変数係数なのに代数方程式 1 本で解けるオイラーの微分方程式

$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0$ に $y=x^m$ を入れると、3 つの項がすべて $x^m$ になる。

$$m(m-1)x^m-2m{x}^m-4x^m=0⟹m^2-3m-4=0$$

$x$ が消えて、$m$ の 2 次方程式だけが残った。根は $4$ と $-1$ で、一般解は $y=c_1{x}^4+c_2{x}^{-1}$ である。

変数係数なのに、代数方程式 1 本で片づく。そうなる仕組みが、この方程式の形に埋め込まれている^[1]。

次数がそろっている

$x^2{y}^{\prime \prime }$ では $x$ が 2 乗、微分も 2 階。$x{y}^{\prime }$ は 1 と 1、$y$ は 0 と 0。どの項も、$x$ のべきと微分の階数が一致している。

一般には $x^k{y}^{(k)}$ という項だけが並ぶ。ここに $y=x^m$ を入れてみる。

$$x^k\frac{d^k}{d{x}^k}{x}^m=x^k\cdot m(m-1)\cdots (m-k+1)x^{m-k}=m(m-1)\cdots (m-k+1)x^m$$

$x^k$ と $x^{-k}$ が打ち消して、$x^m$ に戻った。次数がそろっているとは、この打ち消しが起きるという意味である。

だから全部の項が $x^m$ でくくれて、係数の和を $0$ と置くだけでよい。

特性方程式

2 階の場合を書いておく。

$$x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$$

$y=x^m$ を入れると $m(m-1)+am+b=0$、つまり次のようになる^[2]。

$$m^2+(a-1)m+b=0$$

$m$ の 1 次の係数が $a$ ではなく $a-1$ である。$m(m-1)$ から $-m$ が出てくるためで、ここを落とす間違いが多い。

対数の目盛に移す

$t=\ln x$（$x>0$）と置くと、この方程式は定数係数になる^[4]。

計算を短くするために、演算子 $\theta =x\frac{d}{dx}$ を用意する。

$$\theta y=x{y}^{\prime }=\frac{dy}{dt}$$

連鎖律から $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=x{y}^{\prime }$ となるので、$\theta$ は $t$ での微分そのもの。

2 階を作る。

$${\theta }^{2}y=x\frac{d}{dx}(x{y}^{\prime })=x(y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime })=x{y}^{\prime }+x^2{y}^{\prime \prime }$$

移項して $x^2{y}^{\prime \prime }={\theta }^{2}y-\theta y=\theta (\theta -1)y$。一般には $x^k{y}^{(k)}=\theta (\theta -1)\cdots (\theta -k+1)y$ になる。

もとの方程式は $\theta$ の多項式に化ける。

$$[\theta (\theta -1)+a\theta +b]y=0⟹\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(a-1)\frac{dy}{dt}+by=0$$

$t$ の世界では定数係数。特性方程式は $m^2+(a-1)m+b=0$ で、$x^m$ を直接入れたときと一致する^[2]。

3 つの場合

特性方程式の根がどうなるかで、解の姿が分かれる^[1]。

定数係数の場合の $e^{mx}$、$x{e}^{mx}$、$e^{\alpha x}\cos \beta x$ と、そっくり対応している。$x$ が $\ln x$ に、$e^{mt}$ が $x^m$ に置き換わっただけである。

重根で対数が出る理由

$t$ の世界で見れば当然である。重根なら $(c_1+c_{2}t)e^{mt}$ で、$t=\ln x$ を戻すと $(c_1+c_2\ln x)x^m$ になる。

もう 1 つ、極限として見る道もある。根が $m_1$ と $m_2$ で近いとき、次の組み合わせも解である。

$$\frac{x^{m_1}-x^{m_2}}{m_1-m_2}$$

解の 1 次結合なので、これも解。$m_2=m_1-\epsilon$ として $\epsilon \to 0$ を計算する。

$$\frac{x^{m_1}-x^{m_1-\epsilon }}{\epsilon }=x^{m_1}\cdot \frac{1-e^{-\epsilon \ln x}}{\epsilon }⟶x^{m_1}\ln x$$

対数は、2 本の解が重なる瞬間に現れる。$\ln x$ が突然出てくるように見えて、実は連続につながっている。

青い曲線が赤に重なっていく。重根の解は、別々の 2 本が融合した形である。

複素根のとき

$m=\alpha +\mathrm{i}\beta$ なら $x^m=x^{\alpha }{x}^{\mathrm{i}\beta }=x^{\alpha }{e}^{\mathrm{i}\beta \ln x}$ となる。

オイラーの公式で実部と虚部に分ける。

$$x^{\alpha }(\cos (\beta \ln x)+\mathrm{i}\sin (\beta \ln x))$$

三角関数の中身が $\ln x$ である点が定数係数との違い。$x$ が $0$ に近づくと $\ln x$ は $-\infty$ へ走るので、振動が際限なく速くなる。

$x$ を $e$ 倍するごとに位相が $\beta$ だけ進む。等比数列の目盛で見ると、等間隔の振動になっている。

負の $x$ をまたげない

$x^m$ は $x<0$ で意味を持たないことがある。$m=\frac{1}{2}$ なら実数の範囲では定義できない。

そこで $|x{|}^m$ と書き、$t=\ln |x|$ とする^[4]。$x<0$ の側でも同じ形の解が並ぶ。

ただし $x=0$ を含む区間では解けない。$x=0$ は方程式の特異点で、そこで $x^2$ が消えてしまうためである。

例：3 つの場合を計算する

異なる 2 実根の例から始める。

$$x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-6y=0$$

$m(m-1)+2m-6=m^2+m-6=0$ から $m=2,-3$。一般解は $y=c_1{x}^2+c_2{x}^{-3}$ である。

重根の例を見る。

$$x^2{y}^{\prime \prime }-3x{y}^{\prime }+4y=0$$

$m^2-4m+4=(m-2{)}^2=0$ で $m=2$ の重根。一般解は $y=(c_1+c_2\ln |x|)x^2$。

複素根の例はこうなる。

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+4y=0$$

$m^2+4=0$ から $m=\pm 2\mathrm{i}$。$\alpha =0$、$\beta =2$ なので $y=c_1\cos (2\ln |x|)+c_2\sin (2\ln |x|)$ である。

例：右辺があるとき

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-y=x^2$$

同次側は $m^2-1=0$ で $y=c_{1}x+c_2{x}^{-1}$。右辺が $x^2$ なので $y_p=A{x}^2$ と置く。

$$x^2(2A)+x(2Ax)-A{x}^2=3A{x}^2=x^2$$

$A=\frac{1}{3}$ で $y_p=\frac{x^2}{3}$ になる。

例：右辺が同次解と重なるとき

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-y=x$$

右辺の $x$ は同次解の 1 本である。$y_p=Ax$ と置くと左辺が $0$ になり、係数が決まらない。

$\ln x$ を 1 つ掛けて $y_p=Ax\ln x$ とする^[1]。$y_p^{\prime }=A(\ln x+1)$、$y_p^{\prime \prime }=\frac{A}{x}$ を代入する。

$$Ax+Ax\ln x+Ax-Ax\ln x=2Ax=x$$

$\ln x$ の項が打ち消して、$A=\frac{1}{2}$。$y_p=\frac{x\ln x}{2}$ である。

定数係数のときに $x$ を掛けるのと同じ手当てで、掛けるものが $\ln x$ に替わっただけ。

例：円環の温度を求める

極座標のラプラシアンを書く^[3]。

$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}$$

$u=R(r)\Theta (\theta )$ と分けると、動径側がオイラー方程式になる。

$$r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-n^{2}R=0$$

特性方程式は $m^2-n^2=0$ で $m=\pm n$。$n\ge 1$ なら $R=C{r}^n+D{r}^{-n}$、$n=0$ なら重根なので $R=C+D\ln r$ である^[3]。

角度によらない定常温度を考える。$n=0$ の解だけが残る。

内半径 $a$ で温度 $T_a$、外半径 $b$ で温度 $T_b$ という条件を当てる。

$$\begin{array}{rl}C+D\ln a& =T_a\\ C+D\ln b& =T_b\end{array}$$

引き算して $D=\frac{T_b-T_a}{\ln (b/a)}$。整理すると次の形になる。

$$T(r)=T_a+(T_b-T_a)\frac{\ln (r/a)}{\ln (b/a)}$$

温度は半径に対して直線的ではなく、対数で変わる。配管の断熱材の厚みを決めるときに使う式である。

高階でも同じ

$\theta$ 演算子を使うと、高階でも機械的に進む^[2]。

$$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+2x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$$

$x^3{y}^{\prime \prime \prime }=\theta (\theta -1)(\theta -2)y$、$x^2{y}^{\prime \prime }=\theta (\theta -1)y$、$x{y}^{\prime }=\theta y$ を入れる。

$$\theta (\theta -1)(\theta -2)+2\theta (\theta -1)-\theta +1={\theta }^3-{\theta }^2-\theta +1$$

因数分解すると $(\theta -1{)}^2(\theta +1)$ になる。根は $1$ の重根と $-1$。

$$y=c_{1}x+c_{2}x\ln |x|+c_3{x}^{-1}$$

重根の側にだけ $\ln |x|$ が付いた。定数係数で $x{e}^{mx}$ が出るのと同じ役回りである。

確定特異点の原型

$x=0$ でこの方程式の最高階の係数が消える。$x^2$ で割ると $\frac{a}{x}$ と $\frac{b}{x^2}$ が現れ、確定特異点になる。

確定特異点をもつ一般の方程式は、$x\to 0$ でオイラー型に近づく。特性方程式が決定方程式と呼ばれるのはこのためである。

オイラー方程式は、その中で級数の補正がまったく要らない特別な場合にあたる^[4]。

$t=\ln x$ という 1 つの置き換えが、右の列を左の列に写している。

検算のしかた

まず $m$ の 1 次の係数を見る。$m^2+(a-1)m+b$ の $-1$ を落としていないか、ここだけ確かめれば大半のまちがいは防げる。

次に根を 1 つ選び、$x^m$ をもとの式に入れ直す。$x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-6y$ に $y=x^2$ なら $2x^2+4x^2-6x^2=0$ で合う。

複素根のときは $\beta \ln |x|$ の $\ln$ を書き落としやすい。$\cos 2x$ と書いてしまうと定数係数の答えになる。

次数がそろっているから $x^m$ が通り、$t=\ln x$ で定数係数に移せる。オイラー方程式の性質は、この 2 つから全部出てくる。

出典