分岐と不分岐｜代数的整数論

素数の分岐は、整数環の構造を理解する上で重要な概念です。分岐するかどうかは判別式で判定でき、類体論とも深く関係しています。

分岐の定義

$K$ を数体とします。有理素数 $p$ が $K$ で分岐するとは、 $(p)$ の素イデアル分解

$(p) = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{g}^{e_{g}}$

において、ある $e_i > 1$ となることです。分岐指数がすべて $1$ のとき、 $p$ は不分岐であるといいます。

分岐

$(p) = p^{e} \dots$ （ $e > 1$ ）。素イデアルの重複。

不分岐

$(p) = p_{1} \dots p_{g}$ 。すべて $e_{i} = 1$ 。

分岐する素数は判別式の約数に限られます。これは基本的な定理です。

$p$ が $K$ で分岐する $⟺$ $p ∣ d_{K}$

逆に $p ∤ d_{K}$ ならば $p$ は不分岐です。判別式が分岐素数を完全に特徴付けます。

例えば $Q (- 5)$ の判別式は $- 20 = - 4 \times 5$ なので、分岐する素数は $2$ と $5$ のみです。

$K = Q (d)$ における素数 $p$ の振る舞いを整理します。

p = 2

のとき

$d \equiv 1 (mod 8)$ なら完全分解、 $d \equiv 5 (mod 8)$ なら不分解、 $d \equiv 2, 3, 6, 7 (mod 8)$ なら分岐。

奇素数

p ∣ d

のとき

必ず分岐。 $(p) = p^{2}$ 。

奇素数

p ∤ d

のとき

$d$ が $p$ を法とする平方剰余なら完全分解、非平方剰余なら不分解。

平方剰余の相互法則が、二次体における素数の分解を支配しています。

分岐の程度にも種類があります。

円分体 $Q (ζ_{p})$ では素数 $p$ は完全分岐し、 $(p) = (1 - ζ_{p})^{p - 1}$ となります。 $p - 1 < p$ なので緩分岐です。

体の拡大 $L / K$ が不分岐であるとは、 $K$ のすべての素イデアルが $L$ で不分岐であることです。

不分岐拡大は類体論において特別な役割を果たします。 $K$ のヒルベルト類体は $K$ 上の最大不分岐アーベル拡大であり、その次数は $K$ の類数に等しくなります。

分岐拡大

判別式が割れる素数で素イデアルが重複

不分岐拡大

すべての素イデアルが重複なく分解

不分岐素数 $p$ に対し、 $p ∣ (p)$ となる各素イデアル $p$ にはフロベニウス元という自己同型が付随します。これは $O_{K} / p$ 上のフロベニウス自己同型 $x \mapsto x^{p}$ を持ち上げたものです。

ガロア拡大ではフロベニウス元が分解の仕方を決定し、密度定理やアルティン相互法則につながります。