群のコホモロジーは、群の作用を持つ加群から定まるコホモロジー理論である。群の拡大や表現論と深く関わる。
動機：群の作用と不変元
群 が加群 に作用するとき、-不変元の集合
を考えることは自然である。 と定義する。
高次のコホモロジー は、「 を計算する際の障害」を測る。
-加群
-加群とは、 の作用を持つアーベル群 のことである。すなわち群準同型 が与えられている。
-加群の準同型は -作用と可換な群準同型である。-加群の圏を と書く。
自明な -加群
が に自明に作用する（すべての と で ）とき、 を自明 -加群という。
に自明な作用を入れたものを考えることが多い。
コホモロジーの定義（導来函手）
不変元を取る函手 は左完全であるが、一般に完全ではない。
群のコホモロジー は の右導来函手として定義される。
射影分解による計算
自明 -加群 の射影分解
を取り、 のコホモロジーとして計算する。
棒分解（bar resolution）
標準的な射影分解として棒分解がある。（ の 個の直積上の自由 -加群に -作用を入れたもの）とし、境界作用素を交代和で定義する。
これにより、コホモロジーの具体的な計算が可能になる。
低次のコホモロジー
（-不変元）
は への「交差準同型」を分類する。 で を満たすもの全体を、主交差準同型（ の形）で割ったものである。
は を核とする の拡大を分類する（後述）。
有限巡回群のコホモロジー
とする。 が自明 -加群のとき、
ここで である。
群のホモロジー
群のホモロジー は余不変元函手 の左導来函手として定義される。
である。
Eilenberg-MacLane空間との関係
離散群 に対して、（, 他のホモトピー群が自明な空間）のコホモロジーは群のコホモロジーと一致する。
これは群のコホモロジーの位相的解釈を与える。
制限と移入
に対して、制限写像 が定まる。
のとき、移入写像 も定まり、 は 倍写像となる。
