微分形式は余接ベクトルを一般化した概念であり、積分や外微分と自然に結びつく。多様体上の解析の基本言語である。
微分形式の定義
を 次元多様体とする。 上の -形式（-form）とは、各点 に -重線型交代形式 （ 個の引数）を滑らかに対応させるものである。
-形式全体を と書く。
低次の微分形式
-形式は滑らかな関数 である。 となる。
-形式は各点で余接ベクトルを与えるものである。局所座標 で と書ける。
-形式は各点で2つの接ベクトルを取り、反対称に実数を返す。 と書ける。
外積
, に対して、外積 が定義される。
（次数付き可換）
（結合律）
（関数との積）
座標表示
局所座標 において、-形式は
と一意に書ける。 であり、 である。
-形式と体積形式
次元多様体上の -形式は最高次の形式である。局所座標では
の形になる。向き付け可能な多様体には、どこでも零にならない -形式（体積形式）が存在する。
外微分
外微分 は次の性質を満たす線型作用素である。
に対して は通常の微分
（Leibniz則）
外微分の座標表示
（ は添字の組）に対して
となる。
閉形式と完全形式
を満たす を閉形式（closed form）という。
の形で書ける を完全形式（exact form）という。
より、完全形式は閉形式である。逆は一般に成り立たない。
Poincaréの補題
上（より一般に可縮な空間上）では、閉形式は完全形式である。
すなわち ならば となる が存在する。これは de Rham コホモロジーが自明であることを意味する。
微分形式の引き戻し
滑らかな写像 に対して、引き戻し が定義される。
引き戻しは外積と外微分と可換である。, 。
微分形式の積分
向き付けられた 次元多様体 上の -形式 は積分できる。座標近傍では
として定義し、1の分割で大域化する。
