行列式で切って中心で割る、一般線型群と特殊線型群から PSL へ

体 $K$ 上の $n$ 次正則行列の全体が一般線型群 $G L_{n} (K)$ 、そのうち行列式が $1$ のものが特殊線型群 $S L_{n} (K)$ です。

有限体上なら位数が数えられ、中心で割ると単純群が出てきます。有限単純群の系列のうち、いちばん手前にあるのがこの群です^[1]。

位数を数える

$F_{q}$ を $q$ 元体とします。 $G L_{n} (F_{q})$ の位数は、行列を「基底の行き先」と見れば数えられます。

正則行列は、標準基底 $e_{1}, \dots, e_{n}$ を別の基底へ送る写像です。だから位数は、順序つき基底の個数と同じになります。

1 本目は $0$ でないベクトルなら何でもよく、 $q^{n} - 1$ 通り。2 本目は 1 本目の張る直線の外にあればよいので $q^{n} - q$ 通り。 $k$ 本目は、それまでの $k - 1$ 本が張る部分空間の外にあればよく、その部分空間の元は $q^{k - 1}$ 個です。

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = (q^{n} - 1) (q^{n} - q) (q^{n} - q^{2}) \dots (q^{n} - q^{n - 1})$

$q$ のべきをくくり出すと、次の形にも書けます。

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = q^{n (n - 1) /2} i = 1 \prod n (q^{i} - 1)$

小さい場合を確かめます。 $∣ G L_{2} (F_{2}) ∣ = (4 - 1) (4 - 2) = 6$ です。位数 $6$ の非可換群は $S_{3}$ しかないので、 $G L_{2} (F_{2}) ≅ S_{3}$ になります^[1]。

行列式で切る

行列式は準同型 $det : G L_{n} (K) \to K^{\times}$ です。 $diag (a, 1, \dots, 1)$ の行列式が $a$ なので全射になります。

核が $S L_{n} (K)$ なので、第一同型定理から次が出ます。

$G L_{n} (K) / S L_{n} (K) ≅ K^{\times}$

有限体では $∣ K^{\times} ∣ = q - 1$ なので、位数の関係が決まります。

$∣ S L_{n} (F_{q}) ∣ = \frac{∣ G L _{n} ( F _{q} ) ∣}{q - 1} = q^{n (n - 1) /2} i = 2 \prod n (q^{i} - 1)$

$S L_{n} (K)$ は核なので正規部分群です。

中心はスカラーだけ

$G L_{n} (K)$ の中心を求めます。 $A$ が中心にあるとします。

$i \neq = j$ について $I + E_{ij}$ は正則なので、 $A$ はこれと可換です。 $I$ とも可換だから、 $A$ は $E_{ij}$ と可換になります。

成分で書きます。 $(A E_{ij})_{k l} = a_{k i} δ_{j l}$ 、 $(E_{ij} A)_{k l} = δ_{k i} a_{j l}$ です。

$k = i$ 、 $l = j$ とすると $a_{ii} = a_{j j}$ 。 $k \neq = i$ 、 $l = j$ とすると $a_{k i} = 0$ になります。

対角成分がすべて等しく、非対角成分がすべて $0$ 。 $A$ はスカラー行列です。

$Z (G L_{n} (K)) = {λ I_{n} : λ \in K^{\times}} ≅ K^{\times}$

$S L_{n} (K)$ でも同じ計算が通ります。 $I + E_{ij}$ の行列式は $1$ なので $S L_{n}$ の中にいるためです。あとは行列式の条件が付くだけ。

$Z (S L_{n} (K)) = {λ I_{n} : λ^{n} = 1}$

有限体では $K^{\times}$ が位数 $q - 1$ の巡回群なので、 $λ^{n} = 1$ の解は $g cd (n, q - 1)$ 個です。

射影化する

中心で割ったものを射影線型群といいます。

$P G L_{n} (K) = G L_{n} (K) / Z (G L_{n} (K)), P S L_{n} (K) = S L_{n} (K) / Z (S L_{n} (K))$

有限体上の位数はこうなります。

$∣ P S L_{n} (F_{q}) ∣ = \frac{1}{g cd ( n , q - 1 )} \cdot q^{n (n - 1) /2} i = 2 \prod n (q^{i} - 1)$

$n = 2$ に落とすと見やすい形になります。

$∣ P S L_{2} (F_{q}) ∣ = \frac{q ( q ^{2} - 1 )}{g cd ( 2 , q - 1 )}$

$q = 4$ で $60$ 、 $q = 5$ でも $60$ 、 $q = 7$ で $168$ 、 $q = 9$ で $360$ です。

基本行列が生成する

$i \neq = j$ 、 $λ \in K^{\times}$ に対する $I_{n} + λ E_{ij}$ を基本行列といいます。行列式は $1$ なので $S L_{n} (K)$ に入ります。

$n \geq 2$ のとき、これらが $S L_{n} (K)$ を生成します^[1]。

掃き出し法がその中身です。 $S L_{n}$ の元に行基本変形を当てて単位行列にできる、という手続きを行列の積として読み替えると、生成することが出ます。

幾何では、基本行列は超平面を各点で止めたまま空間をずらす写像です。これを transvection と呼びます^[2]。 $T - I$ の像が 1 次元で、 $(T - I)^{2} = 0$ になる元として特徴づけられます^[2]。

実数体では連結成分が 2 つ

$G L_{n} (R)$ は 2 つの連結成分を持ちます。行列式が正の部分と負の部分です。

$det$ は連続で、 $R^{\times}$ は $2$ つの連結成分を持つので、成分は $2$ つ以上になります。

$2$ つで済むことは、基本行列が生成することから出ます。 $A \in S L_{n} (R)$ を基本行列の積 $\prod (I + λ_{k} E_{i_{k} j_{k}})$ と書き、各因子の $λ_{k}$ を $t λ_{k}$ に替えて $t$ を $1$ から $0$ へ動かせば、 $A$ から $I$ までの道ができます。

行列式が正の部分は $S L_{n} (R)$ と $diag (d, 1, \dots, 1)$ （ $d > 0$ ）の積で書けるので、こちらも連結です。

複素数体では $C^{\times}$ が連結なので、 $G L_{n} (C)$ も $S L_{n} (C)$ も連結になります。

Sylow 部分群が見える

$q = p^{f}$ とします。 $∣ G L_{n} (F_{q}) ∣$ の $p$ の部分は、上で書いた形からすぐ読めます。

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = q^{n (n - 1) /2} i = 1 \prod n (q^{i} - 1)$

$q^{i} - 1$ はどれも $p$ で割り切れないので、 $p$ の部分は $q^{n (n - 1) /2}$ です。

対角成分が $1$ の上三角行列の全体を $U$ とすると、自由に動く成分は対角より上の $n (n - 1) /2$ 個。各成分が $q$ 通りなので $∣ U ∣ = q^{n (n - 1) /2}$ になります。

位数が一致するので、 $U$ は $G L_{n} (F_{q})$ の Sylow $p$ 部分群です^[3]。

有限 $p$ 群が上三角の形に埋め込めるのは、この事実の帰結です^[3]。どの $p$ 群も十分大きい $n$ で $G L_{n} (Z / p Z)$ に埋め込め、Sylow の共役性から $U$ の中に入る。

GL の側

行列式が自由に動く。可換な商 $K^{\times}$ を持つので単純にならない

PSL の側

行列式を $1$ に固定し、中心で割る。ここで単純群になる

$P S L_{n}$ は単純になる

$n \geq 2$ と体 $F$ について、 $P S L_{n} (F)$ は単純群です^[1]。例外は $n = 2$ かつ $F = F_{2}$ または $F_{3}$ の 2 つだけ。

Galois が 1831 年に $p > 3$ の素数について $P S L_{2} (F_{p})$ の単純性を主張しましたが、証明は付けていません^[1]。 $p = 2, 3$ を外したのは、 $P S L_{2} (F_{2}) ≅ S_{3}$ と $P S L_{2} (F_{3}) ≅ A_{4}$ がどちらも単純でないためです。

証明は 1870 年から 1901 年にかけて仕上がりました^[1]。有限素体で Jordan、 $n = 2$ の有限体で Moore、残りを Dickson が埋めています。

いま標準になっている筋道は、岩澤の判定条件を使うものです^[1]。

G

が集合

X

に 2 重可移に作用する。

1 点の安定化群

G_{x}

が可換な正規部分群

A

を持つ。

A

の共役全体が

G

を生成する。

G

が自分自身の交換子群に等しい。

この 4 つが成り立てば $G$ は単純です^[2]。 $S L_{n} (F)$ を射影空間 $P^{n - 1} (F)$ に作用させると 2 重可移になり、作用の核がちょうど中心になる^[1]。

安定化群の中の可換正規部分群として transvection の群をとると、条件がそろいます。除外される 2 つは、最後の条件 $G = [G, G]$ が崩れる場合です^[1]。

小さいところでの一致

位数が一致する場所では、実際に同型になります。

GL2(F2) = PSL2(F2)	位数 6、S3 と同型
PSL2(F3)	位数 12、A4 と同型
PSL2(F4)	位数 60、A5 と同型
PSL2(F5)	位数 60、A5 と同型
PSL2(F7)	位数 168、PSL3(F2) と同型
PSL2(F9)	位数 360、A6 と同型

$168$ は、 $60$ の次に小さい非可換単純群の位数です。 $G L_{3} (F_{2})$ の位数を上で数えたときに出た $7 \times 6 \times 4 = 168$ が、それにあたります。

$3$ 次以上でも同じ形の一致があります。 $A_{8} ≅ P S L_{4} (F_{2})$ で、位数はどちらも $20160$ です。

$∣ G L_{3} (F_{2}) ∣$ はいくつですか。

$2^{9} = 512$
$(8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168$
$3! \cdot 2^{3} = 48$

__RESULT__

正則行列は標準基底を別の基底へ送る写像なので、順序つき基底の個数を数えればよい。1 本目は $0$ でないベクトルで $8 - 1$ 通り、2 本目は 1 本目の張る直線の外で $8 - 2$ 通り、3 本目は 2 本が張る平面の外で $8 - 4$ 通りです。 $q = 2$ では $q - 1 = 1$ なので $G L_{3} (F_{2}) = S L_{3} (F_{2})$ で、中心も自明なため $P S L_{3} (F_{2})$ も位数 $168$ になります。

行列式で切り、中心で割る。この 2 手だけで、線型代数の道具が有限単純群の系列に変わります。位数の公式を書き下せることが、この系列が分類の中で扱いやすい理由になっています。

参考文献

Keith Conrad, *Simplicity of PSLn(F)*, University of Connecticut

Peter J. Cameron, *Notes on Classical Groups*, Queen Mary University of London

Jean-Pierre Serre, *Groupes finis*, Collège de France

正則行列は標準基底を別の基底へ送る写像なので、位数は順序つき基底の個数として数えられます。$k$ 本目に選べるのは、それまでの $k-1$ 本が張る部分空間の外。この数え方から $q$ の冪と $q^i - 1$ の積という形が出ます。行列式を準同型と見れば $GL_n$ を $SL_n$ で割った商が乗法群になり、中心がスカラー行列だけであることは基本行列との可換性から決まる。2 度割って届く $PSL_n$ は、$n = 2$ で $q$ が 2 か 3 の場合だけを除いて単純群です。基本行列が $SL_n$ を生成すること、対角が 1 の上三角行列が Sylow $p$ 部分群になること、位数 168 や 360 で起きる交代群との一致まで。