局所で作ったものを多様体全体へつなぐ「1 の分割」

多様体は、座標の入る小さな領域を貼り合わせたものです。個々の領域では ${\mathbb{R}}^n$ と同じことができますが、全体では座標が 1 つに決まりません。

局所でできた構成を全体へ運ぶ道具が 1 の分割です。各領域に重みを配り、重みの和をどの点でも $1$ にしておいて、重み付きで足し合わせる。

以下では定義とバンプ関数の作り方から始め、計量・積分・接続がどう組み上がるかを追い、この方法が効かない場面まで扱います^[1]。

局所でできることと大域でできること

座標近傍を 1 つとれば、そこは ${\mathbb{R}}^n$ の開集合と同じです。標準的な計量も、標準的な接続も、そのまま持ち込めます。

困るのは重なりです。2 つの近傍で別々に作ったものが、重なった場所で食い違う。

食い違いを消す方法は 2 つあります。一致するように選び直すか、重みを付けて混ぜるか。1 の分割は後者です。

1 の分割の定義

多様体 $M$ の開被覆 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ に従属する 1 の分割とは、滑らかな関数の族 $\{{\rho }_{\alpha }:M\to [0,1]\}$ で次を満たすものです。

3 つ目の和は、2 つ目の条件があるおかげで有限和になります。無限個の関数を足しているのに、各点では足し算が止まる。

台と局所有限性

台とは、関数が $0$ でない点の集合の閉包です。$\mathrm{supp}(\rho )=\overline{\{p:\rho (p)\ne 0\}}$。

閉包をとるところが要点になります。${\rho }_{\alpha }$ が $U_{\alpha }$ の外で $0$ というだけでは足りず、境界に張り付いていないことまで求める。

2 つ目の条件を局所有限性といいます。これがないと和が定義できず、微分もできません^[3]。

従属するとはどういうことか

添字の集合を被覆と同じにとり、${\rho }_{\alpha }$ の台を $U_{\alpha }$ に押し込める形が、いちばん扱いやすい従属のしかたです。

別の流儀もあります。台が被覆のどれかに入っていればよい、として添字を分ける形。細分をとる手間が減ります。

どちらでも構成の中身は変わりません。以下では添字をそろえた形を使います。

バンプ関数を作る

出発点になるのは、コンパクトな台を持つ滑らかな関数です。$\mathbb{R}$ の上で

$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right)& (|x|<1)\\ 0& (|x|\ge 1)\end{array}$$

とおくと、$\psi$ は $C^{\infty }$ で台が $[-1,1]$ になります^[5]。

$x=\pm 1$ ですべての階数の微分が $0$ に近づくところが効いています。指数が $-\infty$ へ飛ぶ速さが、多項式の増大を押し切る。

$n$ 次元では $\psi (|x|)$ とすれば、単位球を台とする関数が得られます。

上の青が素朴なバンプで、赤は $[-1.2,1.2]$ で値 $1$ をとる台形型です。$2$ つの単調な移行関数を掛け合わせて作ります^[5]。

平らな部分があると、そこで元の対象をそのまま使えます。混ぜたくない場所を作れる。

例：滑らかだが解析的でない

$\psi$ は $x=1$ の近くでテイラー展開すると、係数がすべて $0$ になります。ところが右側では $\psi \ne 0$。

したがって $\psi$ はどの点でも収束するべき級数では表せません。$C^{\infty }$ と解析的の差が、ここに出ています。

解析関数は $1$ 点の情報が全体を決めます。一致の定理があるので、ある区間で $0$ なら全体で $0$。

解析的な 1 の分割は作れない

いまの事実から、解析的な 1 の分割は存在しないと分かります。台がコンパクトな解析関数は $0$ しかないため^[4]。

複素多様体で層コホモロジーが重い道具として必要になるのは、この欠落が理由です。滑らかな世界で 1 の分割が片づける問題が、解析の世界では残る。

滑らかな圏がいかに扱いやすいかを、逆から照らす事実。

存在定理

$M$ を滑らかな多様体、$\{U_{\alpha }\}$ を任意の開被覆とすると、それに従属する滑らかな 1 の分割が存在します^[1,2]。

証明の骨は 3 段です。局所有限な細分をとり、各片でバンプ関数を立て、最後に総和で割って規格化する。

規格化は ${\rho }_{\alpha }={\phi }_{\alpha }/{\sum }_{\beta }{\phi }_{\beta }$ という割り算です。分母は局所有限性から有限和で、どの点でも正になる。

パラコンパクト性が効く場所

局所有限な細分がとれること、これがパラコンパクト性です。多様体は第二可算かつハウスドルフなので、この性質を持ちます。

第二可算性を仮定しない流儀では、パラコンパクト性を多様体の定義に入れます。どちらにせよ、1 の分割が使える前提を置いている^[4]。

パラコンパクトでない空間では存在が崩れます。1 の分割は位相の条件に支えられた道具。

和が 1 になる様子を見る

3 つの山を動かしても、和がつねに水平線 $1$ になる様子を描きます。

山の位置が動くと、それぞれの高さは変わります。合計だけが動きません。

規格化の割り算が、この性質を作っています。分子をどう選んでも、分母で割れば和は $1$。

例：2 つの近傍で計量を混ぜる

区間を 2 つの近傍で覆い、左では横長、右では縦長の計量を置きます。重なりで何が起きるかを見ます。

左端では横長、右端では縦長、途中はその中間になります。どの時点でも楕円は潰れません。

潰れないことが正定値性の保存です。楕円が線分になったら計量として失格。

細分をとる手続き

存在定理の証明では、与えられた被覆をそのまま使いません。台がコンパクトで局所有限な細分にとり替えてから、バンプ関数を立てます。

多様体は第二可算なので、コンパクトな閉包を持つ座標球の可算族で覆えます。これを膨らませていく列 $K_1\subset K_2\subset \cdots$ で挟むと、局所有限性が作れる。

細分をとる段階が、位相の仮定を使う唯一の場所です。あとの手続きはバンプ関数と割り算だけ。

リーマン計量を貼り合わせる

各座標近傍 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ で、${\mathbb{R}}^n$ の標準計量を引き戻したものを $g_{\alpha }$ とします。

1 の分割 $\{{\rho }_{\alpha }\}$ を使って

$$g=\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{g}_{\alpha }$$

とおけば、$M$ 全体のリーマン計量が得られます^[1]。

各点で有限和なので、$g$ は滑らかな $(0,2)$ 型テンソル場です。

正定値性が保たれる理由

$g(X,X)={\sum }_{\alpha }{\rho }_{\alpha }{g}_{\alpha }(X,X)$ で、各項は ${\rho }_{\alpha }\ge 0$ と $g_{\alpha }(X,X)\ge 0$ から非負です。

$X\ne 0$ のとき、${\rho }_{\alpha }(p)>0$ となる $\alpha$ が少なくとも 1 つあります。和が $1$ なので、全部が $0$ にはならない。

その $\alpha$ で $g_{\alpha }(X,X)>0$ なので、合計も正になります。正定値な対称行列の非負結合が、また正定値になるという線型代数の事実。

凸結合で閉じるかどうかが分かれ目

いま使ったのは、正定値対称行列の集合が凸であることだけです。この構造を持つ対象なら、同じ手が通ります。

前者は障害なしに存在します。後者は存在するかどうかが問題になり、障害理論や層コホモロジーが要る。

例：複素構造は作れない

$J^2=-\mathrm{id}$ を満たす $J_{\alpha }$ を局所的に用意し、$\sum {\rho }_{\alpha }{J}_{\alpha }$ を作っても、$J^2=-\mathrm{id}$ は成り立ちません。

たとえば $J_1$ と $J_2$ が符号だけ違えば、中点は $0$ になります。$0$ の 2 乗は $-\mathrm{id}$ ではない。

$S^4$ が概複素構造を持たないことは、この方向の障害が実際に存在することを示しています。局所では作れても、大域では作れない。

微分形式の積分

コンパクトな台を持つ $n$ 次形式 $\omega$ の積分を、1 の分割で定義します。

$${\int }_M\omega =\sum _{\alpha }{\int }_{{\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })}({\phi }_{\alpha }^{-1}{)}^{\ast }({\rho }_{\alpha }\omega )$$

右辺の各項は ${\mathbb{R}}^n$ の普通の積分です。${\rho }_{\alpha }\omega$ の台が $U_{\alpha }$ に入っているので、座標で書ける^[3]。

台がコンパクトなら、$0$ でない項は有限個です。無限和にはなりません。

定義がとり方によらないこと

被覆と 1 の分割を別に選ぶと、右辺の各項は変わります。合計だけが変わらない。

理由は $\omega ={\sum }_{\alpha }{\rho }_{\alpha }\omega$ という分解と、変数変換公式です。2 組の分割 $\{{\rho }_{\alpha }\}$、$\{{\sigma }_{\beta }\}$ をとれば、${\rho }_{\alpha }{\sigma }_{\beta }$ で細かく割ってどちらの和にも一致することが示せます。

向きが要るところに気をつけます。ヤコビアンの符号が消えるのは、向きの合う座標だけを使うため。

例：円周に沿った積分

円周を 2 つの弧 $U_1$、$U_2$ で覆い、それぞれに角度座標を入れます。1 の分割 ${\rho }_1+{\rho }_2=1$ をとる。

$\omega =d\theta$ の積分は $\int {\rho }_{1}d\theta +\int {\rho }_{2}d\theta$ です。それぞれは弧の上の普通の積分。

合計は $2\pi$ になります。$d\theta$ が大域的な $1$ 形式として存在し、しかも完全でないことが、この値に出ている。

接続の構成

各自明化近傍で自明な接続 ${\nabla }^{\alpha }$ をとり、$\nabla ={\sum }_{\alpha }{\rho }_{\alpha }{\nabla }^{\alpha }$ とおきます。

接続の公理のうち、$C^{\infty }$ 線型でない部分はライプニッツ則です。${\nabla }_X(fs)=X(f)s+f{\nabla }_{X}s$ の第 1 項が、$\sum {\rho }_{\alpha }=1$ のおかげでちょうど 1 回だけ出る。

したがって $\nabla$ も接続になります。2 つの接続の差がテンソルになるという事実の、裏返しの使い方。

関数の拡張定理

閉集合 $K\subset M$ の近傍で定義された滑らかな関数を、$M$ 全体へ滑らかに広げられます。

$K$ を含む開集合 $U$ と、$K$ の上で $1$、$U$ の外で $0$ になるバンプ関数 $\chi$ をとる。$\chi f$ を $U$ の外で $0$ と定めれば、全体で滑らかになります。

もとの関数に一致するのは $K$ の上だけです。外側は $0$ へ落とすための作り物。

例：閉集合上の関数を伸ばす

$\mathbb{R}$ の閉区間 $[0,1]$ で $f(x)=x$ とします。そのままでは全体に伸ばす方法が 1 通りに決まりません。

$[-0.5,1.5]$ の外で $0$ になるカットオフ $\chi$ をかければ、$\chi f$ が全体で滑らかになります。$[0,1]$ の上では $f$ に一致する。

伸ばし方は無数にあります。1 の分割が与えるのは、そのうちの 1 つを具体的に作る手続き。

ホイットニーの埋め込み

コンパクトな $n$ 次元多様体は、有限個の座標近傍で覆えます。各近傍の座標写像に ${\rho }_{\alpha }$ を掛けたものを並べて

$$\Phi (p)=({\rho }_1(p),{\rho }_1(p){\phi }_1(p),\dots ,{\rho }_k(p),{\rho }_k(p){\phi }_k(p))$$

とすると、$\Phi :M\to {\mathbb{R}}^{k(n+1)}$ が埋め込みになります^[6]。

${\rho }_{\alpha }$ を掛けるのは、${\phi }_{\alpha }$ が $U_{\alpha }$ の外で定義されないため。掛けたものは $0$ で延長できます。

例：単射になる理由を追う

$\Phi (p)=\Phi (q)$ とします。${\rho }_{\alpha }(p)>0$ となる $\alpha$ をとると、${\rho }_{\alpha }(q)$ も同じ正の値。

すると ${\rho }_{\alpha }(p){\phi }_{\alpha }(p)={\rho }_{\alpha }(q){\phi }_{\alpha }(q)$ から ${\phi }_{\alpha }(p)={\phi }_{\alpha }(q)$ が出ます。${\phi }_{\alpha }$ は単射なので $p=q$。

はめ込みであることも同様に、${\rho }_{\alpha }$ が正の場所で $d{\phi }_{\alpha }$ が単射であることから出ます。次元 $2n$ まで落とすには、別の議論が要る^[6]。

局所有限でないと和が壊れる

局所有限性を落とすと、$\sum {\rho }_{\alpha }$ が無限和になります。値が定まるとしても、項別に微分してよいかが言えません。

たとえば ${\rho }_k$ の台が原点に集まっていく族をとると、原点のどの近傍にも無限個の台が入る。和の滑らかさが保証されなくなります。

局所有限性は、無限の操作を有限の操作へ落とすための条件です。1 の分割が滑らかさを壊さない理由が、ここにあります。

よくある誤り

参考文献