変数係数なのに代数方程式 1 本で解けるオイラーの微分方程式

$x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} - 4 y = 0$ に $y = x^{m}$ を入れると、3 つの項がすべて $x^{m}$ になる。

$m (m - 1) x^{m} - 2 m x^{m} - 4 x^{m} = 0 ⟹ m^{2} - 3 m - 4 = 0$

$x$ が消えて、 $m$ の 2 次方程式だけが残った。根は $4$ と $- 1$ で、一般解は $y = c_{1} x^{4} + c_{2} x^{- 1}$ である。

変数係数なのに、代数方程式 1 本で片づく。そうなる仕組みが、この方程式の形に埋め込まれている^[1]。

次数がそろっている

$x^{2} y^{''}$ では $x$ が 2 乗、微分も 2 階。 $x y^{'}$ は 1 と 1、 $y$ は 0 と 0。どの項も、 $x$ のべきと微分の階数が一致している。

一般には $x^{k} y^{(k)}$ という項だけが並ぶ。ここに $y = x^{m}$ を入れてみる。

$x^{k} \frac{d ^{k}}{d x ^{k}} x^{m} = x^{k} \cdot m (m - 1) \dots (m - k + 1) x^{m - k} = m (m - 1) \dots (m - k + 1) x^{m}$

$x^{k}$ と $x^{- k}$ が打ち消して、 $x^{m}$ に戻った。次数がそろっているとは、この打ち消しが起きるという意味である。

だから全部の項が $x^{m}$ でくくれて、係数の和を $0$ と置くだけでよい。

同じ理由で、この方程式は拡大しても形が変わらない。 $x \to λ x$ と伸ばしても、係数はそのまま。

等次元方程式とも呼ばれる。 $x^{m}$ が解になるのは、べき関数だけが拡大に対して形を保つからである。

特性方程式

2 階の場合を書いておく。

$x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0$

$y = x^{m}$ を入れると $m (m - 1) + am + b = 0$ 、つまり次のようになる^[2]。

$m^{2} + (a - 1) m + b = 0$

$m$ の 1 次の係数が $a$ ではなく $a - 1$ である。 $m (m - 1)$ から $- m$ が出てくるためで、ここを落とす間違いが多い。

対数の目盛に移す

$t = ln x$ （ $x > 0$ ）と置くと、この方程式は定数係数になる^[4]。

計算を短くするために、演算子 $θ = x \frac{d}{d x}$ を用意する。

$θ y = x y^{'} = \frac{d y}{d t}$

連鎖律から $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t} = x y^{'}$ となるので、 $θ$ は $t$ での微分そのもの。

2 階を作る。

$θ^{2} y = x \frac{d}{d x} (x y^{'}) = x (y^{'} + x y^{''}) = x y^{'} + x^{2} y^{''}$

移項して $x^{2} y^{''} = θ^{2} y - θ y = θ (θ - 1) y$ 。一般には $x^{k} y^{(k)} = θ (θ - 1) \dots (θ - k + 1) y$ になる。

もとの方程式は $θ$ の多項式に化ける。

$[θ (θ - 1) + a θ + b] y = 0 ⟹ \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + (a - 1) \frac{d y}{d t} + b y = 0$

$t$ の世界では定数係数。特性方程式は $m^{2} + (a - 1) m + b = 0$ で、 $x^{m}$ を直接入れたときと一致する^[2]。

3 つの場合

特性方程式の根がどうなるかで、解の姿が分かれる^[1]。

根	一般解
異なる 2 実根 $m_{1}$ , $m_{2}$	$c_{1} x^{m_{1}} + c_{2} x^{m_{2}}$
重根 $m$	$(c_{1} + c_{2} ln ∣ x ∣) x^{m}$
複素根 $α \pm i β$	$x^{α} (c_{1} cos (β ln ∣ x ∣) + c_{2} sin (β ln ∣ x ∣))$

定数係数の場合の $e^{m x}$ 、 $x e^{m x}$ 、 $e^{α x} cos β x$ と、そっくり対応している。 $x$ が $ln x$ に、 $e^{m t}$ が $x^{m}$ に置き換わっただけである。

重根で対数が出る理由

$t$ の世界で見れば当然である。重根なら $(c_{1} + c_{2} t) e^{m t}$ で、 $t = ln x$ を戻すと $(c_{1} + c_{2} ln x) x^{m}$ になる。

もう 1 つ、極限として見る道もある。根が $m_{1}$ と $m_{2}$ で近いとき、次の組み合わせも解である。

$\frac{x ^{m_{1}} - x ^{m_{2}}}{m _{1} - m _{2}}$

解の 1 次結合なので、これも解。 $m_{2} = m_{1} - ε$ として $ε \to 0$ を計算する。

$\frac{x ^{m_{1}} - x ^{m_{1} - ε}}{ε} = x^{m_{1}} \cdot \frac{1 - e ^{- ε l n x}}{ε} ⟶ x^{m_{1}} ln x$

対数は、2 本の解が重なる瞬間に現れる。 $ln x$ が突然出てくるように見えて、実は連続につながっている。

青い曲線が赤に重なっていく。重根の解は、別々の 2 本が融合した形である。

複素根のとき

$m = α + i β$ なら $x^{m} = x^{α} x^{i β} = x^{α} e^{i β l n x}$ となる。

オイラーの公式で実部と虚部に分ける。

$x^{α} (cos (β ln x) + i sin (β ln x))$

三角関数の中身が $ln x$ である点が定数係数との違い。 $x$ が $0$ に近づくと $ln x$ は $- \infty$ へ走るので、振動が際限なく速くなる。

$x$ を $e$ 倍するごとに位相が $β$ だけ進む。等比数列の目盛で見ると、等間隔の振動になっている。

負の $x$ をまたげない

$x^{m}$ は $x < 0$ で意味を持たないことがある。 $m = \frac{1}{2}$ なら実数の範囲では定義できない。

そこで $∣ x ∣^{m}$ と書き、 $t = ln ∣ x ∣$ とする^[4]。 $x < 0$ の側でも同じ形の解が並ぶ。

ただし $x = 0$ を含む区間では解けない。 $x = 0$ は方程式の特異点で、そこで $x^{2}$ が消えてしまうためである。

例：3 つの場合を計算する

異なる 2 実根の例から始める。

$x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y = 0$

$m (m - 1) + 2 m - 6 = m^{2} + m - 6 = 0$ から $m = 2, - 3$ 。一般解は $y = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{- 3}$ である。

重根の例を見る。

$x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = 0$

$m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2} = 0$ で $m = 2$ の重根。一般解は $y = (c_{1} + c_{2} ln ∣ x ∣) x^{2}$ 。

複素根の例はこうなる。

$x^{2} y^{''} + x y^{'} + 4 y = 0$

$m^{2} + 4 = 0$ から $m = \pm 2 i$ 。 $α = 0$ 、 $β = 2$ なので $y = c_{1} cos (2 ln ∣ x ∣) + c_{2} sin (2 ln ∣ x ∣)$ である。

例：右辺があるとき

$x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = x^{2}$

同次側は $m^{2} - 1 = 0$ で $y = c_{1} x + c_{2} x^{- 1}$ 。右辺が $x^{2}$ なので $y_{p} = A x^{2}$ と置く。

$x^{2} (2 A) + x (2 A x) - A x^{2} = 3 A x^{2} = x^{2}$

$A = \frac{1}{3}$ で $y_{p} = \frac{x ^{2}}{3}$ になる。

例：右辺が同次解と重なるとき

$x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = x$

右辺の $x$ は同次解の 1 本である。 $y_{p} = A x$ と置くと左辺が $0$ になり、係数が決まらない。

$ln x$ を 1 つ掛けて $y_{p} = A x ln x$ とする^[1]。 $y_{p}^{'} = A (ln x + 1)$ 、 $y_{p}^{''} = \frac{A}{x}$ を代入する。

$A x + A x ln x + A x - A x ln x = 2 A x = x$

$ln x$ の項が打ち消して、 $A = \frac{1}{2}$ 。 $y_{p} = \frac{x ln x}{2}$ である。

定数係数のときに $x$ を掛けるのと同じ手当てで、掛けるものが $ln x$ に替わっただけ。

例：円環の温度を求める

極座標のラプラシアンを書く^[3]。

$Δ u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial θ ^{2}}$

$u = R (r) Θ (θ)$ と分けると、動径側がオイラー方程式になる。

$r^{2} R^{''} + r R^{'} - n^{2} R = 0$

特性方程式は $m^{2} - n^{2} = 0$ で $m = \pm n$ 。 $n \geq 1$ なら $R = C r^{n} + D r^{- n}$ 、 $n = 0$ なら重根なので $R = C + D ln r$ である^[3]。

角度によらない定常温度を考える。 $n = 0$ の解だけが残る。

内半径 $a$ で温度 $T_{a}$ 、外半径 $b$ で温度 $T_{b}$ という条件を当てる。

$C + D ln a C + D ln b = T_{a} = T_{b}$

引き算して $D = \frac{T _{b} - T _{a}}{ln ( b / a )}$ 。整理すると次の形になる。

$T (r) = T_{a} + (T_{b} - T_{a}) \frac{ln ( r / a )}{ln ( b / a )}$

温度は半径に対して直線的ではなく、対数で変わる。配管の断熱材の厚みを決めるときに使う式である。

高階でも同じ

$θ$ 演算子を使うと、高階でも機械的に進む^[2]。

$x^{3} y^{'''} + 2 x^{2} y^{''} - x y^{'} + y = 0$

$x^{3} y^{'''} = θ (θ - 1) (θ - 2) y$ 、 $x^{2} y^{''} = θ (θ - 1) y$ 、 $x y^{'} = θ y$ を入れる。

$θ (θ - 1) (θ - 2) + 2 θ (θ - 1) - θ + 1 = θ^{3} - θ^{2} - θ + 1$

因数分解すると $(θ - 1)^{2} (θ + 1)$ になる。根は $1$ の重根と $- 1$ 。

$y = c_{1} x + c_{2} x ln ∣ x ∣ + c_{3} x^{- 1}$

重根の側にだけ $ln ∣ x ∣$ が付いた。定数係数で $x e^{m x}$ が出るのと同じ役回りである。

確定特異点の原型

$x = 0$ でこの方程式の最高階の係数が消える。 $x^{2}$ で割ると $\frac{a}{x}$ と $\frac{b}{x ^{2}}$ が現れ、確定特異点になる。

確定特異点をもつ一般の方程式は、 $x \to 0$ でオイラー型に近づく。特性方程式が決定方程式と呼ばれるのはこのためである。

オイラー方程式は、その中で級数の補正がまったく要らない特別な場合にあたる^[4]。

定数係数の方程式

$e^{m x}$ が基本。重根で $x$ が 1 つ付き、複素根で $cos β x$ が出る

オイラー方程式

$x^{m}$ が基本。重根で $ln x$ が 1 つ付き、複素根で $cos (β ln x)$ が出る

$t = ln x$ という 1 つの置き換えが、右の列を左の列に写している。

検算のしかた

まず $m$ の 1 次の係数を見る。 $m^{2} + (a - 1) m + b$ の $- 1$ を落としていないか、ここだけ確かめれば大半のまちがいは防げる。

次に根を 1 つ選び、 $x^{m}$ をもとの式に入れ直す。 $x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y$ に $y = x^{2}$ なら $2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x^{2} = 0$ で合う。

複素根のときは $β ln ∣ x ∣$ の $ln$ を書き落としやすい。 $cos 2 x$ と書いてしまうと定数係数の答えになる。

$x^{2} y^{''} + 5 x y^{'} + 4 y = 0$ の一般解はどれですか。

$c_{1} x^{- 1} + c_{2} x^{- 4}$
$(c_{1} + c_{2} ln ∣ x ∣) x^{- 2}$
$c_{1} cos (2 ln ∣ x ∣) + c_{2} sin (2 ln ∣ x ∣)$

__RESULT__

特性方程式は $m (m - 1) + 5 m + 4 = m^{2} + 4 m + 4 = (m + 2)^{2}$ です。 $m = - 2$ の重根なので、 $ln ∣ x ∣$ が 1 つ付きます。 $m$ の 1 次の係数を $5$ のままにすると $m^{2} + 5 m + 4$ となり、1 番目の誤答が出ます。

次数がそろっているから $x^{m}$ が通り、 $t = ln x$ で定数係数に移せる。オイラー方程式の性質は、この 2 つから全部出てくる。

出典

Russell Herman. *Cauchy-Euler Equations*/02%3A_Second_Order_ODEs/2.05%3A_Cauchy-Euler_Equations). A First Course in Differential Equations for Scientists and Engineers.

Euler Differential Equation. Wolfram MathWorld.

Vladimir Dobrushkin. *Laplace Equation in Polar Coordinates*. Applied Mathematics 34, Brown University.

Paul Dawkins. *Euler Equations*. Paul's Online Notes, Lamar University.

$x^2y'' - 2xy' - 4y = 0$ に $y = x^m$ を入れると $x$ が消え、$m^2 - 3m - 4 = 0$ だけが残ります。$x$ のべきと微分の階数が各項でそろっているため。$t = \ln x$ と置けば $x\frac{d}{dx}$ が $\frac{d}{dt}$ になり、定数係数の方程式へ移ります。特性方程式の 1 次の係数が $a$ ではなく $a-1$ になる理由もここから見える。重根で出る $x^m\ln x$ は、2 つの根を近づけた極限 $(x^{m_1}-x^{m_2})/(m_1-m_2)$ そのものです。複素根では $\cos(\beta\ln x)$ になり、原点へ近づくほど振動が速くなる。円環の定常温度が $\ln(r/a)/\ln(b/a)$ で決まる話まで。