行列式で切って中心で割る、一般線型群と特殊線型群から PSL へ

体 $K$ 上の $n$ 次正則行列の全体が一般線型群 $G{L}_n(K)$、そのうち行列式が $1$ のものが特殊線型群 $S{L}_n(K)$ です。

有限体上なら位数が数えられ、中心で割ると単純群が出てきます。有限単純群の系列のうち、いちばん手前にあるのがこの群です^[1]。

位数を数える

${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 元体とします。$G{L}_n({\mathbb{F}}_q)$ の位数は、行列を「基底の行き先」と見れば数えられます。

正則行列は、標準基底 $e_1,\dots ,e_n$ を別の基底へ送る写像です。だから位数は、順序つき基底の個数と同じになります。

1 本目は $0$ でないベクトルなら何でもよく、$q^n-1$ 通り。2 本目は 1 本目の張る直線の外にあればよいので $q^n-q$ 通り。$k$ 本目は、それまでの $k-1$ 本が張る部分空間の外にあればよく、その部分空間の元は $q^{k-1}$ 個です。

$$|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|=(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{n-1})$$

$q$ のべきをくくり出すと、次の形にも書けます。

$$|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|=q^{n(n-1)/2}\prod _{i=1}^n(q^i-1)$$

小さい場合を確かめます。$|G{L}_2({\mathbb{F}}_2)|=(4-1)(4-2)=6$ です。位数 $6$ の非可換群は $S_3$ しかないので、$G{L}_2({\mathbb{F}}_2)\cong S_3$ になります^[1]。

行列式で切る

行列式は準同型 $\det :G{L}_n(K)\to K^{\times }$ です。$\mathrm{diag}(a,1,\dots ,1)$ の行列式が $a$ なので全射になります。

核が $S{L}_n(K)$ なので、第一同型定理から次が出ます。

$$G{L}_n(K)/S{L}_n(K)\cong K^{\times }$$

有限体では $|K^{\times }|=q-1$ なので、位数の関係が決まります。

$$|S{L}_n({\mathbb{F}}_q)|=\frac{|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|}{q-1}=q^{n(n-1)/2}\prod _{i=2}^n(q^i-1)$$

$S{L}_n(K)$ は核なので正規部分群です。

中心はスカラーだけ

$G{L}_n(K)$ の中心を求めます。$A$ が中心にあるとします。

$i\ne j$ について $I+E_{ij}$ は正則なので、$A$ はこれと可換です。$I$ とも可換だから、$A$ は $E_{ij}$ と可換になります。

成分で書きます。$(A{E}_{ij}{)}_{kl}=a_{ki}{\delta }_{jl}$、$(E_{ij}A{)}_{kl}={\delta }_{ki}{a}_{jl}$ です。

$k=i$、$l=j$ とすると $a_{ii}=a_{jj}$。$k\ne i$、$l=j$ とすると $a_{ki}=0$ になります。

対角成分がすべて等しく、非対角成分がすべて $0$。$A$ はスカラー行列です。

$$Z(G{L}_n(K))=\{\lambda I_n:\lambda \in K^{\times }\}\cong K^{\times }$$

$S{L}_n(K)$ でも同じ計算が通ります。$I+E_{ij}$ の行列式は $1$ なので $S{L}_n$ の中にいるためです。あとは行列式の条件が付くだけ。

$$Z(S{L}_n(K))=\{\lambda I_n:{\lambda }^n=1\}$$

有限体では $K^{\times }$ が位数 $q-1$ の巡回群なので、${\lambda }^n=1$ の解は $\gcd (n,q-1)$ 個です。

射影化する

中心で割ったものを射影線型群といいます。

$$PG{L}_n(K)=G{L}_n(K)/Z(G{L}_n(K)),PS{L}_n(K)=S{L}_n(K)/Z(S{L}_n(K))$$

有限体上の位数はこうなります。

$$|PS{L}_n({\mathbb{F}}_q)|=\frac{1}{\gcd (n,q-1)}\cdot q^{n(n-1)/2}\prod _{i=2}^n(q^i-1)$$

$n=2$ に落とすと見やすい形になります。

$$|PS{L}_2({\mathbb{F}}_q)|=\frac{q(q^2-1)}{\gcd (2,q-1)}$$

$q=4$ で $60$、$q=5$ でも $60$、$q=7$ で $168$、$q=9$ で $360$ です。

基本行列が生成する

$i\ne j$、$\lambda \in K^{\times }$ に対する $I_n+\lambda E_{ij}$ を基本行列といいます。行列式は $1$ なので $S{L}_n(K)$ に入ります。

$n\ge 2$ のとき、これらが $S{L}_n(K)$ を生成します^[1]。

掃き出し法がその中身です。$S{L}_n$ の元に行基本変形を当てて単位行列にできる、という手続きを行列の積として読み替えると、生成することが出ます。

幾何では、基本行列は超平面を各点で止めたまま空間をずらす写像です。これを transvection と呼びます^[2]。$T-I$ の像が 1 次元で、$(T-I{)}^2=0$ になる元として特徴づけられます^[2]。

実数体では連結成分が 2 つ

$G{L}_n(\mathbb{R})$ は 2 つの連結成分を持ちます。行列式が正の部分と負の部分です。

$\det$ は連続で、${\mathbb{R}}^{\times }$ は $2$ つの連結成分を持つので、成分は $2$ つ以上になります。

$2$ つで済むことは、基本行列が生成することから出ます。$A\in S{L}_n(\mathbb{R})$ を基本行列の積 $\prod (I+{\lambda }_k{E}_{i_k{j}_k})$ と書き、各因子の ${\lambda }_k$ を $t{\lambda }_k$ に替えて $t$ を $1$ から $0$ へ動かせば、$A$ から $I$ までの道ができます。

行列式が正の部分は $S{L}_n(\mathbb{R})$ と $\mathrm{diag}(d,1,\dots ,1)$（$d>0$）の積で書けるので、こちらも連結です。

複素数体では ${\mathbb{C}}^{\times }$ が連結なので、$G{L}_n(\mathbb{C})$ も $S{L}_n(\mathbb{C})$ も連結になります。

Sylow 部分群が見える

$q=p^f$ とします。$|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|$ の $p$ の部分は、上で書いた形からすぐ読めます。

$$|G{L}_n({\mathbb{F}}_q)|=q^{n(n-1)/2}\prod _{i=1}^n(q^i-1)$$

$q^i-1$ はどれも $p$ で割り切れないので、$p$ の部分は $q^{n(n-1)/2}$ です。

対角成分が $1$ の上三角行列の全体を $U$ とすると、自由に動く成分は対角より上の $n(n-1)/2$ 個。各成分が $q$ 通りなので $|U|=q^{n(n-1)/2}$ になります。

位数が一致するので、$U$ は $G{L}_n({\mathbb{F}}_q)$ の Sylow $p$ 部分群です^[3]。

有限 $p$ 群が上三角の形に埋め込めるのは、この事実の帰結です^[3]。どの $p$ 群も十分大きい $n$ で $G{L}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ に埋め込め、Sylow の共役性から $U$ の中に入る。

$PS{L}_n$ は単純になる

$n\ge 2$ と体 $F$ について、$PS{L}_n(F)$ は単純群です^[1]。例外は $n=2$ かつ $F={\mathbb{F}}_2$ または ${\mathbb{F}}_3$ の 2 つだけ。

Galois が 1831 年に $p>3$ の素数について $PS{L}_2({\mathbb{F}}_p)$ の単純性を主張しましたが、証明は付けていません^[1]。$p=2,3$ を外したのは、$PS{L}_2({\mathbb{F}}_2)\cong S_3$ と $PS{L}_2({\mathbb{F}}_3)\cong A_4$ がどちらも単純でないためです。

証明は 1870 年から 1901 年にかけて仕上がりました^[1]。有限素体で Jordan、$n=2$ の有限体で Moore、残りを Dickson が埋めています。

いま標準になっている筋道は、岩澤の判定条件を使うものです^[1]。

この 4 つが成り立てば $G$ は単純です^[2]。$S{L}_n(F)$ を射影空間 $P^{n-1}(F)$ に作用させると 2 重可移になり、作用の核がちょうど中心になる^[1]。

安定化群の中の可換正規部分群として transvection の群をとると、条件がそろいます。除外される 2 つは、最後の条件 $G=[G,G]$ が崩れる場合です^[1]。

小さいところでの一致

位数が一致する場所では、実際に同型になります。

$168$ は、$60$ の次に小さい非可換単純群の位数です。$G{L}_3({\mathbb{F}}_2)$ の位数を上で数えたときに出た $7\times 6\times 4=168$ が、それにあたります。

$3$ 次以上でも同じ形の一致があります。$A_8\cong PS{L}_4({\mathbb{F}}_2)$ で、位数はどちらも $20160$ です。

行列式で切り、中心で割る。この 2 手だけで、線型代数の道具が有限単純群の系列に変わります。位数の公式を書き下せることが、この系列が分類の中で扱いやすい理由になっています。

参考文献