低い次数だけ先に知られていた〜群のコホモロジー入門

群 $G$ と、$G$ が作用する可換群 $M$ から、群の列 $H^0,H^1,H^2,\dots$ が作れます。

最初の 3 つは、それぞれ別の場所で先に知られていました^[2]。$H^0$ は不変元、$H^1$ は交叉準同型、$H^2$ は拡大の分類です。あとから 1 本の理論にまとまりました。

$G$ 加群

可換群 $M$ に $G$ が自己同型として作用しているとき、$M$ を $G$ 加群といいます。加法で書きます。

$$g\cdot (m+m^{\prime })=g\cdot m+g\cdot m^{\prime },(gh)\cdot m=g\cdot (h\cdot m)$$

すべての $g$ で $g\cdot m=m$ となる作用を自明な作用といいます。$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ に自明な作用を入れたものが、いちばんよく使われます。

コチェインとコバウンダリ

$n$ 変数の写像 $f:G^n\to M$ の全体を $C^n(G,M)$ と書きます。$C^0(G,M)=M$ とします。

境界写像 $\delta :C^n\to C^{n+1}$ を次で定めます^[1]。

$$\begin{array}{rl}(\delta f)(g_1,\dots ,g_{n+1})=& g_1\cdot f(g_2,\dots ,g_{n+1})\\ & +\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i}f(g_1,\dots ,g_i{g}_{i+1},\dots ,g_{n+1})\\ & +(-1{)}^{n+1}f(g_1,\dots ,g_n)\end{array}$$

$\delta \circ \delta =0$ が成り立ちます。だから像が核に入り、商をとれる。

$$H^n(G,M)=\ker (\delta :C^n\to C^{n+1})/\mathrm{im}(\delta :C^{n-1}\to C^n)$$

核の元をコサイクル、像の元をコバウンダリといいます。

$H^0$ は不変元

$n=0$ では $f\in M$ で、$(\delta f)(g)=g\cdot f-f$ です。

コサイクルであることは、すべての $g$ で $g\cdot f=f$ になること。$C^{-1}=0$ とするのでコバウンダリはありません。

$$H^0(G,M)=M^G=\{m\in M:g\cdot m=m\text{がすべての}g\text{で成り立つ}\}$$

$G$ で動かない元の全体です。

$H^1$ は交叉準同型

$n=1$ では $(\delta f)(g,h)=g\cdot f(h)-f(gh)+f(g)$ です。コサイクルの条件はこうなります^[1]。

$$f(gh)=g\cdot f(h)+f(g)$$

この条件を満たす写像を導分、あるいは交叉準同型といいます^[1]。

コバウンダリは、ある $a\in M$ から $f(g)=g\cdot a-a$ で作られるものです。主導分と呼びます^[1]。

$$H^1(G,M)=\mathrm{Der}(G,M)/\mathrm{Inn}(G,M)$$

作用が自明なら、条件が $f(gh)=f(h)+f(g)$ になります^[1]。ふつうの準同型です。主導分は $f(g)=a-a=0$ しかない。

$$H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M)(\text{作用が自明なとき})$$

$M=\mathbb{Z}$ に自明な作用を入れると、$H^1(G,\mathbb{Z})=\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z})$ です。有限群なら $0$ になります。

Hilbert の定理 90

作用が自明でない例が、古くから知られていました^[3]。

$L/K$ を巡回拡大、$G$ をそのガロア群とします。$G$ は $L^{\times }$ に体の自己同型として作用する。

$$H^1(G,L^{\times })=0$$

これが Hilbert の定理 90 です^[3]。1897 年の結果で、コホモロジーという言葉ができる 50 年前にあたります。

主張の中身は、ノルムが $1$ の元が $\sigma (a)/a$ の形に書ける、というものです。交叉準同型がすべて主導分になる、と言い直したのがこの式です。

$H^2$ は拡大を数える

$n=2$ でのコサイクル条件は次の形です^[1]。

$$g\cdot f(h,k)-f(gh,k)+f(g,hk)-f(g,h)=0$$

この $f$ を因子団といいます^[3]。$A$ を可換な正規部分群として持ち、商が $G$ になる群を作るときに現れる量です。

因子団という考え方は Hölder が 1893 年の論文で使い、Schur が 1904 年に射影表現の研究で再び使いました^[3]。$A$ が可換とは限らない一般の場合を系統的に扱ったのは、1926 年の Schreier の論文です^[3]。

位相から来た

代数の側と別に、位相の側からも同じものが出てきました^[2]。

Hurewicz が 1936 年に非球面空間を導入します^[2]。$n\ne 1$ で ${\pi }_n(X)=0$ となる空間で、こうした $X$ はホモトピー同値を除いて基本群だけで決まります^[2]。

だから $X$ のホモロジーを群の不変量と見なせる。$H_{\ast }(\pi ):=H_{\ast }(X)$ と定義できます^[2]。

$H_0(\pi )=\mathbb{Z}$ でつまらず、$H_1(\pi )$ はアーベル化。$H_2(\pi )$ から面白くなります^[2]。階数 $2$ の自由アーベル群なら $X$ をトーラスにとれるので $H_2=\mathbb{Z}$ です^[2]。

Hopf が 1942 年に、$\pi =F/R$（$F$ は自由群）と書いたときの公式を出しました^[2]。

$$H_2(\pi )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]$$

交換子のあいだの関係のうち、自明に成り立つものを割ったもの、と読めます^[2]。

1940 年代のうちに代数的な定義が固まり、$H^1$ が導分、$H^2$ が因子団に対応することが分かりました^[2]。$H_2$ は Schur の乗数と一致します^[2]。

巡回群で計算する

巡回群では計算が簡単です。標準的な分解より効率のよい、階数 $1$ の自由加群だけを使う分解があります^[1]。

$C_n=⟨g⟩$ とし、$t=1+g+\cdots +g^{n-1}\in \mathbb{Z}{C}_n$ と置きます。

$$\cdots \stackrel{t}{\to }\mathbb{Z}{C}_n\stackrel{g-1}{\to }\mathbb{Z}{C}_n\stackrel{t}{\to }\mathbb{Z}{C}_n\stackrel{g-1}{\to }\mathbb{Z}{C}_n$$

$g-1$ を掛ける写像と $t$ を掛ける写像が交互に並びます^[1]。周期 $2$ で繰り返すので、コホモロジーも周期的になる。

$M=\mathbb{Z}$ に自明な作用を入れて計算します。$g-1$ は $0$倍、$t$ は $n$ 倍として働くので

有限群では位数が効く

$G$ が有限なら、$n\ge 1$ のコホモロジーは $|G|$ 倍で消えます。

$n=1$ で書き下します。$f$ を導分とし、$m={\sum }_{h\in G}f(h)$ と置きます。

コサイクル条件 $f(gh)=g\cdot f(h)+f(g)$ を $h$ について足します。

$$\sum _{h}f(gh)=g\cdot \sum _{h}f(h)+|G|f(g)$$

左辺は $gh$ が $G$ 全体を走るので $m$ です。よって $m=g\cdot m+|G|f(g)$、つまり

$$|G|f(g)=-(g\cdot m-m)$$

右辺は $-m$ から作った主導分です。$|G|f$ がコバウンダリになったので、$H^1(G,M)$ の元は $|G|$ 倍で $0$ になります。

同じ形の計算が高い次数でも通ります。だから $|G|$ が $M$ の中で可逆なら、$n\ge 1$ のコホモロジーはすべて消える。

何を測っているのか

$H^0$ は「動かないもの」、$H^1$ は「準同型からのずれ」、$H^2$ は「拡大の作り方」を数えています。

どれも先に別の名前で知られていました^[2]。導分、因子団、Schur の乗数。それらが同じ複体の別の次数として並ぶ、と分かったのが 1940 年代です^[2]。

$H^3$ は Teichmüller の仕事に現れていました^[2]。低い次数だけが先に見つかっていたのは、意味づけがそこで止まっていたためです。

低い次数の 3 つは、それぞれ独立に見つかっていました。同じ複体の $0$ 次、$1$ 次、$2$ 次として並べ直したとき、初めて先へ続く道が見えた。位相の側から来た定義と代数の側から来た定義が一致したことが、その裏づけになっています。

参考