リーマン曲率テンソルをクリストッフェル記号から計算する

曲率テンソルは、クリストッフェル記号から機械的に計算できます。手順は決まっていて、迷うところがありません。

面倒なのは量です。添字が 4 つあるので、素朴に数えれば $n^4$ 個の成分がある。対称性と具体例を使って、その面倒をどう減らすかが実務になります。

定義から成分へ

座標基底で $R({\partial }_i,{\partial }_j){\partial }_k=R_{kij}^l{\partial }_l$ と書きます。定義に ${\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j={\Gamma }_{ij}^k{\partial }_k$ を入れて整理すると、成分の式が出ます^[1][2]。

$$R_{kij}^l={\partial }_i{\Gamma }_{jk}^l-{\partial }_j{\Gamma }_{ik}^l+{\Gamma }_{im}^l{\Gamma }_{jk}^m-{\Gamma }_{jm}^l{\Gamma }_{ik}^m$$

前半が $\Gamma$ の微分の差、後半が $\Gamma$ どうしの積の差。$\Gamma$ が計量とその 1 階微分から作られるので、$R$ は計量の 2 階微分までで決まります^[3]。

計算の順序も決まります。計量を書き、$\Gamma$ を出し、上の式へ入れる。この 3 段だけです。

$${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}({\partial }_i{g}_{jl}+{\partial }_j{g}_{il}-{\partial }_l{g}_{ij})$$

手順を分解する

計算の全体像を、もう少し細かく並べておきます。

3 段目でどれだけ $0$ を見つけられるかが分かれ目です。計量が対角で、成分が座標の一部にしかよらないとき、$\Gamma$ の大半が消えます。

球面の場合、$g_{\phi \phi }$ だけが $\theta$ に依存していました。だから $\theta$ での微分を含む項しか残りません。

計量の 2 階微分まで

$R$ が計量の何階微分に依存するかを確かめておきます。

$\Gamma$ は $g$ とその 1 階微分から作られます。$R$ の式には $\Gamma$ の 1 階微分が入るので、$g$ の 2 階微分までが現れます^[3]。

3 階以上は出てきません。曲率は 2 階微分の情報だけを見ている、ということ。

テイラー展開でいえば、計量の 2 次の項が曲率を担います。1 次の項は座標の取り替えで消せるので、消せない最初の情報が 2 次にある。

2 次元での近道

2 次元では、成分をすべて計算せずに済みます。独立成分が 1 個なので、$R_{1212}$ だけ出せば終わりです。

さらに、直交する座標なら公式が使えます。$g=Ed{u}^2+Gd{v}^2$ の形なら、ガウス曲率が計量の微分だけで書けます。

球面の計算で $R_{212}^1$ を 1 つ出しただけだったのは、この事情によります。残りの成分は反対称性から自動で決まる。

3 次元でも 6 個、4 次元で 20 個です。次元が上がると急に増えるので、対称性を使わない計算はすぐ手に負えなくなります。

球面で最後までやってみる

単位球面 $S^2$ を球面座標 $(\theta ,\phi )$ でとります。計量は次のとおり。

$$g_{\theta \theta }=1,g_{\phi \phi }={\sin }^2\theta ,g_{\theta \phi }=0$$

逆行列は $g^{\theta \theta }=1$、$g^{\phi \phi }=1/{\sin }^2\theta$ です。公式に入れると、$0$ でない $\Gamma$ は 2 種類だけになります。

$${\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }={\Gamma }_{\phi \theta }^{\phi }=\cot \theta$$

添字を $1=\theta$、$2=\phi$ と番号で書き、成分 $R_{212}^1$ を計算します^[1]。

$$R_{212}^1={\partial }_1{\Gamma }_{22}^1-{\partial }_2{\Gamma }_{12}^1+{\Gamma }_{1m}^1{\Gamma }_{22}^m-{\Gamma }_{2m}^1{\Gamma }_{12}^m$$

項ごとに埋めます。第 1 項は ${\partial }_{\theta }(-\sin \theta \cos \theta )={\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta$。

第 2 項は ${\Gamma }_{\theta \phi }^{\theta }=0$ なので消えます。第 3 項も ${\Gamma }_{\theta m}^{\theta }$ がすべて $0$ なので消える。

第 4 項だけ残ります。${\Gamma }_{\phi \phi }^{\theta }{\Gamma }_{\theta \phi }^{\phi }=(-\sin \theta \cos \theta )(\cot \theta )=-{\cos }^2\theta$ で、これを引くので $+{\cos }^2\theta$。

$$R_{212}^1=({\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta )+{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$$

添字を下ろすと $R_{1212}=g_{11}{R}_{212}^1={\sin }^2\theta$ です^[1]。

最後にガウス曲率へ直します。2 次元では $R_{1212}=K(g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2)$ なので、次のようになります^[1]。

$$K=\frac{{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=1$$

$\theta$ が消えました。計算の途中では $\theta$ が何度も現れたのに、最後に残るのは定数です。

3 本の曲線が計算の部品です。$\Gamma$ も $R_{1212}$ も $\theta$ とともに動きますが、計量の行列式で割ると $1$ に落ち着きます。

双曲平面でも同じ手順

上半平面に $g=y^{-2}(d{x}^2+d{y}^2)$ を入れます。同じ手順を踏むと $R_{1212}=-1/y^4$ が出ます^[1]。

$\det g=1/y^4$ なので、割り算して $K=-1$^[1]。ここでも位置によらない定数になります。

計量の見た目は $y$ に強く依存しています。それでも曲率が一定になるのは、双曲平面がどの点でも同じに見える空間だからです。

正規座標で楽をする

計算量を減らす手がいくつかあります。1 つが座標の選び方です。

点 $p$ で ${\Gamma }_{ij}^k(p)=0$ となる座標をとれます。その座標では、$p$ における曲率の式から積の項が落ちます^[1]。

$$R_{kij}^l(p)={\partial }_i{\Gamma }_{jk}^l(p)-{\partial }_j{\Gamma }_{ik}^l(p)$$

$\Gamma$ そのものは消えても、その微分は消えません。曲率が拾っているのは $\Gamma$ の 1 階微分だけだ、という事実がここに現れます。

青い曲線が $\Gamma$ の値のイメージです。$p$ で $0$ になるように座標を選んでも、橙の接線が示す傾きは残ります。

歪んだ積を使う

もう 1 つの近道が、計量の形から一気に答えを出す公式です。区間と多様体の歪んだ積 $I{\times }_{f}F$ に $g=d{t}^2+f^2{g}_F$ を入れた場合、断面曲率が次で書けます^[1]。

$\Gamma$ をいちいち出さずに済みます。$f$ を 1 つ選べば曲率が決まる。

測地極座標で書いた模型空間が、そのまま当てはまります。${\mathbb{R}}^n$ なら $f=r$、$S^n$ なら $f=\sin r$、$H^n$ なら $f=\sinh r$^[1]。

$f^{\prime \prime }/f$ を計算するだけで $0$、$1$、$-1$ が出ます。3 つの模型が $f$ の選び方だけで書き分けられます^[1]。

青い曲線が $f$ です。上へ反れば正の曲率、下へ反れば負の曲率。$-f^{\prime \prime }/f$ という比が符号を決めます。

対称性を検算に使う

手で計算すると符号や添字を間違えます。対称性が検算の道具になります^[1]。

出した成分がこれらをみたさなければ、どこかで間違えています。特に反対称性は目視で確認できるので、最初に見るべき点です。

対称性のおかげで、計算すべき成分の数も減ります。$n$ 次元での独立成分は $n^2(n^2-1)/12$ 個^[1]。

2 次元なら 1 個で済みます。球面の計算で $R_{212}^1$ だけを出したのは、それ以外が反対称性から決まるためです。

別のやり方もある

座標と $\Gamma$ による計算は、原理が透明なかわりに手数がかかります。

正規直交な枠を選び、接続を 1 形式として扱う方法もあります。外微分と楔積で書けるので、成分の数が減って計算が短くなる。

どちらを使うかは場合によります。原理を確かめたいなら座標、実際に手を動かすなら枠を選ぶことが多い。

いずれの方法でも、出てくる $R$ は同じものです。座標によらない量なので、道具の選び方で答えが変わることはありません。

参考文献