Schur乗数

Schur乗数は群の第2ホモロジー群であり、射影表現や普遍中心拡大と深く関わる。Issai Schur が表現論の研究で導入した。

定義

群 $G$ の Schur 乗数（Schur multiplier） $M (G)$ は、第2ホモロジー群

$M (G) = H_{2} (G; Z)$

として定義される。ここで $Z$ は自明 $G$ -加群である。

有限群の Schur 乗数

有限群 $G$ に対して $M (G)$ は有限アーベル群となる。

M (Z / n Z) = 0

（巡回群）

M (S_{n}) = Z /2 Z

（

n \geq 4

）

M (A_{n}) = Z /2 Z

（

n \geq 4

n \neq = 6, 7

）

M (A_{6}) = M (A_{7}) = Z /6 Z

普遍係数定理との関係

普遍係数定理により

$H^{2} (G; C^{\times}) ≅ Hom (M (G), C^{\times})$

が成り立つ。 $C^{\times}$ を係数とする $H^{2}$ は $M (G)$ の指標群と同型である。

射影表現

$G$ の射影表現とは、群準同型 $ρ : G \to PG L_{n} (C) = G L_{n} (C) / C^{\times}$ のことである。

通常の表現 $G \to G L_{n} (C)$ は射影表現に自然に持ち上がるが、逆は一般に成り立たない。

射影表現の持ち上げ

射影表現 $ρ : G \to PG L_{n} (C)$ が通常の表現に持ち上がるかどうかは、 $H^{2} (G; C^{\times})$ の元によって決まる。

具体的には、 $ρ$ に対応する2-コサイクル $α \in H^{2} (G; C^{\times})$ が自明（ $α = 0$ ）のとき、かつそのときに限り $ρ$ は通常の表現に持ち上がる。

被覆群

Schur 乗数は被覆群の構成と関係する。群 $G$ の被覆群（covering group） $\tilde{G}$ とは、中心拡大

$1 \to A \to \tilde{G} \to G \to 1$

で $A \leq \tilde{G}^{'} \cap Z (\tilde{G})$ を満たすものである。ここで $\tilde{G}^{'}$ は交換子部分群。

普遍中心拡大

$G$ が完全群（ $G = G^{'}$ かつ $Z (G) = 1$ ）のとき、普遍中心拡大

$1 \to M (G) \to \tilde{G} \to G \to 1$

が一意に存在する。 $\tilde{G}$ を $G$ の普遍被覆群という。

完全群の例

交代群 $A_{n}$ （ $n \geq 5$ ）は完全群である。 $M (A_{n}) = Z /2 Z$ （ $n \geq 5$ , $n \neq = 6, 7$ ）なので、 $2$ 重被覆 $\tilde{A}_{n} \to A_{n}$ が存在する。

$\tilde{A}_{n}$ を二重交代群という。 $∣ \tilde{A}_{n} ∣ = 2 \cdot ∣ A_{n} ∣ = n!$ である。

Hopf の公式

$G$ が自由群 $F$ の商 $G = F / R$ として表されるとき、

$M (G) = H_{2} (G; Z) = \frac{R \cap [ F , F ]}{[ F , R ]}$

が成り立つ。これを Hopf の公式という。

$[F, F]$ は $F$ の交換子部分群、 $[F, R]$ は $F$ と $R$ の元の交換子で生成される群である。

有限アーベル群の Schur 乗数

$G = Z / n_{1} Z \times \dots \times Z / n_{k} Z$ のとき、

$M (G) ≅ i < j \prod Z / g cd (n_{i}, n_{j}) Z$

である。特に $M (Z / n Z) = 0$ であり、 $M ((Z / n Z)^{2}) = Z / n Z$ である。

$p$ -群の Schur 乗数

有限 $p$ -群 $G$ の Schur 乗数も $p$ -群である。

$G$ が位数 $p^{n}$ の $p$ -群で $d = dim_{F_{p}} (G /Φ (G))$ （生成元の最小個数）とすると、

$∣ M (G) ∣ \leq p^{d (d - 1) /2}$

が成り立つ。ここで $Φ (G)$ は Frattini 部分群である。

量子力学での応用

Schur 乗数は量子力学における射影表現の研究で重要である。物理系の対称群 $G$ の量子力学的実現は、 $G$ の通常の表現ではなく射影表現で与えられることがある。

回転群 $SO (3)$ のスピン表現は、 $S U (2) \to SO (3)$ の2重被覆から得られる。これは $M (SO (3))$ が非自明であることを反映している。