散在型単純群（モンスター群など）

散在型単純群は有限単純群の分類において無限系列に属さない26個の「例外的な」群である。モンスター群を頂点とする階層構造を持ち、数論や物理学との意外な関係が知られている。

散在型単純群の一覧

散在型単純群は発見順・構造で分類される。

Mathieu群（5個）： $M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}$

Leech格子関連（7個）： $C o_{1}, C o_{2}, C o_{3}, M c L, H S, S u z, J_{2}$

モンスター関連（8個）： $M, B, F i_{22}, F i_{23}, F i_{24}^{'}, H N, He, T h$

パライア群（6個）： $J_{1}, J_{3}, J_{4}, O^{'} N, L y, R u$

1861年にÉmile Mathieuが発見した最初の散在型単純群である。

$M_{24}$ は ${1, 2, \dots, 24}$ の置換群として実現され、位数は $244823040 = 2^{10} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 23$ である。

$M_{24}$ は5重可移群（任意の5点を任意の5点に写せる）であり、Steiner系 $S (5, 8, 24)$ の自己同型群として構成される。

John Conwayが1968年にLeech格子の自己同型群から発見した。

24次元の Leech 格子 $Λ_{24}$ の自己同型群 $C o_{0}$ は位数 $2^{22} \cdot 3^{9} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot 23$ を持つ。

$C o_{1} = C o_{0} / {\pm 1}$ が散在型単純群である。 $C o_{2}$ , $C o_{3}$ は $C o_{0}$ の部分群として得られる。

Bernd Fischerが3-転置群（位数3の元の積で任意の元が表せる群）を研究して発見した。

$F i_{24}^{'}$ は $F i_{24}$ の導来群であり、モンスター群の部分群として現れる。

最大の散在型単純群であり、位数は約 $8 \times 1 0^{53}$ である。

1973年にBernd FischerとRobert Griessが独立に存在を予想し、1982年にGriessが196883次元の実ベクトル空間上の自己同型群として構成した。

$B$ （ベビーモンスター）はモンスターに次いで大きい散在型単純群である。

位数は $2^{41} \cdot 3^{13} \cdot 5^{6} \cdot 7^{2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 31 \cdot 47$ で、モンスターの部分群である。

モンスター群の部分群として現れない散在型単純群をパライア群（pariah）という。6個ある。

$J_{1}$ （Jankoの第一群）、 $J_{3}$ 、 $J_{4}$ 、 $O^{'} N$ （O’Nan群）、 $L y$ （Lyons群）、 $R u$ （Rudvalis群）

モンスター群の表現論とモジュラー関数の間に驚くべき関係がある。

モンスター群の既約表現の次元 $1, 196883, 21296876, \dots$ と、楕円モジュラー関数 $j (τ)$ のフーリエ係数 $1, 196884, 21493760, \dots$ が関係する。 $196884 = 196883 + 1$ など。

John ConwayとSimon Nortonが予想し、Richard Borcherdがモンスター・リー代数を用いて証明した（1992年、フィールズ賞受賞）。

散在型単純群は弦理論や頂点作用素代数と関係する。

モンスター群は26次元のボゾン弦理論と関わり、moonshine予想は共形場理論の文脈で理解される。