群の拡大と H^2

群の拡大とは、ある群を別の群で「膨らませる」操作である。$H^2$ は与えられた核と商を持つ拡大を分類する。

群の拡大の定義

群の短完全列

$$1\to N\to E\stackrel{\pi }{\to }G\to 1$$

を $N$ による $G$ の拡大という。$N$ は $E$ の正規部分群で、$E/N\cong G$ となる。

$E$ は $N$ と $G$ を「組み合わせた」群であり、この組み合わせ方を分類することが問題となる。

拡大の例

$1\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to S_3\to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to 1$（$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は生成元の符号で埋め込む）

$1\to \mathbb{Z}\to \mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to 1$

$1\to A_n\to S_n\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 1$（$A_n$ は交代群）

分裂拡大

$\pi :E\to G$ に対して、群準同型 $s:G\to E$ で $\pi \circ s={\mathrm{id}}_G$ を満たすものが存在するとき、拡大は分裂するという。

分裂する拡大では $E\cong N⋊G$（半直積）となる。$s$ を切断（section）という。

中心拡大

$N$ が $E$ の中心に含まれるとき、拡大を中心拡大という。このとき $G$ の $N$ への作用は自明となる。

中心拡大は $H^2(G;N)$ で分類される。

$H^2$ による分類

$N$ をアーベル群、$G$ の $N$ への作用を固定する。このとき、$N$ を核、$G$ を商とする拡大の同値類全体は $H^2(G;N)$ と1対1に対応する。

$0\in H^2(G;N)$ は分裂拡大（半直積）に対応する。

2-コサイクルによる記述

$G$ の $N$ への作用を固定し、集合としての切断 $s:G\to E$ を取る。$s$ は群準同型とは限らないが、その「ずれ」

$$f(g,h)=s(g)s(h)s(gh{)}^{-1}\in N$$

は2-コサイクル条件

$$g\cdot f(h,k)-f(gh,k)+f(g,hk)-f(g,h)=0$$

を満たす。$f$ が $H^2(G;N)$ の元を定める。

切断の取り替え

異なる切断 $s^{\prime }$ を取ると、$s^{\prime }(g)=s(g)\cdot c(g)$ となる $c:G\to N$ が存在する。対応する2-コサイクル $f^{\prime }$ は

$$f^{\prime }(g,h)=f(g,h)+g\cdot c(h)-c(gh)+c(g)$$

となる。$f$ と $f^{\prime }$ の差はコバウンダリーであり、$H^2$ の元としては等しい。

具体例：$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ による $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の拡大

$G=N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$G$ の $N$ への作用を自明とする。

$H^2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z};\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。

$0$ に対応する拡大は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（Klein の四元群）。

非自明な元に対応する拡大は $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$（巡回群）。

ファクター系

歴史的には、2-コサイクルはファクター系（factor system）と呼ばれていた。Schur や Zassenhaus による群の拡大の研究で導入された。

長完全列

$1\to N\to E\to G\to 1$ が拡大のとき、コホモロジーの長完全列

$$\cdots \to H^1(G;N)\to H^2(G;\mathbb{Z})\to H^2(E;\mathbb{Z})\to \cdots$$

が存在し、拡大の性質を調べることができる。

普遍中心拡大

完全群（自明な中心と自明なアーベル化を持つ群）$G$ には普遍中心拡大

$$1\to H_2(G;\mathbb{Z})\to \tilde{G}\to G\to 1$$

が存在する。$H_2(G;\mathbb{Z})$ は Schur 乗数と呼ばれる（次の記事で詳述）。