リッチ曲率とスカラー曲率、縮約で落ちる情報と残る情報

曲率テンソルには添字が 4 つあります。そのうち 2 つを縮約すると 2 つに減り、もう一度縮約すると数 1 つになります。

減った順にリッチ曲率、スカラー曲率です。情報を捨てながら、扱いやすさと引き換えに条件を弱めていく操作。

縮約という操作

縮約とは、上と下の添字を 1 組そろえて足し合わせることです。行列でいえば跡をとる操作にあたります。

曲率テンソル $R$ は $(1, 3)$ 型でした。上に 1 つ、下に 3 つ。上の添字を下の 1 つとそろえて足すと、 $(0, 2)$ 型のテンソルが残ります。

出てくる量がリッチ曲率です^[1]^[3]。

$Ric (X, Y) = tr (Z \mapsto R (Z, X) Y)$

成分では次のように書けます^[1]^[3]。

$R_{ij} = R_{ik j}^{k} = g^{k l} R_{k i l j}$

対称であること

$Ric$ は対称テンソルです。 $Ric (X, Y) = Ric (Y, X)$ が成り立ちます^[1]^[3]。

正規直交基底で書くと一目で分かります。 $R_{ij} = \sum_{k} R_{k ik j}$ と $R_{j i} = \sum_{k} R_{k j k i}$ を比べ、組の入れ替えについての対称性を使えば一致します^[1]。

対称なので、二次形式 $v \mapsto Ric (v, v)$ を考えれば十分です。方向ごとに 1 つの数が決まる、という見方ができます。

平面の和として読む

その数がなにを表すかは、正規直交基底をとると分かります。 $e_{1} = v /∥ v ∥$ となるようにとります^[1]。

$Ric (v, v) = ∥ v ∥^{2} i = 2 \sum n K (v, e_{i})$

$v$ を含む 2 平面の断面曲率を、全部足し合わせた量です^[1]。ある方向だけ強く曲がっていても、別の方向が緩ければ打ち消し合います。

平均をとった量なので、断面曲率より弱い情報しか持ちません。英語の総説も、リッチ曲率の評価は断面曲率の評価より弱く、スカラー曲率の評価より強い、と位置づけています^[2]。

薄い輪郭が $Ric (v, v)$ の値を方向ごとに描いたものです。真円なら全方向で同じ値になります。

模型空間では真円になります。 $S^{n}$ では $Ric = (n - 1) g$ 、 $H^{n}$ では $Ric = - (n - 1) g$ です^[1]。

もう一度縮約する

リッチ曲率をさらに縮約すると、点ごとの数 1 つになります^[1]^[3]。

$S = tr_{g} Ric = g^{ij} R_{ij}$

正規直交基底で書くと、すべての方向のリッチ曲率の和になります。断面曲率の言葉に戻すと、順序を無視した 2 平面すべての和です^[1]。

$S = i \neq = j \sum K (e_{i}, e_{j}) = 2 i < j \sum K (e_{i}, e_{j})$

模型空間の値も出ます。 $S^{n}$ で $n (n - 1)$ 、 $H^{n}$ で $- n (n - 1)$ 、 $R^{n}$ で $0$ ^[1]。

情報はどれだけ落ちたか

縮約のたびに自由度が減ります。次元ごとに数えると、落ち方がはっきりします。

曲率テンソルの独立成分は $n^{2} (n^{2} - 1) /12$ 個でした。リッチ曲率は対称な $2$ 階テンソルなので $n (n + 1) /2$ 個。スカラー曲率は常に 1 個です。

$3$ 次元では両者が $6$ 個で一致します。リッチ曲率だけで曲率テンソルが復元できる、ということ。

$4$ 次元では $20$ 個と $10$ 個で、差が $10$ 個。この差にあたる部分が次のワイルテンソルです。

2 次元では全部が 1 つの数

$n = 2$ のときは、話が極端に単純になります。曲率テンソルの独立成分がもともと 1 個しかないためです。

リッチ曲率は計量の定数倍になり、 $Ric = K g$ と書けます。スカラー曲率は $S = 2 K$ 。

3 つの量が同じ情報しか持ちません。曲面で曲率といえばガウス曲率 1 つで済むのは、この事情によります。

$3$ 次元では、リッチ曲率が $6$ 個で曲率テンソルと同数でした。 $4$ 次元以上になって初めて、リッチでは捉えきれない部分が現れます。

歪んだ積で計算する

具体的な計算例を見ておきます。区間と多様体の歪んだ積 $I \times_{f} F$ に $g = d t^{2} + f^{2} g_{F}$ を入れた場合です^[1]。

断面曲率が 2 種類の式で書けます^[1]。

F

に接する

V, W

について

K (V, W) = (K_{F} (V, W) - (f^{'})^{2}) / f^{2}

になる。

V

と

\partial_{t}

について

K (\partial_{t}, V) = - f^{''} / f

になる。

模型空間を測地極座標で書くと、この式で曲率が出ます。 $R^{n}$ なら $g = d r^{2} + r^{2} g_{S^{n - 1}}$ で $f = r$ 、 $f^{''} = 0$ なので、どちらも $0$ ^[1]。

$S^{n}$ なら $f = sin r$ で $f^{''} = - sin r$ となり、 $K (\partial_{r}, V) = 1$ 、 $K (V, W) = (1 - cos^{2} r) / sin^{2} r = 1$ ^[1]。

$H^{n}$ なら $f = sinh r$ で、同じ計算から両方 $- 1$ が出ます^[1]。 $f$ を選ぶだけで 3 つの模型が書き分けられる。

リー群での顔

もう 1 つ、代数寄りの例があります。両側不変計量を入れたリー群では、リッチ曲率がキリング形式で書けます^[1]。

$Ric (X, Y) = - \frac{1}{4} tr (ad_{X} \circ ad_{Y}) = - \frac{1}{4} B (X, Y)$

$B$ はリー環のキリング形式です。幾何の量が、群の構造だけから決まってしまう。

半単純でコンパクトな群ではキリング形式が負定値なので、符号を変えた計量に対してリッチ曲率が正になります。群論的な条件が、そのまま曲率の符号を決めています。

ワイルテンソル

リッチ曲率で決まらない部分に名前が付いています。 $n \geq 3$ で定義されるワイルテンソル $W$ です^[1]。

$R_{ij k l} = W_{ij k l} + \frac{1}{n - 2} (R_{ik} g_{j l} - R_{i l} g_{j k} + R_{j l} g_{ik} - R_{j k} g_{i l}) - \frac{S}{( n - 1 ) ( n - 2 )} (g_{ik} g_{j l} - g_{i l} g_{j k})$

右辺の第 2 項と第 3 項はリッチとスカラーから作った部分。残りが $W$ で、縮約するとすべて $0$ になります。

$W$ は共形不変です。計量を $\tilde{g} = e^{2 φ} g$ と取り替えても、成分が変わりません^[1]。

そして $W \equiv 0$ になるのは、 $n \leq 3$ のときか、 $n \geq 4$ で局所的に $R^{n}$ と共形なときに限られます^[1]。

アインシュタイン多様体

リッチ曲率が計量に比例する多様体を、アインシュタイン多様体と呼びます^[1]。

$Ric = λ g$

跡をとると $S = nλ$ なので、 $λ = S / n$ です。定曲率空間はその例で、 $λ = (n - 1) κ$ になります^[1]。

比例定数を関数 $f$ に緩めても、 $n \geq 3$ なら結局は定数になります。シューアの定理です^[1]。

証明は縮約したビアンキ恒等式から出ます。 $\nabla^{j} R_{ij} = \frac{1}{2} \nabla_{i} S$ に $Ric = f g$ を入れると $\nabla_{i} f = \frac{n}{2} \nabla_{i} f$ となり、 $n \neq = 2$ なら $\nabla f = 0$ ^[1]。

各点で断面曲率が等方的なら、全体でも定曲率になる。局所的な等方性が大域的な一様性を強制する、という主張です^[1]。

縮約されたビアンキ恒等式

いま使った等式を書いておきます。第二ビアンキ恒等式を 2 回縮約すると得られます^[1]。

$\nabla^{j} R_{ij} = \frac{1}{2} \nabla_{i} S$

これを整理すると、アインシュタインテンソル $G_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2} S g_{ij}$ の発散が消えます^[1]。

$\nabla^{j} G_{ij} = 0$

一般相対性理論の場の方程式が、この形で書かれる理由がここにあります。左辺の発散が自動的に $0$ なので、右辺のエネルギー運動量テンソルの保存則と噛み合います。

幾何の恒等式が、物理の保存則を要求している。縮約という単純な操作から、こういう構造が出てきます。

曲率で計量を動かす

リッチ曲率には、幾何を変形する道具としての顔もあります。ハミルトンが $1982$ 年に導入したリッチフローです^[1]。

$\frac{\partial g}{\partial t} = - 2 Ric (g)$

計量を、自分の曲率の向きへ変形していく方程式です。熱方程式の幾何版だと思うと分かりやすい^[1]。

熱が拡散して温度が均される。同じように、リッチフローは曲率を拡散させて一様に近づけます。正の曲率が強い場所は縮み、負の場所は広がる^[1]。

熱方程式では、細かい凸凹ほど速く消えます。リッチフローでも同じことが起き、曲率の激しい部分から順にならされていく。

ハミルトンは、リッチ曲率が真に正の 3 次元多様体でこの流れが定曲率計量へ収束することを示しました^[1]。ポアンカレ予想への道筋として提案されたものです。

$2002$ 年にペレルマンが 3 本の論文を arXiv に出し、特異点の解析と手術の操作、エントロピー汎関数の単調性によってこの計画を完成させました^[1]。 $1904$ 年から開いていた予想が解決します。

添字を足し合わせて情報を捨てる。その捨て方が、100 年かかった問題の道具になりました。

参考文献

Gaba Y U. *Géométrie Riemannienne, Notes de Cours Master M1*. 2025–2026.

Wei G. *Manifolds with A Lower Ricci Curvature Bound*. arXiv:math/0612107, 2006.

Treude J-H. *Riemannsche Geometrie*. Vorlesungsskript, Universität Konstanz, Wintersemester 2018/19.

曲率テンソルの添字を 2 つ縮約するとリッチ曲率、もう一度縮約するとスカラー曲率になります。リッチはある方向を含む平面の断面曲率の和で、断面曲率より弱くスカラーより強い量。次元ごとに自由度がどれだけ落ちるか、リッチで決まらないワイル部分、シューアの定理、縮約されたビアンキ恒等式、そしてリッチフローまでを扱います。