オイラーの微分方程式

オイラーの微分方程式（コーシー＝オイラー方程式）は、変数係数でありながら、変数変換によって定数係数に帰着できる特殊な形の方程式です。

オイラー方程式の形

$x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0$

各項で $x$ の次数と微分の階数の和が一定（ここでは2）になっているのが特徴です。より一般には、

$x^{n} y^{(n)} + a_{n - 1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} x y^{'} + a_{0} y = 0$

の形です。

解法1： $y = x^{m}$ の仮定

$y = x^{m}$ と仮定して代入します。 $y^{'} = m x^{m - 1}$ , $y^{''} = m (m - 1) x^{m - 2}$ なので、

$x^{2} \cdot m (m - 1) x^{m - 2} + a x \cdot m x^{m - 1} + b \cdot x^{m} = 0$

整理すると、

$x^{m} [m (m - 1) + am + b] = 0$

$x^{m} \neq = 0$ なので、特性方程式（補助方程式）

$m (m - 1) + am + b = 0 つまり m^{2} + (a - 1) m + b = 0$

を得ます。

3つの場合分け

異なる2実根

m_{1}

m_{2}

一般解は $y = c_{1} x^{m_{1}} + c_{2} x^{m_{2}}$ 。

重根

m

一般解は $y = (c_{1} + c_{2} ln ∣ x ∣) x^{m}$ 。

複素共役根

α \pm i β

一般解は $y = x^{α} (c_{1} cos (β ln ∣ x ∣) + c_{2} sin (β ln ∣ x ∣))$ 。

例題1：異なる実根

$x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} - 4 y = 0$

特性方程式 $m (m - 1) - 2 m - 4 = 0$ 、つまり $m^{2} - 3 m - 4 = 0$ 。

$(m - 4) (m + 1) = 0$ より $m = 4, - 1$ 。

一般解は $y = c_{1} x^{4} + c_{2} x^{- 1}$ です。

例題2：重根

$x^{2} y^{''} - x y^{'} + y = 0$

特性方程式 $m (m - 1) - m + 1 = 0$ 、つまり $m^{2} - 2 m + 1 = 0$ 。

$(m - 1)^{2} = 0$ より $m = 1$ （重根）。

一般解は $y = (c_{1} + c_{2} ln ∣ x ∣) x = c_{1} x + c_{2} x ln ∣ x ∣$ です。

解法2：変数変換

$t = ln ∣ x ∣$ （つまり $x = e^{t}$ ）と置換すると、オイラー方程式は定数係数線形方程式に変換されます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} \frac{d y}{d t}$ より、

$x y^{'} = \frac{d y}{d t}$

同様に計算すると、

$x^{2} y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}$

元の方程式は、

$\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + (a - 1) \frac{d y}{d t} + b y = 0$

となり、定数係数の方程式になります。

y = x^{m}

の直接代入

計算が単純で速い。オイラー方程式専用の方法。

変数変換

t = ln ∣ x ∣

定数係数の理論がそのまま使える。非同次の場合にも拡張しやすい。

物理的な例

原点からの距離 $r$ に依存するポテンシャルをもつ球対称問題では、ラプラス方程式の動径成分がオイラー型になります。電磁気学や量子力学で頻繁に現れる重要な方程式です。