リー群は群であると同時に滑らかな多様体でもあり、群演算が滑らかな写像となる対象である。連続的な対称性を記述する。
リー群の定義
リー群（Lie group） とは、次の条件を満たす集合である。
は群である
は滑らかな多様体である
積 , と逆元 , が滑らかな写像である
条件3は「群演算が微分可能」ということを意味する。
リー群の例
これまでに見た行列群はすべてリー群である。
, ：一般線型群
, ：特殊線型群
, ：直交群
, ：ユニタリ群
これらは や の部分多様体として多様体構造を持つ。
次元
リー群の次元は多様体としての次元である。
（実次元）
（実次元）
可換リー群
と （ 次元トーラス）は可換リー群である。
連結可換リー群は の形に分類される。
リー環の定義
リー群 のリー環 は、単位元 における接空間 に括弧積を入れたものである。
行列群の場合、リー環は行列の集合であり、括弧積は交換子 で与えられる。
リー環の例
（すべての 次行列）
（反対称行列）
（反エルミート行列）
指数写像
指数写像 は、行列群の場合は行列指数関数
で与えられる。 は の原点の近傍から の単位元の近傍への微分同相を与える。
指数写像の性質
に対して、 は 内の1パラメータ部分群を定める。すなわち が成り立つ。
逆に、 の任意の1パラメータ部分群 は の形で書ける。
Baker-Campbell-Hausdorff の公式
一般に である。正確な関係は
で与えられる。右辺は と括弧積のみで書かれる。
連結成分
リー群 の単位元を含む連結成分 は の正規部分群であり、それ自身リー群である。 は離散群となる。
は2つの連結成分を持ち、 である。 も2つの連結成分を持つ。
単純リー群とコンパクトリー群
単純リー群（非自明な連結正規部分群を持たないリー群）は分類されている。コンパクト単純リー群は , , と5つの例外型（, , , , ）に限られる。
