微分形式の基礎

微分形式は余接ベクトルを一般化した概念であり、積分や外微分と自然に結びつく。多様体上の解析の基本言語である。

微分形式の定義

$M$ を $n$ 次元多様体とする。 $M$ 上の $k$ -形式（ $k$ -form）とは、各点 $p \in M$ に $k$ -重線型交代形式 $ω_{p} : T_{p} M \times \dots \times T_{p} M \to R$ （ $k$ 個の引数）を滑らかに対応させるものである。

$k$ -形式全体を $Ω^{k} (M)$ と書く。

低次の微分形式

$0$ -形式は滑らかな関数 $f : M \to R$ である。 $Ω^{0} (M) = C^{\infty} (M)$ となる。

$1$ -形式は各点で余接ベクトルを与えるものである。局所座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ で $ω = \sum_{i} f_{i} d x^{i}$ と書ける。

$2$ -形式は各点で2つの接ベクトルを取り、反対称に実数を返す。 $ω = \sum_{i < j} f_{ij} d x^{i} \land d x^{j}$ と書ける。

外積

$ω \in Ω^{k} (M)$ , $η \in Ω^{l} (M)$ に対して、外積 $ω \land η \in Ω^{k + l} (M)$ が定義される。

ω \land η = (- 1)^{k l} η \land ω

（次数付き可換）

(ω \land η) \land ζ = ω \land (η \land ζ)

（結合律）

f \land ω = f ω

（関数との積）

座標表示

局所座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ において、 $k$ -形式は

$ω = i_{1} < \dots < i_{k} \sum f_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}$

と一意に書ける。 $d x^{i} \land d x^{j} = - d x^{j} \land d x^{i}$ であり、 $d x^{i} \land d x^{i} = 0$ である。

$n$ -形式と体積形式

$n$ 次元多様体上の $n$ -形式は最高次の形式である。局所座標では

$ω = f d x^{1} \land \dots \land d x^{n}$

の形になる。向き付け可能な多様体には、どこでも零にならない $n$ -形式（体積形式）が存在する。

外微分

外微分 $d : Ω^{k} (M) \to Ω^{k + 1} (M)$ は次の性質を満たす線型作用素である。

f \in Ω^{0} (M)

に対して

df

は通常の微分

d (ω \land η) = d ω \land η + (- 1)^{k} ω \land d η

（Leibniz則）

d \circ d = 0

外微分の座標表示

$ω = \sum_{I} f_{I} d x^{I}$ （ $I = (i_{1}, \dots, i_{k})$ は添字の組）に対して

$d ω = I \sum j \sum \frac{\partial f _{I}}{\partial x ^{j}} d x^{j} \land d x^{I}$

となる。

閉形式と完全形式

$d ω = 0$ を満たす $ω$ を閉形式（closed form）という。

$ω = d η$ の形で書ける $ω$ を完全形式（exact form）という。

$d^{2} = 0$ より、完全形式は閉形式である。逆は一般に成り立たない。

Poincaréの補題

$R^{n}$ 上（より一般に可縮な空間上）では、閉形式は完全形式である。

すなわち $d ω = 0$ ならば $ω = d η$ となる $η$ が存在する。これは de Rham コホモロジーが自明であることを意味する。

微分形式の引き戻し

滑らかな写像 $φ : M \to N$ に対して、引き戻し $φ^{*} : Ω^{k} (N) \to Ω^{k} (M)$ が定義される。

$(φ^{*} ω)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) = ω_{φ (p)} (d φ_{p} (v_{1}), \dots, d φ_{p} (v_{k}))$

引き戻しは外積と外微分と可換である。 $φ^{*} (ω \land η) = φ^{*} ω \land φ^{*} η$ , $φ^{*} (d ω) = d (φ^{*} ω)$ 。

微分形式の積分

向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$ 上の $n$ -形式 $ω$ は積分できる。座標近傍では

$\int_{M} ω = \int f (x) d x^{1} \dots d x^{n}$

として定義し、1の分割で大域化する。