微分形式の基礎｜定義から外微分・引き戻し・Stokes の定理まで例で理解する

微分形式は余接ベクトルを一般化した概念であり、積分や外微分と自然に結びつく。多様体上の解析の基本言語である。

交代性はなぜ必要か

面積や体積は、向きを入れ替えると符号が変わる量である。平行四辺形の面積を 2 本のベクトルの関数と見ると、2 本を入れ替えたときに符号が反転する。

この性質をはじめから組み込んだ対象が微分形式である。積分したい量が向きに依存する以上、交代性は後から付け足す制約ではなく、出発点に置くべき性質になる。

微分形式の定義

$M$ を $n$ 次元多様体とする。$M$ 上の $k$-形式（$k$-form）とは、各点 $p\in M$ に $k$-重線型交代形式 ${\omega }_p:T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M\to \mathbb{R}$（$k$ 個の引数）を滑らかに対応させるものである。

$k$-形式全体を ${\Omega }^k(M)$ と書く。

交代形式とは、2 つの引数を入れ替えると符号が変わる多重線型写像のことである。ここから、同じベクトルを 2 か所に入れた値は必ず $0$ になる。

低次の微分形式

$0$-形式は滑らかな関数 $f:M\to \mathbb{R}$ である。${\Omega }^0(M)=C^{\infty }(M)$ となる。

$1$-形式は各点で余接ベクトルを与えるものである。局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ で $\omega ={\sum }_i{f}_{i}d{x}^i$ と書ける。

$2$-形式は各点で2つの接ベクトルを取り、反対称に実数を返す。$\omega ={\sum }_{i<j}{f}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j$ と書ける。

形式の次元

各点において $k$-形式のなす空間は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 次元である。基底は $i_1<\cdots <i_k$ を満たす $d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}$ で与えられる。

$k>n$ のときは ${\Omega }^k(M)=0$ になる。$n$ 個より多くの $1$-形式を並べれば、どこかで同じものが重なり、交代性から全体が消えるからである。

次元は $k=0$ から $k=n$ まで対称に並ぶ。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)$ という等式が、のちに Hodge 双対として幾何的な意味を持つ。

外積

$\omega \in {\Omega }^k(M)$, $\eta \in {\Omega }^l(M)$ に対して、外積 $\omega \wedge \eta \in {\Omega }^{k+l}(M)$ が定義される。

外積の計算例

${\mathbb{R}}^3$ で $\omega =dx$ と $\eta =ydy+zdz$ を取る。分配律で展開すると次のようになる。

$$\omega \wedge \eta =ydx\wedge dy+zdx\wedge dz$$

$dx\wedge dx=0$ が効いて、$\eta$ に $dx$ の項があっても消える。外積は掛け算に似ているが、重なった成分が落ちる点が違う。

外積が消える例

$\alpha =dx+dy$ と $\beta =2dx+2dy$ を取る。$\beta =2\alpha$ なので、外積は次のように消える。

$$\alpha \wedge \beta =2\alpha \wedge \alpha =0$$

$1$-形式の外積が $0$ になることは、それらが 1 次従属であることと同じである。ベクトルが平行かどうかを調べる操作が、そのまま形式の言葉になっている。

座標表示

局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ において、$k$-形式は

$$\omega =\sum _{i_1<\cdots <i_k}{f}_{i_1\cdots i_k}d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}$$

と一意に書ける。$d{x}^i\wedge d{x}^j=-d{x}^j\wedge d{x}^i$ であり、$d{x}^i\wedge d{x}^i=0$ である。

$n$-形式と体積形式

$n$ 次元多様体上の $n$-形式は最高次の形式である。局所座標では

$$\omega =fd{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

の形になる。向き付け可能な多様体には、どこでも零にならない $n$-形式（体積形式）が存在する。

行列式が現れる例

${\mathbb{R}}^n$ の線型写像 $A$ を取り、最高次の形式を引き戻す。各点で $n$-形式のなす空間は 1 次元なので、結果はもとの形式の定数倍にしかなりえない。その定数が行列式である。

$$A^{\ast }(d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n)=(\det A)d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

行列式が体積の拡大率だという事実が、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$ という次元の計算から自動的に出てくる。

外微分

外微分 $d:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k+1}(M)$ は次の性質を満たす線型作用素である。

外微分の座標表示

$\omega ={\sum }_I{f}_{I}d{x}^I$（$I=(i_1,\dots ,i_k)$ は添字の組）に対して

$$d\omega =\sum _I\sum _j\frac{\partial f_I}{\partial x^j}d{x}^j\wedge d{x}^I$$

となる。

平面での外微分の計算例

${\mathbb{R}}^2$ 上の $1$-形式 $\omega =Pdx+Qdy$ を取る。係数を微分して外積を作り、$dx\wedge dx=0$ と $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$ で整理する。

$$\begin{array}{rl}d\omega & =dP\wedge dx+dQ\wedge dy\\ & =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy\end{array}$$

Green の定理に現れる量がそのまま係数として出てくる。座標に依存しない定義から、見慣れた式が導かれている。

ベクトル解析との対応

${\mathbb{R}}^3$ では、$1$-形式と $2$-形式をどちらもベクトル場と同一視できる。この同一視のもとで、外微分は次の 3 つの操作に順に対応する。

$d\circ d=0$ は、勾配の回転が消えることと、回転の発散が消えることの両方を含んでいる。別々に覚えていた 2 つの恒等式が、1 つの等式にまとまる。

閉形式と完全形式

$d\omega =0$ を満たす $\omega$ を閉形式（closed form）という。

$\omega =d\eta$ の形で書ける $\omega$ を完全形式（exact form）という。

$d^2=0$ より、完全形式は閉形式である。逆は一般に成り立たない。

完全形式の積分の例

$\omega =xdx+ydy$ は完全形式である。$f=(x^2+y^2)/2$ と置けば $\omega =df$ になる。

そのため曲線に沿った積分は端点の値の差だけで決まり、閉曲線に沿えば $0$ になる。力学でいう保存力の場が、ちょうどこの形をしている。

閉形式だが完全でない例

${\mathbb{R}}^2$ から原点を除いた領域の上で、次の $1$-形式を考える。

$$\omega =\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$$

係数を微分すると $d\omega =0$ になり、$\omega$ は閉形式である。ところが原点を囲む単位円に沿って積分すると $2\pi$ になる。

完全形式であれば、閉曲線に沿った積分は必ず $0$ になる。したがって $\omega$ は完全ではない。領域に開いた穴が、積分の値として現れている。

平面の閉形式の分解

いまの $\omega$ は角度の全微分にあたるので $d\theta$ と書かれる。角度 $\theta$ 自体は大域的な関数として定まらないため、これは記号としての書き方である。

原点を除いた平面では、この形式ひとつが唯一の障害になる。任意の閉 $1$-形式は $\omega =df+kd\theta$ の形に分解し、係数 $k$ は原点のまわりの周回積分で決まる。

$k=0$ であることが、完全形式であることと同じである。$H^1$ が $\mathbb{R}$ と同型だという主張の、具体的な言い換えになっている。

Poincaréの補題

${\mathbb{R}}^n$ 上（より一般に可縮な空間上）では、閉形式は完全形式である。

すなわち $d\omega =0$ ならば $\omega =d\eta$ となる $\eta$ が存在する。これは de Rham コホモロジーが自明であることを意味する。

微分形式の引き戻し

滑らかな写像 $\phi :M\to N$ に対して、引き戻し ${\phi }^{\ast }:{\Omega }^k(N)\to {\Omega }^k(M)$ が定義される。

$({\phi }^{\ast }\omega {)}_p(v_1,\dots ,v_k)={\omega }_{\phi (p)}(d{\phi }_p(v_1),\dots ,d{\phi }_p(v_k))$

引き戻しは外積と外微分と可換である。${\phi }^{\ast }(\omega \wedge \eta )={\phi }^{\ast }\omega \wedge {\phi }^{\ast }\eta$, ${\phi }^{\ast }(d\omega )=d({\phi }^{\ast }\omega )$。

座標で書くと引き戻しの係数にヤコビ行列式が現れ、変数変換の公式は引き戻しが積分を保つことの言い換えになる。

引き戻しの計算例

極座標を与える写像 $\phi (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ を取る。合成関数の微分から、座標の引き戻しは次のようになる。

$$\begin{array}{rl}{\phi }^{\ast }dx& =\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta \\ {\phi }^{\ast }dy& =\sin \theta dr+r\cos \theta d\theta \end{array}$$

外積を取ると $dr\wedge dr$ と $d\theta \wedge d\theta$ の項が消え、残りがまとまる。

$${\phi }^{\ast }(dx\wedge dy)=rdr\wedge d\theta$$

重積分の変数変換で現れるヤコビアンが、そのまま係数 $r$ として出てくる。変換公式を覚える対象ではなく、外積の計算結果として導けるようになる。

球面の面積形式の例

単位球面を $\sigma (\theta ,\varphi )=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$ で表す。${\mathbb{R}}^3$ の $2$-形式を $\sigma$ で引き戻して整理すると、面積形式は次の形になる。

$$\sin \theta d\theta \wedge d\varphi$$

$0\le \theta \le \pi$ と $0\le \varphi \le 2\pi$ の範囲で積分すれば $4\pi$ になり、球の表面積の公式と一致する。座標に $\sin \theta$ が掛かるのは、極に近づくほど経度の幅が縮むからである。

微分形式の積分

向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$ 上の $n$-形式 $\omega$ は積分できる。座標近傍では

$${\int }_M\omega =\int f(x)d{x}^1\cdots d{x}^n$$

として定義し、1の分割で大域化する。

線積分の例

単位円 $C$ を $(\cos t,\sin t)$、$0\le t\le 2\pi$ で表す。$1$-形式 $ydx$ を引き戻すと $\sin t\cdot (-\sin t)dt$ になる。

$${\int }_{C}ydx=-{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt=-\pi$$

符号が負になるのは、反時計回りの向きに対して $ydx$ が囲む面積を負に測るからである。向きを逆に取れば符号も反転する。

Stokesの定理

境界を持つ向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$ と、その上の $(n-1)$-形式 $\omega$ に対して次が成り立つ。

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega$$

外微分を取る操作と境界を取る操作が、積分を挟んで向かい合っている。微分積分学の基本定理・Green の定理・発散定理・回転の Stokes の定理は、いずれもこの 1 つの定理の特別な場合になる。

Maxwell方程式の例

電磁場は 4 次元時空上の $2$-形式 $F$ にまとめられる。この言葉づかいのもとで、電磁気学の基本方程式は 2 本の式になる。

$$dF=0,d\star F=J$$

$\star$ は Hodge 双対、$J$ は電流を表す形式である。古典的な 4 本の方程式がこの 2 本に収まり、電荷保存則もここから導ける。

$dF=0$ は、可縮な領域で $F=dA$ となるポテンシャル $A$ の存在を導く。Poincaré の補題が物理の言葉に翻訳された場面である。

de Rhamコホモロジー

閉形式のなす空間を完全形式のなす空間で割った商を de Rham コホモロジーという。

$$H_{dR}^k(M)=\frac{\ker (d:{\Omega }^k\to {\Omega }^{k+1})}{\mathrm{im}(d:{\Omega }^{k-1}\to {\Omega }^k)}$$

割り算が意味を持つのは $d^2=0$ のおかげである。分子と分母は、それぞれ次の空間にあたる。

先に挙げた原点を除いた平面の $\omega$ は、$H^1$ の零でない元を与える。微分だけを使って定義した量が、多様体の穴という位相的な情報を捉えている。

参考文献