微分形式を削る内部積、流れで運ぶリー微分 - カルタンの公式でつながる

外微分は次数を 1 つ上げます。逆に 1 つ下げる操作が内部積で、ベクトル場を形式の第 1 引数に差し込むだけのもの。

もう 1 つ、次数を変えずに微分する操作があります。ベクトル場の流れに乗せて運び、変化率をとるリー微分です^[2]。

この 3 つは独立ではありません。カルタンの公式 $L_X=d{i}_X+i_{X}d$ が結び、内部積と外微分からリー微分が出ます。以下では順に定義し、公式の中身と使いどころまで扱います。

内部積の定義

$k$ 形式 $\omega$ とベクトル場 $X$ に対し、$k-1$ 形式 $i_X\omega$ を

$$(i_X\omega )(X_1,\dots ,X_{k-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{k-1})$$

で定めます^[1]。第 1 引数に $X$ を固定し、残りを引数として残す。

$0$ 形式に対しては $i_{X}f=0$ と決めます。次数を下げる先がないため。

縮約とも呼ばれます。${\iota }_X\omega$ や $X┘\omega$ という書き方もある。

次数を 1 つ下げる

$i_X$ は ${\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k-1}(M)$ です。$d$ と向きが逆。

反対称性から、$i_X\omega$ もまた反対称になります。第 1 引数を固定しても、残りの引数についての反対称性は壊れない。

$C^{\infty }(M)$ 線型なので、$i_X\omega$ の各点での値は $X$ のその点での値だけで決まります。微分が入らないため。

内部積のライプニッツ則

$i_X$ は次数 $-1$ の反微分です^[1]。$\alpha$ を $p$ 形式とすると

$$i_X(\alpha \wedge \beta )=(i_X\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge (i_X\beta )$$

が成り立ちます。$d$ と同じ形の符号規則。

$d$ が次数 $+1$ の反微分、$i_X$ が次数 $-1$ の反微分です。次数の符号が向きに対応している。

$i_X\circ i_X=0$

$X$ を 2 回差し込むと、$\omega (X,X,\dots )$ になります。反対称なので $0$。

$d\circ d=0$ と形は同じですが、理由が違います。$d$ のほうは偏微分の交換から、$i_X$ のほうは形式の反対称性から^[1]。

例：$dx\wedge dy$ に $X$ を入れる

$X=a\partial /\partial x+b\partial /\partial y$ とします。$dx(X)=a$、$dy(X)=b$。

$$i_X(dx\wedge dy)=ady-bdx$$

になります。第 1 引数に $X$ を入れて展開しただけ。

出てきた $1$ 形式は、$X$ に対応するベクトルを $90$ 度回したものに対応します。$2$ 次元の面積形式が回転を作る、という見方。

例：$3$ 形式から $2$ 形式へ

$3$ 次元で $\omega =dx\wedge dy\wedge dz$、$X=\partial /\partial z$ とします。

$i_X\omega =dx\wedge dy$ です。$dz$ が食われて消える。

$X$ が一般のベクトル場なら $i_X\omega =X^{1}dy\wedge dz+X^{2}dz\wedge dx+X^{3}dx\wedge dy$ になります。ベクトル場を $2$ 形式に変える標準的な対応。

流れに沿って運ぶ

ベクトル場 $X$ は各点に速度を配ります。その速度に従って点を動かす写像の族が流れ ${\Phi }_t$。

${\Phi }_t$ は微分同相なので、微分形式を引き戻せます。$t=0$ での変化率をとったものがリー微分です^[2,3]。

$$L_{X}T={\frac{d}{dt}|}_{t=0}{\Phi }_t^{\ast }T$$

テンソル場ならどの型でも定義できます。形式に限りません。

四角は形を変えますが、この流れでは面積が変わりません。横の伸びと縦の縮みが打ち消し合うため。

面積が変わらない流れを、面積形式のリー微分が $0$ になる流れといいます。あとで発散として読み直します。

関数のリー微分は方向微分

$0$ 形式すなわち関数では、$L_{X}f=X(f)$ です^[3]。

流れに沿って $f$ の値がどう変わるかを見ているだけ。$\frac{d}{dt}f({\Phi }_t(p))$ の $t=0$ での値。

微分形式でも関数でも、定義は同じ 1 本の式です。型ごとに別の定義を置く必要がありません。

ベクトル場のリー微分はリー括弧

$L_{X}Y=[X,Y]$ が成り立ちます。座標では

$$[X,Y{]}^i=X^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}$$

です^[6]。$Y$ の微分だけでなく $X$ の微分も入るところが、方向微分との違い。

$X$ の微分が入るのは、比べる相手そのものを流れが動かしているためです。$Y_p$ と $Y_{{\Phi }_t(p)}$ を比べるのに、後者を $p$ まで引き戻す必要がある。

例：リー括弧を座標で計算する

$X=\partial /\partial x$、$Y=x\partial /\partial y$ とします。

$X(Y^2)=\partial x/\partial x=1$、$Y(X^i)=0$ です。したがって $[X,Y]=\partial /\partial y$。

$0$ になりません。$X$ の流れが $Y$ の向きを変えていることの現れ。

流れが交換しない度合いを測る

$[X,Y]$ は、2 つの流れが交換するかどうかを測ります。$X$ に沿って $t$、$Y$ に沿って $s$、$X$ に沿って $-t$、$Y$ に沿って $-s$ と動くと、出発点に戻らない^[6]。

ずれは $ts[X,Y]$ に比例します。2 次の量。

$[X,Y]=0$ なら局所的に流れが交換し、$X$ と $Y$ を座標ベクトル場にとれる座標が存在します。

灰色が出発点、黒が 4 歩めの到着点です。同じだけ進んで同じだけ戻ったのに、位置がずれる。

ずれる向きが $[X,Y]$ の向きです。括弧が $0$ でないとは、この四角が閉じないこと。

微分形式のリー微分

形式に対しては、引き戻しの微分として定義されます。値は次数を変えません。

$L_X$ は次数 $0$ の微分で、ライプニッツ則は符号なしです。

$$L_X(\alpha \wedge \beta )=(L_X\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge (L_X\beta )$$

次数を変えないので、符号のずれが出ません^[3]。

カルタンの公式

リー微分は、外微分と内部積で書けます。

$$L_X=d\circ i_X+i_X\circ d$$

これがカルタンの公式です^[1,2]。魔法の公式とも呼ばれます。

次数を数えると納得しやすくなります。$i_X$ が $-1$、$d$ が $+1$ なので、どちらの順でも合計は $0$。

例：カルタンの公式を $1$ 形式で確かめる

$\omega =fdx$、$X=\partial /\partial y$ とします。

$i_X\omega =0$ なので $d(i_X\omega )=0$ です。$d\omega =\frac{\partial f}{\partial y}dy\wedge dx$ で、$i_X(d\omega )=\frac{\partial f}{\partial y}dx$。

いっぽう流れは $y$ 方向の平行移動なので、$L_X\omega =\frac{\partial f}{\partial y}dx$ です。合いました。

公式の証明の筋

両辺とも次数 $0$ の微分で、$d$ と交換します。この 2 つの性質を持つ作用素は、関数と $df$ での値で決まる。

関数では左辺が $X(f)$、右辺が $i_X(df)=df(X)=X(f)$ です。$df$ では両辺とも $d(X(f))$。

したがって全体で一致します。生成元での一致から全体の一致を出す、という型の議論^[5]。

リー微分は $d$ と交換する

$L_X(d\omega )=d(L_X\omega )$ が成り立ちます。カルタンの公式に $d\circ d=0$ を入れれば出る。

$L_{X}d=(d{i}_X+i_{X}d)d=d{i}_{X}d$ で、$d{L}_X=d(d{i}_X+i_{X}d)=d{i}_{X}d$ です。等しい。

$i_X$ のほうは $d$ と交換しません。交換しないずれがちょうど $L_X$、という読み方もできます。

共変微分との違い

$L_{X}Y$ は $X$ について $C^{\infty }(M)$ 線型ではありません。$L_{fX}Y=f{L}_{X}Y-Y(f)X$ となり、余分な項が出る。

共変微分 ${\nabla }_{X}Y$ は $X$ について線型です。この差が、リー微分では接続が要らない理由になっています。

リー微分は多様体の構造だけで定義でき、共変微分は接続という追加の構造を要ります。使える場面と払う代償が入れ替わる。

体積形式のリー微分は発散

$\omega$ を体積形式とすると、$L_X\omega =(\mathrm{div}X)\omega$ が成り立ちます^[5]。

カルタンの公式で $d\omega =0$ なので、$L_X\omega =d(i_X\omega )$ です。$i_X\omega$ の外微分が発散の係数を出す。

発散を「流れによる体積の膨張率」と説明することがありますが、この式がその説明そのものになっています。

体積が増える流れと変わらない流れを、並べて描きます。

左は湧き出しがあり、右はありません。どちらも四角の形は変わりますが、面積が変わるのは左だけ。

3 歩とも、リー微分の定義をそのままたどっただけです。発散という言葉を先に置かなくても出てくる。

例：湧き出しのある流れ

$X=x\partial /\partial x+y\partial /\partial y$ とします。原点から外向きに広がる流れ。

$i_X(dx\wedge dy)=xdy-ydx$ で、外微分は $2dx\wedge dy$ です。発散は $2$。

面積は $e^{2t}$ 倍に増えます。さきに見た $L_X\omega =0$ の流れとは対照的。

キリングベクトル場

計量 $g$ に対して $L_{X}g=0$ となる $X$ をキリングベクトル場といいます^[4]。

流れが等長変換になる、という意味です。長さを変えずに動かす向き。

座標では ${\nabla }_{\mu }{X}_{\nu }+{\nabla }_{\nu }{X}_{\mu }=0$ と書けます。キリング方程式。

例：平面の等長変換

平面では、平行移動 2 本と回転 1 本の計 3 本が独立なキリングベクトル場です。

$n$ 次元の平坦な空間では $n(n+1)/2$ 本になります^[4]。$n$ 本の平行移動と $n(n-1)/2$ 本の回転。

この本数が最大で、達するものを最大対称空間といいます。

例：球面の 3 本

$S^2$ では、3 つの座標軸まわりの回転が独立なキリングベクトル場です。$2\cdot 3/2=3$ で上限に達している。

対称性が高い空間ほどキリング場が多くなります。逆に、一般の計量ではキリング場が 1 本もありません。

シュヴァルツシルト計量では 4 本あります。時間方向 1 本と、空間の回転 3 本^[4]。

よくある誤り

参考文献