正則値定理は、滑らかな写像の逆像が部分多様体となるための条件を与える。多くの重要な多様体がこの方法で構成される。
臨界点と正則点
滑らかな写像 に対して、点 が臨界点（critical point）であるとは、微分 が全射でないことをいう。
が全射のとき、 を正則点（regular point）という。
臨界値と正則値
が臨界値（critical value）であるとは、 に臨界点が含まれることをいう。
のすべての点が正則点のとき、 を正則値（regular value）という。 の場合も正則値とみなす。
正則値定理
を滑らかな写像とする。 が正則値ならば、 は の 次元部分多様体である（空でなければ）。
これを正則値定理（regular value theorem）または逆像定理という。
証明の概略
を取る。 が全射なので、 の次元は である。
陰関数定理により、 の近傍で は 個の変数で滑らかにパラメトライズできる。
球面の構成
, を考える。
であり、 で である。したがって は正則値であり、
は 次元部分多様体である。
行列群の構成
, を考える。
が の正則値であることを示せば、 が部分多様体となる。
であり、 で は反対称行列全体への全射となる。
特殊線型群の構成
において、 は正則値である。
であり、 ならこれは でない。
したがって は部分多様体である。
Sard の定理
滑らかな写像 の臨界値の集合は において測度零である。
したがって、ほとんどすべての は正則値である。これは正則値定理と組み合わせて強力な道具となる。
横断性
と部分多様体 が横断的（transversal）であるとは、任意の で
が成り立つことをいう。 と書く。
横断性定理
と が横断的ならば、 は の部分多様体であり、
となる。（1点）のとき、正則値定理に帰着する。
接空間の計算
が部分多様体のとき、各点 での接空間は
である。これは の核として具体的に計算できる。
