ユニタリ群は複素内積（エルミート内積）を保つ線型変換のなす群である。量子力学において状態空間の対称性を記述する。
ユニタリ群の定義
次ユニタリ群 は、 の標準エルミート内積を保つ線型変換全体である。
ここで は の随伴行列（複素共役転置）である。
ユニタリ行列の性質
ならば である。 から従う。
したがって は絶対値 の複素数、すなわち である。
また であり、逆行列が随伴で与えられる。
特殊ユニタリ群
特殊ユニタリ群 は行列式が のユニタリ行列全体である。
は全射準同型で、 である。 となる。
と
であり、複素数の乗法で群をなす。これは可換群である。
は自明群である。
と
の元は
の形で表される。 で という条件は を定める。
したがって は と同相である。
と四元数
四元数 のノルム の元全体は と同型である。
が同型を与える。
と の関係
全射準同型 が存在し、 である。これは2重被覆写像である。
と の関係に対応する。この被覆がスピンの数学的起源である。
量子力学との関係
量子力学では、状態はヒルベルト空間の単位ベクトルで表される。物理的に区別できない大域的位相を除くと、状態空間は射影空間 となる。
は の対称性群であり、 は射影空間 に自然に作用する。
リー環
のリー環は反エルミート行列全体 である。 となる。
のリー環は であり、 である。
直交群
実内積を保存。。。
ユニタリ群
エルミート内積を保存。。。直交群の複素版。
