写像の正則値と逆像定理

正則値定理は、滑らかな写像の逆像が部分多様体となるための条件を与える。多くの重要な多様体がこの方法で構成される。

臨界点と正則点

滑らかな写像 $f : M \to N$ に対して、点 $p \in M$ が臨界点（critical point）であるとは、微分 $d f_{p} : T_{p} M \to T_{f (p)} N$ が全射でないことをいう。

$d f_{p}$ が全射のとき、 $p$ を正則点（regular point）という。

$y \in N$ が臨界値（critical value）であるとは、 $f^{- 1} (y)$ に臨界点が含まれることをいう。

$f^{- 1} (y)$ のすべての点が正則点のとき、 $y$ を正則値（regular value）という。 $f^{- 1} (y) = \emptyset$ の場合も正則値とみなす。

$f : M^{m} \to N^{n}$ を滑らかな写像とする。 $y \in N$ が正則値ならば、 $f^{- 1} (y)$ は $M$ の $(m - n)$ 次元部分多様体である（空でなければ）。

これを正則値定理（regular value theorem）または逆像定理という。

$p \in f^{- 1} (y)$ を取る。 $d f_{p}$ が全射なので、 $ker d f_{p}$ の次元は $m - n$ である。

陰関数定理により、 $p$ の近傍で $f^{- 1} (y)$ は $m - n$ 個の変数で滑らかにパラメトライズできる。

$f : R^{n + 1} \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣^{2} = x_{1}^{2} + \dots + x_{n + 1}^{2}$ を考える。

$d f_{x} = 2 (x_{1}, \dots, x_{n + 1})$ であり、 $x \neq = 0$ で $d f_{x} \neq = 0$ である。したがって $1$ は正則値であり、

$S^{n} = f^{- 1} (1) = {x \in R^{n + 1} : ∣ x ∣^{2} = 1}$

は $n$ 次元部分多様体である。

$f : M_{n} (R) \to M_{n} (R)$ , $f (A) = A^{T} A$ を考える。

$I_{n}$ が $f$ の正則値であることを示せば、 $O (n) = f^{- 1} (I_{n})$ が部分多様体となる。

$d f_{A} (H) = H^{T} A + A^{T} H$ であり、 $A \in O (n)$ で $d f_{A}$ は反対称行列全体への全射となる。

$det : G L_{n} (R) \to R^{\times}$ において、 $1$ は正則値である。

$d (det)_{A} (H) = det (A) \cdot tr (A^{- 1} H)$ であり、 $det A \neq = 0$ ならこれは $0$ でない。

したがって $S L_{n} (R) = det^{- 1} (1)$ は部分多様体である。

滑らかな写像 $f : M \to N$ の臨界値の集合は $N$ において測度零である。

したがって、ほとんどすべての $y \in N$ は正則値である。これは正則値定理と組み合わせて強力な道具となる。

$f : M \to N$ と部分多様体 $S \subset N$ が横断的（transversal）であるとは、任意の $p \in f^{- 1} (S)$ で

$d f_{p} (T_{p} M) + T_{f (p)} S = T_{f (p)} N$

が成り立つことをいう。 $f ⋔ S$ と書く。

$f : M \to N$ と $S \subset N$ が横断的ならば、 $f^{- 1} (S)$ は $M$ の部分多様体であり、

$codim_{M} f^{- 1} (S) = codim_{N} S$

となる。 $S = {y}$ （1点）のとき、正則値定理に帰着する。

$f^{- 1} (y)$ が部分多様体のとき、各点 $p \in f^{- 1} (y)$ での接空間は

$T_{p} (f^{- 1} (y)) = ker d f_{p}$

である。これは $d f_{p}$ の核として具体的に計算できる。