リー群は単位元のそばでほとんど決まる、リー環と指数写像

群であって、同時に多様体でもある。積と逆元をとる操作が滑らかである。この 3 つを満たすものがリー群です^[1]。

代数と幾何が同じ対象の上に載るので、片方の問題がもう片方の言葉に翻訳できます。連続に動く群は、単位元のまわりだけでほとんど決まってしまう。

定義

集合 $G$ が群の構造と滑らかな多様体の構造を持ち、積 $G\times G\to G$ と逆元 $G\to G$ がどちらも滑らかな写像であるとき、$G$ をリー群といいます^[1]。

リー群のあいだの射は、滑らかで、しかも群の演算を保つ写像です^[1]。

滑らかさの意味は $C^1$、$C^{\infty }$、解析的のどれでとっても同じ結果になります^[1]。位相群としての条件だけからでも、実は一意に滑らかな構造が入ります。

連結であることは要求しません^[1]。有限群は $0$ 次元のリー群です。

例

古典的な行列群はどれもリー群です^[1]。

$SU(2)$ は $3$ 次元球面と微分同相です^[1]。群が球面になる例で、多様体としての形が代数の側からも読めます。

閉部分群は自動で部分リー群

部分群が滑らかな部分多様体になるかどうかは、位相の条件だけで決まります^[1]。

リー群 $G$ の部分リー群は必ず $G$ の中で閉じています^[1]。逆に、閉じた部分群は必ず部分リー群になる^[1]。

後半のほうが難しい主張です。滑らかさを一切仮定していないのに、閉じているというだけで多様体の構造が入ってしまう。

この定理があるので、$O(n)$ や $SU(n)$ がリー群であることを確かめるのに、多様体の構造を手で作る必要がありません。$G{L}_n$ の閉部分群であることだけ見ればよい。

単位元のそばが全体を生む

連結なリー群では、単位元のどんな近傍も全体を生成します^[1]。

理由は簡単です。近傍 $U$ が生成する部分群 $H$ をとると、$H$ は開集合になります。$h\in H$ について $hU\subseteq H$ が開だからです。

開部分群は閉部分群でもあります。補集合が剰余類の合併で、それぞれ開だから。連結性から $H=G$ になります。

だから連結なリー群では、単位元の近くの情報だけで全体が決まる場面が多い。準同型についても同じで、連結な相手への射は単位元での微分だけで決まります^[1]。

リー環

単位元における接空間を $\mathfrak{g}=T_{1}G$ と書き、リー環といいます。

行列群では具体的に計算できます。$G$ の中の曲線 $A(t)$ で $A(0)=I$ となるものをとり、$t=0$ での微分を集めればよい。

$O(n)$ なら $A(t{)}^{t}A(t)=I$ を微分して $X^t+X=0$、つまり交代行列の全体です。$U(n)$ なら $X^{\ast }+X=0$ で歪エルミート行列になります。

行列の指数関数が、リー環から群へ戻る道を与えます^[1]。

$$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$

この級数は収束し、解析的な写像を定めます^[1]。$\exp (Ax{A}^{-1})=A\exp (x)A^{-1}$ が成り立つので、基底のとり替えと交換します^[1]。

1 径数部分群

$x$ を固定して $t\mapsto \exp (tx)$ を見ると、$\exp ((t+s)x)=\exp (tx)\exp (sx)$ が成り立ちます^[1]。これはリー群の射 $\mathbb{R}\to G$ です。

こうした射を 1 径数部分群といいます^[1]。像が部分リー群になるとは限らないので名前としては正確ではありませんが、定着しています^[1]。

平面の回転で見ます。

$$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\exp (tJ)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

$\mathfrak{so}(2)$ の直線が、$SO(2)$ の円周へ巻きつきます。$t$ が $2\pi$ 進むと 1 周する。

局所的には線型空間

対数写像を使うと、単位元の近傍がリー環の $0$ の近傍と一対一に対応します^[1]。

古典群 $G\subseteq G{L}_n$ については、ベクトル空間 $\mathfrak{g}\subseteq {\mathfrak{gl}}_n$ があって、$\exp$ と $\log$ が近傍どうしの互いに逆な写像になります^[1]。

曲がった対象の局所を平らな線型空間に置き換える、という手つきです。近傍が全体を生成することと合わせると、群の多くの性質がリー環の線型代数に落ちる。

同じリー環、違う群

対応は完全ではありません。$SU(2)$ と $SO(3)$ はどちらも $3$ 次元で、リー環が同型です^[1]。

それでも群としては違います。$SU(2)\to SO(3)$ が $2$ 対 $1$ の全射で、核が $\{\pm I\}$ になる。

リー環が決めるのは局所的な形だけです。大域的な形、つまり基本群のような情報は落ちる。単連結なリー群に限れば、リー環から群が復元できます。

コンパクトなら指数写像は全射

コンパクト連結なリー群では、$\exp :\mathfrak{g}\to G$ が全射になります^[2]。

これは Cartan の定理と同値です^[2]。極大トーラス $T$ をとると $G={\bigcup }_{g}gT{g}^{-1}$ が成り立ち、トーラスの上では $\exp$ が全射だからです。

コンパクトでないと崩れます^[2]。$S{L}_2(\mathbb{R})$ では、指数写像の像に入らない元があります。

リー環の分類

複素単純リー環は完全に分類されています^[1]。Killing 形式が非退化であることが半単純性と同値になり、そこから根系の分類へ進みます^[1]。

Dynkin 図形による分類が答えです^[1]。$A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$ の 4 系列と、$G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ の 5 つの例外型に分かれます。

同じ分類が、有限体の上でも効きます^[3]。有限単純群の Lie 型の系列は、この分類に対応する形で 16 の族に整理されます^[3]。

連続な群の分類が、そのまま有限群の分類の骨組みになっている。リー群を調べることが、有限群論の側にも効く理由がここにあります。

群であることと多様体であることを同時に課すと、単位元のそばだけで大部分が決まります。局所を線型空間に置き換えるのが指数写像で、そこから先はリー環の線型代数になる。落ちるのは大域的な情報だけで、その落ちた分が $SU(2)$ と $SO(3)$ の差にあたります。

参考