一般線型群と特殊線型群

一般線型群と特殊線型群は行列のなす群であり、線型代数と群論を結びつける基本的な対象である。

一般線型群の定義

体 $K$ 上の $n$ 次一般線型群 $G L_{n} (K)$ は、 $n$ 次正則行列（逆行列を持つ行列）全体のなす群である。

$G L_{n} (K) = {A \in M_{n} (K) : det A \neq = 0}$

演算は行列の積、単位元は単位行列 $I_{n}$ 、逆元は逆行列 $A^{- 1}$ である。

一般線型群の位数

$K = F_{q}$ （ $q$ 元体）のとき、 $G L_{n} (F_{q})$ は有限群であり、その位数は

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = (q^{n} - 1) (q^{n} - q) (q^{n} - q^{2}) \dots (q^{n} - q^{n - 1})$

である。第 $k$ 列は、それ以前の列と線型独立な $q^{n} - q^{k - 1}$ 通りの選び方がある。

$∣ G L_{2} (F_{2}) ∣ = (4 - 1) (4 - 2) = 6$ であり、 $G L_{2} (F_{2}) ≅ S_{3}$ となる。

特殊線型群の定義

特殊線型群 $S L_{n} (K)$ は行列式が $1$ の行列全体である。

$S L_{n} (K) = {A \in G L_{n} (K) : det A = 1}$

$det (A B) = det A \cdot det B$ より、 $S L_{n} (K)$ は $G L_{n} (K)$ の部分群である。

特殊線型群の位数

有限体上では

$∣ S L_{n} (F_{q}) ∣ = \frac{∣ G L _{n} ( F _{q} ) ∣}{q - 1}$

となる。これは $det : G L_{n} (F_{q}) \to F_{q}^{\times}$ が全射準同型で、核が $S L_{n} (F_{q})$ であることから従う。

$G L_{n}$ と $S L_{n}$ の関係

行列式写像 $det : G L_{n} (K) \to K^{\times}$ は全射群準同型であり、 $ker (det) = S L_{n} (K)$ である。第一同型定理より

$G L_{n} (K) / S L_{n} (K) ≅ K^{\times}$

が成り立つ。 $S L_{n} (K)$ は $G L_{n} (K)$ の正規部分群である。

中心

$G L_{n} (K)$ の中心はスカラー行列全体 $Z (G L_{n} (K)) = {λ I_{n} : λ \in K^{\times}}$ である。これは $K^{\times}$ と同型である。

$S L_{n} (K)$ の中心は $Z (S L_{n} (K)) = {λ I_{n} : λ^{n} = 1}$ であり、 $K$ の $n$ 乗根全体と同型である。

射影線型群

射影一般線型群と射影特殊線型群を

$PG L_{n} (K) = G L_{n} (K) / Z (G L_{n} (K)), PS L_{n} (K) = S L_{n} (K) / Z (S L_{n} (K))$

で定義する。 $PS L_{n} (K)$ は多くの場合に単純群となる。

単純性

$n \geq 2$ かつ $(n, ∣ K ∣) \neq = (2, 2), (2, 3)$ のとき、 $PS L_{n} (K)$ は単純群である。

$PS L_{2} (F_{5}) ≅ A_{5}$ 、 $PS L_{2} (F_{7})$ は位数 $168$ の単純群である。有限単純群の分類において線型群は重要な役割を果たす。

基本変形と生成元

$S L_{n} (K)$ は基本行列（対角成分が $1$ 、非対角成分が1箇所だけ非零の行列）で生成される。行列の基本変形が $S L_{n}$ の元で実現できることを意味する。

$G L_{n} (K)$ はこれにスカラー行列を加えれば生成される。

実数体と複素数体の場合

$G L_{n} (R)$ は2つの連結成分を持つ。 $det A > 0$ の成分と $det A < 0$ の成分である。 $det A > 0$ の成分を $G L_{n}^{+} (R)$ と書く。

$G L_{n} (C)$ と $S L_{n} (C)$ は連結である。これらはリー群の重要な例である。