リッチ曲率とスカラー曲率

リッチ曲率とスカラー曲率はリーマン曲率テンソルから得られる縮約であり、曲率の平均的な情報を表す。一般相対性理論で中心的な役割を果たす。

リッチテンソルの定義

リッチテンソル（Ricci tensor） $Ric$ はリーマン曲率テンソルの縮約である。

$Ric (Y, Z) = tr (X \mapsto R (X, Y) Z)$

成分では

$R_{ij} = k \sum R^{k}_{ikj}$

と書く。リッチテンソルは対称テンソル $R_{ij} = R_{ji}$ である。

$p$ における単位ベクトル $v$ に対して、 $Ric (v, v)$ は $v$ を含む測地線束の「体積の変化率」を測る。

正のリッチ曲率は測地線が収束する傾向を、負のリッチ曲率は発散する傾向を示す。

スカラー曲率（scalar curvature） $R$ はリッチテンソルのトレースである。

$R = tr_{g} (Ric) = i, j \sum g^{ij} R_{ij}$

これは各点で実数値を取る関数である。

$p$ における小さな測地球の体積を $V_{ϵ}$ 、 $R^{n}$ での同半径の球の体積を $V_{ϵ}^{Eucl}$ とすると

$\frac{V _{ϵ}}{V _{ϵ}^{Eucl}} = 1 - \frac{R ( p )}{6 ( n + 2 )} ϵ^{2} + O (ϵ^{4})$

正のスカラー曲率は体積が小さくなることを、負は大きくなることを意味する。

$n = 2$ では、リッチテンソルとスカラー曲率は Gauss 曲率 $K$ で決まる。

$R_{ij} = K g_{ij}, R = 2 K$

2次元では3つの曲率概念はすべて同値な情報を持つ。

$n = 3$ では、リーマン曲率テンソルはリッチテンソルで完全に決まる。

$R_{ijk l} = R_{ik} g_{j l} - R_{i l} g_{jk} - R_{jk} g_{i l} + R_{j l} g_{ik} - \frac{R}{2} (g_{ik} g_{j l} - g_{i l} g_{jk})$

$n \geq 4$ では、リッチテンソルで決まらない部分が残る。これを Weyl テンソル $W_{ijk l}$ という。

$R_{ijk l} = W_{ijk l} + (Ric と g から決まる部分)$

Weyl テンソルは共形不変な量であり、共形幾何学で重要となる。

リッチテンソルが計量の定数倍

$Ric = λ g$

を満たすとき、計量を Einstein 計量という。このとき $λ = R / n$ である。

球面 $S^{n}$ 、双曲空間 $H^{n}$ 、複素射影空間 $CP^{n}$ は Einstein 計量を持つ。

第二 Bianchi 恒等式から

$div (Ric) = \frac{1}{2} d R$

が導かれる。ここで $div$ は発散作用素である。

一般相対性理論では Einstein テンソル

$G_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2} R g_{ij}$

が用いられる。発散公式から $div (G) = 0$ となり、これがエネルギー保存則と整合する。

Einstein 方程式は $G_{ij} = 8 π T_{ij}$ （ $T$ はエネルギー運動量テンソル）である。