分岐する素数は判別式の約数しかない - 冪零元と覆いの折り目

$\mathbb{Z}[i]$ で素数を分けていくと、$2$ だけが特別です。$(2)=(1+i{)}^2$ となり、同じ素イデアルが $2$ 回現れる^[1]。

ほかの素数は重なりません。$5=(2+i)(2-i)$ のように相異なる因子に分かれるか、$3$ のように分かれないままです。この重なりを分岐と呼びます。

重なりは剰余環に現れる

$(p)={\mathfrak{p}}_1^{e_1}\cdots {\mathfrak{p}}_g^{e_g}$ と分けたとき、どれかの $e_i$ が $2$ 以上なら $p$ は $K$ で分岐する。全部 $1$ なら不分岐です^[1]。

指数を数えずに判定する方法があります。中国剰余定理で ${\mathcal{O}}_K/(p)\cong \prod {\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i^{e_i}$ と分けて、その中身を見る^[1]。

$e_i\ge 2$ なら ${\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i^{e_i}$ に $0$ でない冪零元が出ます。${\mathfrak{p}}_i$ に入って ${\mathfrak{p}}_i^{e_i}$ に入らない元をとれば、$e_i$ 乗して $0$ になる。

$e_i$ が全部 $1$ なら、${\mathcal{O}}_K/(p)$ は有限体の直積です。体の直積に冪零元はありません。

判別式が答えを持っている

分岐する素数の一覧は、判別式を素因数分解するだけで出ます。$p$ が $K$ で分岐することと $p\mid \mathrm{disc}({\mathcal{O}}_K)$ は同値です^[1]。

デデキント自身の記録によれば、この結果を最初に発表したのは 1871 年 9 月 20 日でした^[1]。

判別式は $0$ でない整数なので、素因数は有限個。分岐する素数も有限個に限られます。

覆いが折り重なる点

幾何で見ると、分岐は覆いの折り目です。複素平面の写像 $z\mapsto z^2$ を考えると、$0$ 以外のどの点にも原像が $2$ つあります。

$0$ だけが例外で、原像は $z=0$ の $1$ 点。$2$ 枚が $1$ 枚に潰れているので、ここが分岐点です。

素イデアルの分岐は、この折り目の代数版です。$e_i$ は何枚が重なっているかを数えている。

例：3 次体で 2 と 3 が分岐する

$\alpha$ を $T^3-9T-6$ の根とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ とします^[1]。${\alpha }^3-9\alpha =6$ なので $6=\alpha (\alpha -3)(\alpha +3)$ と書けます。

ノルムを計算すると $N(\alpha -m)=|m^3-9m+6|$ なので、$N(\alpha )$、$N(\alpha -3)$、$N(\alpha +3)$ はどれも $6$ です^[1]。

これらを素イデアルに分けて $(6)=(2)(3)$ と突き合わせると、次が出ます^[1]。

$$(2)={\mathfrak{p}}_2^2{\mathfrak{p}}_2^{\prime },(3)={\mathfrak{p}}_3^3$$

$2$ のほうは指数が $2$ と $1$ で混ざっています。分岐といっても、上に乗る素イデアルが全部重なるとは限らない。

左では $2$ 枚重なった素イデアルと $1$ 枚だけの素イデアルが同居しています。右は $3$ 枚が $1$ か所に集まっていて、これが完全分岐です。

アイゼンシュタインなら全部重なる

$p{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}^n$ となるとき、$p$ は完全分岐すると言います^[2]。$\mathbb{Z}[i]$ の $2$ や $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の $2$ がそうです^[2]。

見分け方があります。$K=\mathbb{Q}(\alpha )$ で $\alpha$ の最小多項式が $p$ でアイゼンシュタイン、つまり定数項以外の係数が $p$ で割れて定数項が $p^2$ で割れないとき、$p$ は完全分岐します^[2]。

さきほどの $T^3-9T-6$ を $3$ で見ると、$9$ も $6$ も $3$ の倍数で、$6$ は $9$ で割れません。アイゼンシュタインの条件を満たすので $(3)={\mathfrak{p}}^3$ になる。

円分体でも同じことが起きます。$\omega ={\zeta }_{p^t}$ について $(1-\omega {)}^{\phi (p^t)}=ϵp$ が成り立ち、$p$ は完全分岐する^[5]。

緩いか激しいか

分岐の中にも段階があります。分岐指数 $e$ を $p$ が割るかどうかで分けます^[3]。

境目は具体例で見るのが早い^[3]。

不分岐な素数も緩分岐に含めます^[3]。$e=1$ なら $p$ は $e$ を割らないので、定義をそのまま当てはめれば緩い側に入る。

どこでも分岐しない拡大

$K$ の拡大 $L$ で、$K$ のすべての素イデアルが不分岐なものを不分岐拡大と呼びます。$\mathbb{Q}$ の上では、そういう拡大は $\mathbb{Q}$ 自身しかありません。判別式が $\pm 1$ より大きくなるためです。

ところが $K$ が $\mathbb{Q}$ でなければ話が変わります。$K$ 上の最大不分岐アーベル拡大をヒルベルト類体 $F$ と呼び、次が成り立つ^[4]。

$$\mathrm{Gal}(F/K)\cong {\mathrm{Cl}}_K$$

不分岐アーベル拡大が $K$ 自身しかないことと、$K$ の類数が $1$ であることは同値です^[4]。分岐しない拡大がどれだけあるかが、そのまま類群の大きさになっている。

$F$ の中では、$K$ の素イデアルが完全分解することと、それが単項であることが同値になります^[4]。しかも $K$ のどのイデアルも、$F$ へ上げると単項になる。

判別式を素因数分解する、剰余環に冪零元を探す、最小多項式のアイゼンシュタイン性を見る。同じ現象に $3$ 通りの入口があり、どれも計算で確かめられます。

参考文献