複素の世界で長さを保つ変換は何か？ユニタリ群と SU(2)

複素ベクトル空間でエルミート内積を保つ変換の全体が、ユニタリ群 $U(n)$ です^[1]。

実の直交群を複素に置き換えたものにあたります。ところが直交群と違って連結で、しかも $SU(2)$ は $3$ 次元球面そのものになる。

定義

$A\in G{L}_n(\mathbb{C})$ が $A^{\ast }A=I_n$ を満たすとき、$A$ をユニタリ行列といいます。$A^{\ast }$ は転置して各成分の複素共役をとった行列です。

条件は内積の保存と同じです。標準的なエルミート内積を $⟨v,w⟩=\sum \overline{v_i}{w}_i$ とすると

$$⟨Av,Aw⟩=⟨v,w⟩$$

がすべての $v,w$ で成り立つことと $A^{\ast }A=I$ が同値になります。列ベクトルが正規直交系をなす、と言い直してもよい。

行列式が $1$ のものを集めたものが特殊ユニタリ群 $SU(n)$ です^[1]。

固有値の絶対値は 1

$Av=\lambda v$（$v\ne 0$）とします。ノルムが保たれるので

$$\Vert v\Vert =\Vert Av\Vert =\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\cdot \Vert v\Vert$$

$\Vert v\Vert \ne 0$ だから $|\lambda |=1$ です。固有値は複素平面の単位円の上に並びます。

行列式についても同じことが言えます。$\det (A^{\ast }A)=\overline{\det A}\cdot \det A=|\det A{|}^2=1$ なので、$|\det A|=1$。

写像 $\det :U(n)\to U(1)$ ができました。対角行列 $\mathrm{diag}(z,1,\dots ,1)$ を考えると全射で、核が $SU(n)$ です。

$$U(n)/SU(n)\cong U(1)$$

$U(1)$ は絶対値 $1$ の複素数の全体で、円周です。

$SU(2)$ は 3 次元球面

$n=2$ の場合を書き下します^[1]。

$$SU(2)=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right):\alpha ,\beta \in \mathbb{C},|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1\right\}$$

$\alpha =x_1+i{x}_2$、$\beta =x_3+i{x}_4$ と置くと、条件は $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ になります^[1]。

つまり $SU(2)$ は ${\mathbb{R}}^4$ の中の単位球面 $S^3$ と微分同相です^[1]。群が球面という、めずらしい例になっています。

$SU(2)$ から $SO(3)$ への $2$ 対 $1$ の準同型があります。核は $\{\pm I\}$ で、$SU(2)$ は $SO(3)$ の $2$ 重被覆です。

対角行列が極大トーラス

$U(n)$ の中で対角行列の全体 $T$ をとります。対角成分が絶対値 $1$ の複素数なので、$T$ は $n$ 次元トーラス ${\mathbb{T}}^n$ と同型です^[2]。

これが極大トーラスになります^[2]。より大きいトーラスがあれば、$T$ のすべての元と可換な元が $T$ の外に見つかるはずです。ところが $T$ には固有値がすべて異なる対角行列があり、そういう行列と可換な行列は対角行列に限る^[2]。

スペクトル定理を使うと、$U(n)$ の元はどれも $T$ の元に共役になります^[2]。ユニタリ行列はユニタリ行列で対角化できるためです。

$$U(n)=\bigcup _{g\in U(n)}gT{g}^{-1}$$

同じ形の分解が、コンパクト連結リー群一般で成り立ちます^[2]。Cartan の定理です。

線型代数のスペクトル定理が、リー群の一般論では極大トーラスによる被覆として現れる。$U(n)$ はその原型になっています。

中心

$U(n)$ の中心はスカラー行列の全体です。$\lambda I$ がユニタリになる条件は $|\lambda |=1$ なので、中心は $U(1)$ と同型になります。

$SU(n)$ では行列式の条件が付きます。$\det (\lambda I)={\lambda }^n$ なので、${\lambda }^n=1$ が要る。

$$Z(SU(n))=\{\zeta I:{\zeta }^n=1\}\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$

中心で割ったものを $PSU(n)$ と書きます^[2]。

次元とリー環

$A^{\ast }A=I$ という条件は、左辺がエルミート行列なので、実数の方程式として $n^2$ 本にあたります。$G{L}_n(\mathbb{C})$ の実次元が $2n^2$ なので、差をとると

$${\dim }_{\mathbb{R}}U(n)=n^2,{\dim }_{\mathbb{R}}SU(n)=n^2-1$$

単位元での接空間がリー環です。$A(t{)}^{\ast }A(t)=I$ を $t$ で微分して $t=0$ を入れると

$$X^{\ast }+X=0$$

つまり $\mathfrak{u}(n)$ は歪エルミート行列の全体です。$\mathfrak{su}(n)$ はさらにトレースが $0$ のものに限られます。

$\mathfrak{su}(2)$ はトレース $0$ の $2$ 次歪エルミート行列で、実次元 $3$ です。

コンパクトで連結

$U(n)$ の元は各成分の絶対値が $1$ 以下なので、${\mathbb{C}}^{n^2}$ の中で有界です。$A^{\ast }A=I$ は閉条件なので閉集合。よってコンパクトになります。

連結性はスペクトル定理から出ます。任意の $A\in U(n)$ を $g\mathrm{diag}(e^{i{\theta }_1},\dots ,e^{i{\theta }_n})g^{-1}$ と書き、${\theta }_j$ を連続に $0$ へ動かせば、単位元まで道がつながる。

$SU(n)$ も同じ議論でコンパクト連結です。さらに単連結になります。$SU(2)\cong S^3$ がその最初の例で、球面は $2$ 次元以上で単連結です。

有限体版

同じ形の群を有限体でも作れます。${\mathbb{F}}_{q^2}$ の ${\mathbb{F}}_q$ 上の共役をとる自己同型を、複素共役の代わりに使う。

そこから出るのが有限ユニタリ群で、中心で割ると $PS{U}_n(q)$ になります。有限単純群の分類に現れる Lie 型の系列のひとつです。

複素数体の上で連続な群を作る道具立てが、有限体の上ではそのまま有限単純群を作る道具になっている。

長さを保つという 1 つの条件から、コンパクト性も連結性も対角化も出てきます。$SU(2)$ が球面になるのはその副産物で、群としての構造と多様体としての構造が同じ 1 つの条件から決まっている例になっています。

参考