Schur乗数は群の第2ホモロジー群であり、射影表現や普遍中心拡大と深く関わる。Issai Schur が表現論の研究で導入した。
定義
群 の Schur 乗数（Schur multiplier） は、第2ホモロジー群
として定義される。ここで は自明 -加群である。
有限群の Schur 乗数
有限群 に対して は有限アーベル群となる。
普遍係数定理との関係
普遍係数定理により
が成り立つ。 を係数とする は の指標群と同型である。
射影表現
の射影表現とは、群準同型 のことである。
通常の表現 は射影表現に自然に持ち上がるが、逆は一般に成り立たない。
射影表現の持ち上げ
射影表現 が通常の表現に持ち上がるかどうかは、 の元によって決まる。
具体的には、 に対応する2-コサイクル が自明（）のとき、かつそのときに限り は通常の表現に持ち上がる。
被覆群
Schur 乗数は被覆群の構成と関係する。群 の被覆群（covering group） とは、中心拡大
で を満たすものである。ここで は交換子部分群。
普遍中心拡大
が完全群（ かつ ）のとき、普遍中心拡大
が一意に存在する。 を の普遍被覆群という。
完全群の例
交代群 （）は完全群である。（, ）なので、重被覆 が存在する。
を二重交代群という。 である。
Hopf の公式
が自由群 の商 として表されるとき、
が成り立つ。これを Hopf の公式という。
は の交換子部分群、 は と の元の交換子で生成される群である。
有限アーベル群の Schur 乗数
のとき、
である。特に であり、 である。
-群の Schur 乗数
有限 -群 の Schur 乗数も -群である。
が位数 の -群で （生成元の最小個数）とすると、
が成り立つ。ここで は Frattini 部分群である。
量子力学での応用
Schur 乗数は量子力学における射影表現の研究で重要である。物理系の対称群 の量子力学的実現は、 の通常の表現ではなく射影表現で与えられることがある。
回転群 のスピン表現は、 の2重被覆から得られる。これは が非自明であることを反映している。
