リーマン曲率テンソルをクリストッフェル記号から計算する

曲率テンソルは、クリストッフェル記号から機械的に計算できます。手順は決まっていて、迷うところがありません。

面倒なのは量です。添字が 4 つあるので、素朴に数えれば $n^{4}$ 個の成分がある。対称性と具体例を使って、その面倒をどう減らすかが実務になります。

定義から成分へ

座標基底で $R (\partial_{i}, \partial_{j}) \partial_{k} = R_{k ij}^{l} \partial_{l}$ と書きます。定義に $\nabla_{\partial_{i}} \partial_{j} = Γ_{ij}^{k} \partial_{k}$ を入れて整理すると、成分の式が出ます^[1]^[2]。

$R_{k ij}^{l} = \partial_{i} Γ_{j k}^{l} - \partial_{j} Γ_{ik}^{l} + Γ_{im}^{l} Γ_{j k}^{m} - Γ_{j m}^{l} Γ_{ik}^{m}$

前半が $Γ$ の微分の差、後半が $Γ$ どうしの積の差。 $Γ$ が計量とその 1 階微分から作られるので、 $R$ は計量の 2 階微分までで決まります^[3]。

計算の順序も決まります。計量を書き、 $Γ$ を出し、上の式へ入れる。この 3 段だけです。

$Γ_{ij}^{k} = \frac{1}{2} g^{k l} (\partial_{i} g_{j l} + \partial_{j} g_{i l} - \partial_{l} g_{ij})$

手順を分解する

計算の全体像を、もう少し細かく並べておきます。

計量

g_{ij}

を座標で書き下す。

逆行列

g^{ij}

を作る。対角なら逆数を並べるだけで済む。

Γ_{ij}^{k}

を公式で出す。

0

になる成分を先に見つけると楽になる。

R_{k ij}^{l}

を出す。独立な成分だけを狙う。

必要なら計量で添字を下ろし、

R_{ij k l}

にする。

3 段目でどれだけ $0$ を見つけられるかが分かれ目です。計量が対角で、成分が座標の一部にしかよらないとき、 $Γ$ の大半が消えます。

球面の場合、 $g_{φφ}$ だけが $θ$ に依存していました。だから $θ$ での微分を含む項しか残りません。

計量の 2 階微分まで

$R$ が計量の何階微分に依存するかを確かめておきます。

$Γ$ は $g$ とその 1 階微分から作られます。 $R$ の式には $Γ$ の 1 階微分が入るので、 $g$ の 2 階微分までが現れます^[3]。

3 階以上は出てきません。曲率は 2 階微分の情報だけを見ている、ということ。

テイラー展開でいえば、計量の 2 次の項が曲率を担います。1 次の項は座標の取り替えで消せるので、消せない最初の情報が 2 次にある。

2 次元での近道

2 次元では、成分をすべて計算せずに済みます。独立成分が 1 個なので、 $R_{1212}$ だけ出せば終わりです。

さらに、直交する座標なら公式が使えます。 $g = E d u^{2} + G d v^{2}$ の形なら、ガウス曲率が計量の微分だけで書けます。

球面の計算で $R_{212}^{1}$ を 1 つ出しただけだったのは、この事情によります。残りの成分は反対称性から自動で決まる。

3 次元でも 6 個、4 次元で 20 個です。次元が上がると急に増えるので、対称性を使わない計算はすぐ手に負えなくなります。

球面で最後までやってみる

単位球面 $S^{2}$ を球面座標 $(θ, φ)$ でとります。計量は次のとおり。

$g_{θ θ} = 1, g_{φφ} = sin^{2} θ, g_{θ φ} = 0$

逆行列は $g^{θ θ} = 1$ 、 $g^{φφ} = 1/ sin^{2} θ$ です。公式に入れると、 $0$ でない $Γ$ は 2 種類だけになります。

$Γ_{φφ}^{θ} = - sin θ cos θ, Γ_{θ φ}^{φ} = Γ_{φθ}^{φ} = cot θ$

添字を $1 = θ$ 、 $2 = φ$ と番号で書き、成分 $R_{212}^{1}$ を計算します^[1]。

$R_{212}^{1} = \partial_{1} Γ_{22}^{1} - \partial_{2} Γ_{12}^{1} + Γ_{1 m}^{1} Γ_{22}^{m} - Γ_{2 m}^{1} Γ_{12}^{m}$

項ごとに埋めます。第 1 項は $\partial_{θ} (- sin θ cos θ) = sin^{2} θ - cos^{2} θ$ 。

第 2 項は $Γ_{θ φ}^{θ} = 0$ なので消えます。第 3 項も $Γ_{θ m}^{θ}$ がすべて $0$ なので消える。

第 4 項だけ残ります。 $Γ_{φφ}^{θ} Γ_{θ φ}^{φ} = (- sin θ cos θ) (cot θ) = - cos^{2} θ$ で、これを引くので $+ cos^{2} θ$ 。

$R_{212}^{1} = (sin^{2} θ - cos^{2} θ) + cos^{2} θ = sin^{2} θ$

添字を下ろすと $R_{1212} = g_{11} R_{212}^{1} = sin^{2} θ$ です^[1]。

最後にガウス曲率へ直します。2 次元では $R_{1212} = K (g_{11} g_{22} - g_{12}^{2})$ なので、次のようになります^[1]。

$K = \frac{sin ^{2} θ}{sin ^{2} θ} = 1$

$θ$ が消えました。計算の途中では $θ$ が何度も現れたのに、最後に残るのは定数です。

3 本の曲線が計算の部品です。 $Γ$ も $R_{1212}$ も $θ$ とともに動きますが、計量の行列式で割ると $1$ に落ち着きます。

双曲平面でも同じ手順

上半平面に $g = y^{- 2} (d x^{2} + d y^{2})$ を入れます。同じ手順を踏むと $R_{1212} = - 1/ y^{4}$ が出ます^[1]。

$det g = 1/ y^{4}$ なので、割り算して $K = - 1$ ^[1]。ここでも位置によらない定数になります。

計量の見た目は $y$ に強く依存しています。それでも曲率が一定になるのは、双曲平面がどの点でも同じに見える空間だからです。

正規座標で楽をする

計算量を減らす手がいくつかあります。1 つが座標の選び方です。

点 $p$ で $Γ_{ij}^{k} (p) = 0$ となる座標をとれます。その座標では、 $p$ における曲率の式から積の項が落ちます^[1]。

$R_{k ij}^{l} (p) = \partial_{i} Γ_{j k}^{l} (p) - \partial_{j} Γ_{ik}^{l} (p)$

$Γ$ そのものは消えても、その微分は消えません。曲率が拾っているのは $Γ$ の 1 階微分だけだ、という事実がここに現れます。

青い曲線が $Γ$ の値のイメージです。 $p$ で $0$ になるように座標を選んでも、橙の接線が示す傾きは残ります。

歪んだ積を使う

もう 1 つの近道が、計量の形から一気に答えを出す公式です。区間と多様体の歪んだ積 $I \times_{f} F$ に $g = d t^{2} + f^{2} g_{F}$ を入れた場合、断面曲率が次で書けます^[1]。

F

に接する

V, W

について、

K (V, W) = (K_{F} (V, W) - (f^{'})^{2}) / f^{2}

になる。

V

と

\partial_{t}

について、

K (\partial_{t}, V) = - f^{''} / f

になる。

$Γ$ をいちいち出さずに済みます。 $f$ を 1 つ選べば曲率が決まる。

測地極座標で書いた模型空間が、そのまま当てはまります。 $R^{n}$ なら $f = r$ 、 $S^{n}$ なら $f = sin r$ 、 $H^{n}$ なら $f = sinh r$ ^[1]。

$f^{''} / f$ を計算するだけで $0$ 、 $1$ 、 $- 1$ が出ます。3 つの模型が $f$ の選び方だけで書き分けられます^[1]。

青い曲線が $f$ です。上へ反れば正の曲率、下へ反れば負の曲率。 $- f^{''} / f$ という比が符号を決めます。

対称性を検算に使う

手で計算すると符号や添字を間違えます。対称性が検算の道具になります^[1]。

(k, l)

について反対称。

R_{ij k l} = - R_{ij l k}

が成り立つ。

(i, j)

について反対称。

R_{ij k l} = - R_{j ik l}

が成り立つ。

組の入れ替えについて対称。

R_{ij k l} = R_{k l ij}

が成り立つ。

第一ビアンキ恒等式。

R_{ij k l} + R_{ik l j} + R_{i l j k} = 0

が成り立つ。

出した成分がこれらをみたさなければ、どこかで間違えています。特に反対称性は目視で確認できるので、最初に見るべき点です。

対称性のおかげで、計算すべき成分の数も減ります。 $n$ 次元での独立成分は $n^{2} (n^{2} - 1) /12$ 個^[1]。

2 次元なら 1 個で済みます。球面の計算で $R_{212}^{1}$ だけを出したのは、それ以外が反対称性から決まるためです。

別のやり方もある

座標と $Γ$ による計算は、原理が透明なかわりに手数がかかります。

正規直交な枠を選び、接続を 1 形式として扱う方法もあります。外微分と楔積で書けるので、成分の数が減って計算が短くなる。

どちらを使うかは場合によります。原理を確かめたいなら座標、実際に手を動かすなら枠を選ぶことが多い。

いずれの方法でも、出てくる $R$ は同じものです。座標によらない量なので、道具の選び方で答えが変わることはありません。

参考文献

Gaba Y U. *Géométrie Riemannienne, Notes de Cours Master M1*. 2025–2026.

Curvature tensor. Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society.

Treude J-H. *Riemannsche Geometrie*. Vorlesungsskript, Universität Konstanz, Wintersemester 2018/19.

曲率テンソルはクリストッフェル記号から機械的に出せます。計量、逆行列、Γ、R という 4 段の手順を、単位球面で最後まで通して計算し、θ が残る途中式から定数 1 が出てくるところまで追います。正規座標で積の項を落とす近道、歪んだ積の公式で f を選ぶだけで曲率が決まる仕組み、対称性を検算に使う手も扱います。