リー群入門

リー群は群であると同時に滑らかな多様体でもあり、群演算が滑らかな写像となる対象である。連続的な対称性を記述する。

リー群の定義

リー群（Lie group） $G$ とは、次の条件を満たす集合である。

G

は群である

G

は滑らかな多様体である

積

μ : G \times G \to G

(g, h) \mapsto g h

と逆元

ι : G \to G

g \mapsto g^{- 1}

が滑らかな写像である

条件3は「群演算が微分可能」ということを意味する。

これまでに見た行列群はすべてリー群である。

G L_{n} (R)

G L_{n} (C)

：一般線型群

S L_{n} (R)

S L_{n} (C)

：特殊線型群

O (n)

SO (n)

：直交群

U (n)

S U (n)

：ユニタリ群

これらは $M_{n} (R)$ や $M_{n} (C)$ の部分多様体として多様体構造を持つ。

リー群の次元は多様体としての次元である。

dim G L_{n} (R) = n^{2}

dim S L_{n} (R) = n^{2} - 1

dim O (n) = dim SO (n) = n (n - 1) /2

dim U (n) = n^{2}

（実次元）

dim S U (n) = n^{2} - 1

（実次元）

$(R^{n}, +)$ と $(R / Z)^{n} ≅ (S^{1})^{n}$ （ $n$ 次元トーラス）は可換リー群である。

連結可換リー群は $R^{k} \times (S^{1})^{l}$ の形に分類される。

リー群 $G$ のリー環 $g$ は、単位元 $e$ における接空間 $T_{e} G$ に括弧積を入れたものである。

行列群の場合、リー環は行列の集合であり、括弧積は交換子 $[X, Y] = X Y - Y X$ で与えられる。

$gl_{n} (R) = M_{n} (R)$ （すべての $n$ 次行列）

$sl_{n} (R) = {X \in M_{n} (R) : tr X = 0}$

$so (n) = {X \in M_{n} (R) : X^{T} = - X}$ （反対称行列）

$u (n) = {X \in M_{n} (C) : X^{*} = - X}$ （反エルミート行列）

指数写像 $exp : g \to G$ は、行列群の場合は行列指数関数

$exp (X) = n = 0 \sum \infty \frac{X ^{n}}{n !} = I + X + \frac{X ^{2}}{2 !} + \frac{X ^{3}}{3 !} + \dots$

で与えられる。 $exp$ は $g$ の原点の近傍から $G$ の単位元の近傍への微分同相を与える。

$X \in g$ に対して、 $γ (t) = exp (tX)$ は $G$ 内の1パラメータ部分群を定める。すなわち $γ (s + t) = γ (s) γ (t)$ が成り立つ。

逆に、 $G$ の任意の1パラメータ部分群 $γ : R \to G$ は $γ (t) = exp (tX)$ の形で書ける。

一般に $exp (X) exp (Y) \neq = exp (X + Y)$ である。正確な関係は

$exp (X) exp (Y) = exp (X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} [X, [X, Y]] - \frac{1}{12} [Y, [X, Y]] + \dots)$

で与えられる。右辺は $X, Y$ と括弧積のみで書かれる。

リー群 $G$ の単位元を含む連結成分 $G_{0}$ は $G$ の正規部分群であり、それ自身リー群である。 $G / G_{0}$ は離散群となる。

$O (n)$ は2つの連結成分を持ち、 $SO (n) = O (n)_{0}$ である。 $G L_{n} (R)$ も2つの連結成分を持つ。

単純リー群（非自明な連結正規部分群を持たないリー群）は分類されている。コンパクト単純リー群は $S U (n)$ , $SO (n)$ , $Sp (n)$ と5つの例外型（ $G_{2}$ , $F_{4}$ , $E_{6}$ , $E_{7}$ , $E_{8}$ ）に限られる。