群のコホモロジー入門

群のコホモロジーは、群の作用を持つ加群から定まるコホモロジー理論である。群の拡大や表現論と深く関わる。

動機：群の作用と不変元

群 $G$ が加群 $M$ に作用するとき、$G$-不変元の集合

$$M^G=\{m\in M:gm=m\text{ for all }g\in G\}$$

を考えることは自然である。$H^0(G;M)=M^G$ と定義する。

高次のコホモロジー $H^n(G;M)$ は、「$M^G$ を計算する際の障害」を測る。

$G$-加群

$G$-加群とは、$G$ の作用を持つアーベル群 $M$ のことである。すなわち群準同型 $\rho :G\to \mathrm{Aut}(M)$ が与えられている。

$G$-加群の準同型は $G$-作用と可換な群準同型である。$G$-加群の圏を $G\text{-}\mathbf{Mod}$ と書く。

自明な $G$-加群

$G$ が $M$ に自明に作用する（すべての $g\in G$ と $m\in M$ で $gm=m$）とき、$M$ を自明 $G$-加群という。

$\mathbb{Z}$ に自明な作用を入れたものを考えることが多い。

コホモロジーの定義（導来函手）

不変元を取る函手 $(-{)}^G:G\text{-}\mathbf{Mod}\to \mathbf{Ab}$ は左完全であるが、一般に完全ではない。

群のコホモロジー $H^n(G;M)$ は $(-{)}^G$ の右導来函手として定義される。

$$H^n(G;M)=R^n((-{)}^G)(M)$$

射影分解による計算

自明 $G$-加群 $\mathbb{Z}$ の射影分解

$$\cdots \to P_2\to P_1\to P_0\to \mathbb{Z}\to 0$$

を取り、${\mathrm{Hom}}_G(P_{\bullet },M)$ のコホモロジーとして計算する。

$$H^n(G;M)=H^n({\mathrm{Hom}}_G(P_{\bullet },M))$$

棒分解（bar resolution）

標準的な射影分解として棒分解がある。$P_n=\mathbb{Z}[G^{n+1}]$（$G$ の $n+1$ 個の直積上の自由 $\mathbb{Z}$-加群に $G$-作用を入れたもの）とし、境界作用素を交代和で定義する。

これにより、コホモロジーの具体的な計算が可能になる。

低次のコホモロジー

$H^0(G;M)=M^G$（$G$-不変元）

$H^1(G;M)$ は $M$ への「交差準同型」を分類する。$d:G\to M$ で $d(gh)=d(g)+g\cdot d(h)$ を満たすもの全体を、主交差準同型（$d(g)=gm-m$ の形）で割ったものである。

$H^2(G;M)$ は $M$ を核とする $G$ の拡大を分類する（後述）。

有限巡回群のコホモロジー

$G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=⟨\sigma ⟩$ とする。$M$ が自明 $G$-加群のとき、

$$H^k(G;M)=\{\begin{array}{ll}M& (k=0)\\ M/nM& (k\text{ が奇数})\\ {}_{n}M& (k\ge 2\text{ が偶数})\end{array}$$

ここで ${}_{n}M=\{m\in M:nm=0\}$ である。

群のホモロジー

群のホモロジー $H_n(G;M)$ は余不変元函手 $(-{)}_G:M\mapsto M/⟨gm-m⟩$ の左導来函手として定義される。

$$H_n(G;M)=L_n((-{)}_G)(M)$$

$H_0(G;M)=M_G=M/⟨gm-m:g\in G,m\in M⟩$ である。

Eilenberg-MacLane空間との関係

離散群 $G$ に対して、$K(G,1)$（${\pi }_1=G$, 他のホモトピー群が自明な空間）のコホモロジーは群のコホモロジーと一致する。

$$H^n(G;M)\cong H^n(K(G,1);M)$$

これは群のコホモロジーの位相的解釈を与える。

制限と移入

$H\le G$ に対して、制限写像 $\mathrm{res}:H^n(G;M)\to H^n(H;M)$ が定まる。

$[G:H]<\infty$ のとき、移入写像 $\mathrm{cor}:H^n(H;M)\to H^n(G;M)$ も定まり、$\mathrm{cor}\circ \mathrm{res}$ は $[G:H]$ 倍写像となる。