内部積とリー微分

内部積とリー微分はベクトル場と微分形式の関係を記述する演算である。Cartanの公式でこれらは結びつく。

内部積の定義

ベクトル場 $X$ と $k$-形式 $\omega$ に対して、内部積（interior product）${\iota }_X\omega \in {\Omega }^{k-1}(M)$ を

$$({\iota }_X\omega )(Y_1,\dots ,Y_{k-1})=\omega (X,Y_1,\dots ,Y_{k-1})$$

で定義する。$X$ を $\omega$ の第一引数に「挿入する」操作である。

$0$-形式（関数）に対しては ${\iota }_{X}f=0$ と定める。

内部積の性質

内部積は次の性質を満たす。

4番目の性質は、${\iota }_X$ が次数 $-1$ の反導分（antiderivation）であることを示す。

内部積の座標表示

$X={\sum }_i{a}^i{\partial }_i$, $\omega =d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$ のとき

$${\iota }_X\omega =\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j-1}{a}^{j}d{x}^1\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}^j}\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

$\widehat{d{x}^j}$ は $d{x}^j$ を省くことを意味する。

リー微分の定義

ベクトル場 $X$ によるリー微分（Lie derivative）${\mathcal{L}}_X$ は、$X$ の流れに沿った「変化率」を測る。

テンソル場 $T$ に対して

$${\mathcal{L}}_{X}T=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\varphi }_t^{\ast }T-T}{t}$$

で定義する。${\varphi }_t$ は $X$ の時刻 $t$ の流れ（flow）である。

関数のリー微分

関数 $f$ に対して ${\mathcal{L}}_{X}f=X(f)=df(X)$ である。

これは $f$ の $X$ 方向の方向微分に他ならない。

ベクトル場のリー微分

ベクトル場 $Y$ に対して ${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]$（リー括弧）となる。

リー括弧は $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$ で定義される。

微分形式のリー微分

$1$-形式 $\omega$ に対して

$$({\mathcal{L}}_X\omega )(Y)=X(\omega (Y))-\omega ([X,Y])$$

より高次の形式にも同様に定義が拡張される。

Cartanの公式

微分形式に対するリー微分は、外微分と内部積で表される。

$${\mathcal{L}}_X=d\circ {\iota }_X+{\iota }_X\circ d$$

これを Cartan の公式（Cartan’s magic formula）という。${\mathcal{L}}_X\omega =d({\iota }_X\omega )+{\iota }_X(d\omega )$ である。

Cartanの公式の証明

${\mathcal{L}}_X$, $d{\iota }_X+{\iota }_{X}d$ がともに次数 $0$ の導分であり、関数上で一致し、$d{x}^i$ 上でも一致することを確認すればよい。導分は生成元での値で決まる。

リー微分の性質

不変微分形式

${\mathcal{L}}_X\omega =0$ のとき、$\omega$ は $X$ の流れで不変であるという。

Cartan の公式から、$\omega$ が閉形式で ${\iota }_X\omega =0$ ならば ${\mathcal{L}}_X\omega =0$ である。

キリングベクトル場

リーマン多様体 $(M,g)$ において、${\mathcal{L}}_{X}g=0$ を満たすベクトル場 $X$ をキリングベクトル場という。

キリングベクトル場は計量を保つ等長変換を生成する。