群の拡大とは、ある群を別の群で「膨らませる」操作である。 は与えられた核と商を持つ拡大を分類する。
群の拡大の定義
群の短完全列
を による の拡大という。 は の正規部分群で、 となる。
は と を「組み合わせた」群であり、この組み合わせ方を分類することが問題となる。
拡大の例
（ は生成元の符号で埋め込む）
（ は交代群）
分裂拡大
に対して、群準同型 で を満たすものが存在するとき、拡大は分裂するという。
分裂する拡大では （半直積）となる。 を切断（section）という。
中心拡大
が の中心に含まれるとき、拡大を中心拡大という。このとき の への作用は自明となる。
中心拡大は で分類される。
による分類
をアーベル群、 の への作用を固定する。このとき、 を核、 を商とする拡大の同値類全体は と1対1に対応する。
は分裂拡大（半直積）に対応する。
2-コサイクルによる記述
の への作用を固定し、集合としての切断 を取る。 は群準同型とは限らないが、その「ずれ」
は2-コサイクル条件
を満たす。 が の元を定める。
切断の取り替え
異なる切断 を取ると、 となる が存在する。対応する2-コサイクル は
となる。 と の差はコバウンダリーであり、 の元としては等しい。
具体例： による の拡大
とし、 の への作用を自明とする。
である。
に対応する拡大は （Klein の四元群）。
非自明な元に対応する拡大は （巡回群）。
ファクター系
歴史的には、2-コサイクルはファクター系（factor system）と呼ばれていた。Schur や Zassenhaus による群の拡大の研究で導入された。
長完全列
が拡大のとき、コホモロジーの長完全列
が存在し、拡大の性質を調べることができる。
普遍中心拡大
完全群（自明な中心と自明なアーベル化を持つ群） には普遍中心拡大
が存在する。 は Schur 乗数と呼ばれる（次の記事で詳述）。
