ユニタリ群

ユニタリ群は複素内積（エルミート内積）を保つ線型変換のなす群である。量子力学において状態空間の対称性を記述する。

ユニタリ群の定義

$n$ 次ユニタリ群 $U(n)$ は、${\mathbb{C}}^n$ の標準エルミート内積を保つ線型変換全体である。

$$U(n)=\{A\in G{L}_n(\mathbb{C}):A^{\ast }A=I_n\}$$

ここで $A^{\ast }={\overline{A}}^T$ は $A$ の随伴行列（複素共役転置）である。

ユニタリ行列の性質

$A\in U(n)$ ならば $|\det A|=1$ である。$|\det A{|}^2=\det A\cdot \overline{\det A}=\det A\cdot \det A^{\ast }=\det (A{A}^{\ast })=1$ から従う。

したがって $\det A$ は絶対値 $1$ の複素数、すなわち $\det A\in S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ である。

また $A^{-1}=A^{\ast }$ であり、逆行列が随伴で与えられる。

特殊ユニタリ群

特殊ユニタリ群 $SU(n)$ は行列式が $1$ のユニタリ行列全体である。

$$SU(n)=\{A\in U(n):\det A=1\}$$

$\det :U(n)\to S^1$ は全射準同型で、$\ker (\det )=SU(n)$ である。$U(n)/SU(n)\cong S^1$ となる。

$U(1)$ と $SU(1)$

$U(1)=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}=S^1$ であり、複素数の乗法で群をなす。これは可換群である。

$SU(1)=\{1\}$ は自明群である。

$U(2)$ と $SU(2)$

$SU(2)$ の元は

$$\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\overline{\beta }\\ \beta & \overline{\alpha }\end{array}\right),|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$$

の形で表される。$(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{C}}^2$ で $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ という条件は $S^3\subset {\mathbb{C}}^2$ を定める。

したがって $SU(2)$ は $S^3$ と同相である。

$SU(2)$ と四元数

四元数 $\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\in \mathbb{R}\}$ のノルム $1$ の元全体は $SU(2)$ と同型である。

$a+bi+cj+dk\mapsto 3$

が同型を与える。

$SU(2)$ と $SO(3)$ の関係

全射準同型 $\varphi :SU(2)\to SO(3)$ が存在し、$\ker \varphi =\{\pm I\}$ である。これは2重被覆写像である。

$$SU(2)/\{\pm I\}\cong SO(3)$$

$SU(2)\cong S^3$ と $SO(3)\cong {\mathbb{RP}}^3$ の関係に対応する。この被覆がスピンの数学的起源である。

量子力学との関係

量子力学では、状態はヒルベルト空間の単位ベクトルで表される。物理的に区別できない大域的位相を除くと、状態空間は射影空間 ${\mathbb{CP}}^{n-1}$ となる。

$U(n)$ は ${\mathbb{C}}^n$ の対称性群であり、$SU(n)$ は射影空間 ${\mathbb{CP}}^{n-1}$ に自然に作用する。

リー環

$U(n)$ のリー環は反エルミート行列全体 $\mathfrak{u}(n)=\{X:X^{\ast }=-X\}$ である。${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{u}(n)=n^2$ となる。

$SU(n)$ のリー環は $\mathfrak{su}(n)=\{X\in \mathfrak{u}(n):\mathrm{tr}X=0\}$ であり、${\dim }_{\mathbb{R}}\mathfrak{su}(n)=n^2-1$ である。