p$ の巡回群 2 つの直積。どちらも位数 $p$ の巡回な正規部分群を持ち、商も位数 $p$ の巡回群ですが、同型ではありません。核と商が分かっても群は決まらない。その決まらなさを数えるのが $H^2$ です。持ち上げを選んで積のずれを記録したものが因子団で、結合律がそのまま 2 次のコサイクル条件になります。持ち上げを選び直すとコバウンダリだけ動くので、類は変わらない。分裂することと類が $0$ であることが同値で、四元数群が $0$ でない例です。巡回群による拡大の個数が最大公約数で決まること、位数が互いに素なら必ず分裂する Schur と Zassenhaus の定理まで。