特性方程式と一般解

特性方程式は、定数係数線形微分方程式を代数方程式に変換する魔法の道具です。2階だけでなく、任意の $n$ 階方程式にも同じアイデアが適用できます。ここでは特性方程式の理論的背景と高階への拡張を詳しく見ていきます。

なぜ $e^{λ x}$ を仮定するのか

微分方程式 $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ において、微分演算を $D = \frac{d}{d x}$ と書くと、

$(a D^{2} + b D + c) y = 0$

$e^{λ x}$ は $D e^{λ x} = λ e^{λ x}$ を満たすので、 $D$ を $λ$ に置き換えられます。これが特性方程式の本質です。

演算子 $a D^{2} + b D + c$ を多項式のように因数分解でき、

$a (D - λ_{1}) (D - λ_{2}) y = 0$

の形になります。 $(D - λ) y = 0$ の解は $y = e^{λ x}$ なので、 $λ_{1}$ , $λ_{2}$ が異なれば2つの独立な解が得られます。

特性方程式が重根 $λ$ をもつとき、 $(D - λ)^{2} y = 0$ を解く必要があります。

$u = (D - λ) y$ と置くと $(D - λ) u = 0$ なので $u = c e^{λ x}$ 。

次に $(D - λ) y = c e^{λ x}$ を解きます。 $y = v e^{λ x}$ と置換すると、

$(D - λ) (v e^{λ x}) = e^{λ x} D v = c e^{λ x}$

よって $D v = c$ 、積分して $v = c x + c^{'}$ 。

したがって $y = (c x + c^{'}) e^{λ x} = (c_{1} + c_{2} x) e^{λ x}$ です。

一般に、 $k$ 重根 $λ$ に対しては、 $e^{λ x}$ , $x e^{λ x}$ , …, $x^{k - 1} e^{λ x}$ の $k$ 個の独立な解が対応します。

$n$ 階定数係数同次線形微分方程式

$a_{n} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0$

の特性方程式は

$a_{n} λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} = 0$

です。 $n$ 次方程式なので（複素数の範囲で） $n$ 個の根をもち、 $n$ 個の独立な解が得られます。

異なる実根

λ_{1}, \dots, λ_{n}

$e^{λ_{1} x}, \dots, e^{λ_{n} x}$ が独立な解。

k

重の実根

λ

$e^{λ x}, x e^{λ x}, \dots, x^{k - 1} e^{λ x}$ の $k$ 個が対応。

複素共役根

α \pm i β

（単根）

$e^{αx} cos β x$ , $e^{αx} sin β x$ の2つが対応。

$y^{'''} - y = 0$

特性方程式 $λ^{3} - 1 = 0$ の根は $λ = 1, e^{2 πi /3}, e^{- 2 πi /3}$ です。

$e^{2 πi /3} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ なので、実数解として

$y = c_{1} e^{x} + e^{- x /2} (c_{2} cos \frac{3}{2} x + c_{3} sin \frac{3}{2} x)$

が一般解です。

線形代数の観点では、微分演算子 $D$ は線形写像であり、特性方程式は固有値問題に対応します。 $e^{λ x}$ は $D$ の固有関数で、 $λ$ が固有値です。

この視点は、連立微分方程式や偏微分方程式の理解にもつながる重要な見方です。行列の指数関数を使った解法の基礎にもなっています。