単純群と組成列｜A5 が単純である理由と、群の素因数分解が一意になる話

群 $G$ が $\{e\}$ でなく、正規部分群が $\{e\}$ と $G$ しかないとき、$G$ を単純群といいます。自明群 $\{e\}$ は単純群に入れない。

素数に $1$ を入れないのと同じ約束です。入れてしまうと、群を分解したときの一意性がこわれる。

これ以上ちぎれない群、というのが単純群の位置づけ。

正規部分群がないと準同型はどうなるか

単純群 $G$ から別の群への準同型 $f:G\to H$ を考える。核 $\ker f$ は $G$ の正規部分群なので、$\{e\}$ か $G$ のどちらかです。

$\ker f=G$ なら $f$ はすべてを単位元へ潰し、$\ker f=\{e\}$ なら $f$ は単射になる。つまり単純群からの準同型は、まるごと潰れるか、まるごと埋め込まれるかの二択。

途中まで情報を落とすような写像が作れない、という性質です。

例：素数位数の巡回群

位数が素数 $p$ の群 $G$ をとります。Lagrange の定理から、部分群の位数は $p$ を割る。

割るのは $1$ と $p$ だけなので、部分群は $\{e\}$ と $G$ しかない。正規かどうかを調べるまでもなく、$G$ は単純群です。

ついでに $G$ は巡回群にもなる。単位元でない元が生成する部分群は、$G$ そのものになるほかないからです。

可換な単純群は素数位数に限る

逆も成り立ちます。可換な単純群は、素数位数の巡回群しかない。

可換群では部分群がすべて正規になる。だから単純であることは、真の部分群を持たないことと同じ意味です。

単位元でない元 $a$ をとると $⟨a⟩=G$ で、$G$ は巡回群。無限巡回群だとすると $⟨a^2⟩$ が真の部分群になってしまうので、位数は有限です。

位数 $n$ が合成数で $n=de$ と書けるなら、$⟨a^d⟩$ が真の部分群になる。残るのは $n$ が素数の場合だけ。

例：位数 4 の群は単純にならない

位数 4 の群は $C_4$ と $C_2\times C_2$ の 2 つです。どちらも可換なので、位数 2 の部分群がそのまま正規部分群になる。

$C_4$ では $\{e,a^2\}$ の一通り、$C_2\times C_2$ では三通りのとり方がある。位数が合成数の可換群は、この形でかならず崩れる。

最小の非可換単純群

非可換な単純群は、位数 60 の交代群 $A_5$ から始まります。これより小さい非可換単純群はない。

次に小さいのは位数 168 の $PS{L}_2(7)$ で、そのあとに位数 360 の $A_6$ が続きます。交代群は $n\ge 5$ ならすべて単純になる。

A5 の共役類を数える

$A_5$ の元を型ごとに数えます。3 次の巡回置換は、$5$ 個から $3$ 個を選ぶ $10$ 通りに並べ方 $2$ 通りを掛けて $20$ 個。

互いに交わらない互換 2 つの積は $5!/(2\cdot 2\cdot 2)=15$ 個ある。5 次の巡回置換は $4!=24$ 個で、$A_5$ の中では $12$ 個ずつ 2 つの類に割れる。

単位元を足して合計すると、ちょうど位数に一致する。

$$1+20+15+12+12=60$$

例：共役類の和で単純性を示す

正規部分群は、共役でうつり合う元をまとめて含みます。だから正規部分群は、いくつかの共役類の合併になる。

単位元の類は必ず入るので、位数は $1$ に他の類の大きさを足した形です。さらに Lagrange の定理から、その位数は $60$ を割らなければならない。

$1$ から始まる部分和を全部作っても、$1$ と $60$ のほかに $60$ の約数は現れません。$1+15=16$、$1+20=21$、$1+12=13$、$1+20+15=36$、$1+12+12=25$ と、どれも割り切れない。

よって正規部分群は $\{e\}$ と $A_5$ だけ。$A_5$ は単純群です。

A4 が単純でない理由

一つ下の $A_4$ は位数 12 で、単純にはなりません。単位元と 3 つの二重互換を集めた集合が、位数 4 の部分群になる。

$$V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$

この $V$ は共役でうつり合う元をまるごと含むので、正規部分群です。同じ型の置換が共役になるという事実が効いている。

数え方で比べると差がはっきりします。$A_4$ では二重互換が 3 個で $1+3=4$ が $12$ を割ってしまうのに対し、$A_5$ では 15 個あって $1+15=16$ が $60$ を割らない。

組成列

単純でない群は、正規部分群と商に分けられる。これを繰り返し、単純な商だけが並ぶところまで進めたものが組成列。

$$\{e\}=H_0◃H_1◃\cdots ◃H_n=G$$

各段の商 $H_{i+1}/H_i$ が単純群になる列のこと。有限群ならかならず組成列を持ちます。

位数が段ごとに真に減っていくので、有限回で止まるためである。無限群では持たないことがあり、$\mathbb{Z}$ がその例です。

$\mathbb{Z}▹2\mathbb{Z}▹4\mathbb{Z}▹\cdots$ といくらでも続き、どこにも終わりがない。

Jordan-Hölder の定理

組成列のとり方は一つではありません。それでも、長さと組成因子の並びは変わらない。

有限群の 2 つの組成列は、長さが等しく、組成因子が並べ替えと同型を除いて一致します。これが Jordan-Hölder の定理。

整数の素因数分解にあたる主張になる。単純群が群の素数だ、という言い方の根拠です。

例：S4 の組成列を書き下す

$S_4$ は位数 24 です。交代群 $A_4$ が指数 2 の正規部分群で、商は $C_2$。

$A_4$ の中には位数 4 の正規部分群 $V$ があり、その商は位数 3 なので $C_3$ になる。$V$ は $C_2\times C_2$ で単純ではないため、位数 2 の部分群でもう一段割れる。

$$\{e\}◃C_2◃V◃A_4◃S_4$$

長さは 4 で、組成因子は $C_2,C_2,C_3,C_2$。$V$ の段を飛ばして書いた列は組成列にならない。$V$ 自身が単純でないからです。

例：位数 12 の巡回群では組成列が 3 通り

$C_{12}$ には組成列が 3 通りあります。途中の部分群のとり方が違うので、列としては別物になる。

それでも組成因子を集めると、どれも $C_2$、$C_2$、$C_3$ です。順番だけが入れかわっている。

組成因子が同じでも群は決まらない

組成因子から群を復元することはできない。$C_4$ と $C_2\times C_2$ は、どちらも組成因子が $C_2$、$C_2$ です。

それでも $C_4$ には位数 4 の元があり、$C_2\times C_2$ にはない。非可換の例もあります。

$C_6$ と $S_3$ は、どちらも組成因子が $C_2$ と $C_3$。片方は可換で、もう片方は非可換になる。

因子を貼り合わせる方法が何通りもあるという問題が残る。これを拡大問題といい、有限群を分類する難しさはここに集まっている。

完全群との関係

非可換な単純群 $G$ では、交換子部分群 $[G,G]$ が $G$ 自身になります。$[G,G]$ はいつでも正規部分群なので、$\{e\}$ か $G$ のどちらか。

$[G,G]=\{e\}$ なら $G$ が可換になってしまうため、残るのは $[G,G]=G$ です。この条件を満たす群を完全群という。

非可換な単純群は完全群です。逆は成り立たないので、完全であることは単純であることの必要条件にすぎない。

有限単純群の分類

有限単純群はすべて数え上げられています。

1962 年に始まり、2004 年に最後の穴がふさがった長い仕事。全体では数百本の論文にわたる。

散在型の最大がモンスター群で、位数はおよそ $8\times 10^{53}$ になる。Feit と Thompson の定理からは、非可換な有限単純群の位数がかならず偶数になることも出ます。

無限単純群もある

単純群は有限とは限りません。無限の単純群はかならず非可換になる。

可換なら素数位数に限られるので、無限では起こりえないからです。自然数の置換のうち、動かす文字が有限個の偶置換だけを集めた $A_{\infty }$ が例。

3 次元の回転群 $S{O}_3(\mathbb{R})$ も単純群になる。有限の世界だけの話ではありません。

よくある誤り

参考文献