射影表現が線型に直せるか - Schur 乗数と普遍中心拡大

群を行列で表そうとして、係数のスカラー倍ぶんだけずれる。そのずれをとり除けるかどうかを測る群が Schur 乗数です^[1]。

Schur が 1904 年に射影表現を調べる中で導入し、あとから $H_2(G,\mathbb{Z})$ と一致することが分かりました^[3]。

射影表現

準同型 $G\to G{L}_n(\mathbb{C})$ が線型表現、$G\to PG{L}_n(\mathbb{C})$ が射影表現です。後者ではスカラー倍の違いを無視します。

射影表現が与えられたとき、各 $g$ に対して行列 $\rho (g)$ を選んで持ち上げます。準同型になるとは限りません。

$$\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),c(g,h)\in {\mathbb{C}}^{\times }$$

$c$ が 2 次のコサイクル条件を満たすことは、行列の積の結合律から出ます。$\rho$ を選び直すと $c$ はコバウンダリぶんだけ動く。

だから射影表現が線型表現に持ち上がるかどうかは、$H^2(G,{\mathbb{C}}^{\times })$ の類が $0$ かどうかで決まります。

有限群では $H^2(G,{\mathbb{C}}^{\times })$ を Schur 乗数と呼ぶ流儀もあります^[1]。$H^n(G,{\mathbb{C}}^{\times })\cong H^{n+1}(G,\mathbb{Z})$ が成り立つので、次数をずらせば整数係数の話になります^[2]。

定義

いま標準的なのはホモロジーによる定義です^[1]。

$$M(G):=H_2(G,\mathbb{Z})$$

これを Schur 乗数といいます。中心拡大を扱うときに効きます^[1]。

Hopf の公式

$G=F/R$ と表示したとき、$M(G)$ が具体的に書けます^[1]。

$$M(G)\cong \frac{F^{\prime }\cap R}{[R,F]}$$

$F^{\prime }=[F,F]$ は自由群の交換子部分群です。$R$ に入る交換子のうち、$[R,F]$ で自明になるものを割ったもの、と読めます^[3]。

$R$ 全体ではなく $F^{\prime }\cap R$ をとる点が大事です^[1]。交換子として書ける関係式だけを見ています。

$F/[R,F]$ を作ると、$R/[R,F]$ が中心に入る中心拡大になります^[1]。$M(G)$ はその中心のうち、交換子部分群に入る部分にあたる。

計算してみる

$G=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で計算します。表示は $⟨x,y\mid x^m,y^n,[x,y]⟩$ です。

$F$ は階数 $2$ の自由群で、$F^{\prime }$ は $[x,y]$ が生成する部分群を含みます。$F^{\prime }/[F^{\prime },F]$ は $[x,y]$ の類で生成される無限巡回群です。

$[R,F]$ で割ると関係が入ります。$x^m\in R$ から $[x^m,y]\equiv [x,y{]}^m$、$y^n\in R$ から $[x,y^n]\equiv [x,y{]}^n$ が $[R,F]$ に落ちる。

だから $[x,y]$ の類の位数は $m$ と $n$ の最大公約数になります。

$$M(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)\mathbb{Z}$$

巡回群では $0$ です。$F$ が階数 $1$ なら $F^{\prime }=\{1\}$ なので、$F^{\prime }\cap R$ も自明になります。

$m=n=2$ なら $M(G)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。クラインの四元群には、自明でない中心拡大があります。

普遍係数の列

$M$ を自明な $G$ 加群とすると、次の完全列があります^[1]。

$$0\to {\mathrm{Ext}}^1(G^{\mathrm{ab}},M)\to H^2(G,M)\to \mathrm{Hom}(M(G),M)\to 0$$

$H^2$ が 2 つの部分に分かれています。アーベル化から来る部分と、Schur 乗数から来る部分です^[1]。

$G$ が完全群、つまり $G=[G,G]$ なら $G^{\mathrm{ab}}=0$ なので左端が消えます^[1]。

$$H^2(G,M)\cong \mathrm{Hom}(M(G),M)$$

完全群では、拡大の分類が Schur 乗数だけで決まります。

Stem 拡大と Schur 被覆

中心拡大 $1\to A\to E\to G\to 1$ で、$A$ が $E$ の交換子部分群に入るものを stem 拡大といいます。

$A$ が $M(G)$ と同型になる stem 拡大を、$G$ の Schur 被覆といいます。位数は $|G|\cdot |M(G)|$ です。

一般には Schur 被覆が複数あります。ところが $G$ が完全群なら、同型を除いてただ 1 つに決まる。それを普遍中心拡大といいます。

普遍という名は、どんな中心拡大へも一意に写せることから来ています。

$A_5$ の Schur 乗数は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ です。普遍中心拡大は位数 $120$ で、$S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ になります。中心が $\{\pm I\}$ で、それで割ると $PS{L}_2({\mathbb{F}}_5)\cong A_5$ に戻る。

$A_5$ の射影表現は、この $120$ 元の群の線型表現として実現されます。$A_5$ 自身の線型表現では届かないものが、2 重被覆の側に出てくる。

値の例

小さい群の値を並べます。

$Q_8$ の乗数が $0$ なのは、位数 $8$ の群の中では珍しい形です。射影表現がすべて線型表現から来る、ということになります。

交代群では $n=6$ と $n=7$ だけ値が大きくなります。$A_6$ の $6$ 重被覆は、散在型単純群とのつながりでも現れる群です。

名前の順序

Schur が先で、$H_2$ があとでした^[3]。

1904 年に Schur が射影表現の障害として乗数を導入します^[3]。Hopf が 1942 年に $H_2(\pi )$ の公式を出し、その形が Schur の乗数と一致することが 1940 年代に分かりました^[3]。

同じ時期に、$H^1$ が導分、$H^2$ が因子団に対応することも整理されます^[3]。低い次数のコホモロジーには、それぞれ先行する名前があったことになります。

射影表現を線型に直せるか、という問いから出た量が、あとから位相の側のホモロジーと一致しました。表示の言葉では、交換子として書ける関係式のうち自明でないものを数えている。3 つの見え方が同じ群を指しています。

参考