単純群とは何か

単純群は非自明な正規部分群を持たない群であり、群論における「原子」のような存在である。有限群はすべて単純群から構成される。

単純群の定義

群 $G \neq = {e}$ が単純群（simple group）であるとは、 $G$ の正規部分群が ${e}$ と $G$ のみであることをいう。

単純群はこれ以上「分解」できない群である。

可換群 $G$ が単純群であるための必要十分条件は、 $G ≅ Z / p Z$ （ $p$ は素数）であることである。

可換群の部分群はすべて正規なので、真の部分群が存在しなければよい。これは位数が素数のときに限る。

非可換単純群の最小のものは $A_{5}$ （位数60）である。

$A_{n}$ （ $n \geq 5$ ）はすべて単純群である。 $A_{4}$ は単純群でない（ $V_{4}$ が正規部分群）。

群 $G$ の組成列（composition series）とは、正規部分群の列

${e} = G_{0} ◃ G_{1} ◃ \dots ◃ G_{n} = G$

で、各商 $G_{i + 1} / G_{i}$ が単純群となるものをいう。

有限群 $G$ の任意の2つの組成列は同じ長さを持ち、組成因子（商群 $G_{i + 1} / G_{i}$ ）の集合は（順序と同型を除いて）一致する。

群の「素因数分解」は（順序を除いて）一意である。

$S_{4}$ の組成列： ${e} ◃ V_{4} ◃ A_{4} ◃ S_{4}$

組成因子は $V_{4} / {e} ≅ V_{4} ≅ (Z /2 Z)^{2}$ , $A_{4} / V_{4} ≅ Z /3 Z$ , $S_{4} / A_{4} ≅ Z /2 Z$ である。

$V_{4}$ は単純群でないが、 $V_{4} ≅ Z /2 Z \times Z /2 Z$ なので、さらに分解すると組成因子はすべて素数位数の巡回群になる。

有限群の分類は、単純群の分類と、単純群から群を構成する方法（拡大問題）に帰着される。

単純群は群論の「周期表の元素」に相当する。

無限系列をなすもの：

交代群

A_{n}

（

n \geq 5

）

射影特殊線型群

PS L_{n} (q)

（例外を除く）

その他の Lie 型群（古典群、例外群）

散在型単純群：上記の無限系列に属さない26個の単純群。モンスター群など。

$G^{'} = [G, G] = G$ かつ $Z (G) = {e}$ ならば、 $G$ は単純群の有力な候補である（ただし十分条件ではない）。

$G^{'} = G$ を満たす群を完全群という。単純群は完全群であるか、可換（素数位数巡回群）である。