2 階線形微分方程式……独立な解を 2 つそろえれば一般解は尽きる

2 階線形微分方程式は、標準形で次のように書きます^[1]。

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)$$

$r(x)\equiv 0$ なら斉次、そうでなければ非斉次です。土台になるのは、斉次方程式の解が 2 本の解の 1 次結合で尽きるという事実^[5]。

2 本を見つければ終わり。この記事はその「2 本」をどう捉えるかの話です。

重ね合わせの原理

斉次方程式を $L[y]=y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy$ と書くと、$L$ は線形です。$L[c_1{y}_1+c_2{y}_2]=c_{1}L[y_1]+c_{2}L[y_2]$ が成り立つ。

だから $y_1$ と $y_2$ が解なら、その 1 次結合も解になる^[1]。解の集合は足し算と定数倍で閉じたベクトル空間です。

非斉次では成り立ちません。$L[y_1]=L[y_2]=r$ のとき $L[y_1+y_2]=2r$ となり、右辺が変わってしまう。

解空間はちょうど 2 次元

閉じているだけでなく、次元が正確に $2$ と決まる^[1,5]。$p$ と $q$ が連続な区間で、この主張が成り立つ。

理由は初期値問題の一意性にあります。解 $y$ に対して $(y(x_0),y^{\prime }(x_0))$ という数の組を対応させると、この対応は 1 対 1 で上へも尽くす。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ と解の集合が同じ形をしているので、次元も $2$ です。$3$ 本目の解を持ってきても、必ず前の 2 本の 1 次結合になる。

存在と一意性は区間の端まで

$p$、$q$、$r$ が区間 $I$ で連続なら、$y(x_0)=a$、$y^{\prime }(x_0)=b$ を満たす解が $I$ 全体でただ 1 つ存在します^[5]。

非線形の場合と違い、局所的な主張ではありません。解が途中で発散して消えることがない。

線形であることの見返りがここに現れる。区間を切るのは、標準形にしたときの係数の不連続だけ。

1 次独立と基本解系

$c_1{y}_1+c_2{y}_2\equiv 0$ が $c_1=c_2=0$ でしか起こらないとき、$y_1$ と $y_2$ は 1 次独立です。

1 次独立な解を 2 本そろえたものを基本解系という^[5]。解空間の基底にあたる。

$y_2$ が $y_1$ の定数倍なら独立ではありません。$e^{2x}$ と $3e^{2x}$ を並べても、解を 2 種類そろえたことにならない。

ロンスキー行列式

独立かどうかを行列式で判定します。2 つの関数に対して次を定めたものがロンスキー行列式^[2]。

$$W(y_1,y_2)(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$$

$(y_1,y_1^{\prime })$ と $(y_2,y_2^{\prime })$ という 2 本のベクトルが張る平行四辺形の、符号つき面積です。平行なら $0$、そうでなければ $0$ でない。

同じ斉次方程式の解であれば、ある 1 点で $W\ne 0$ が言えれば、それだけで 1 次独立が従う^[3]。

アーベルの公式

ロンスキー行列式そのものが、簡単な微分方程式を満たす^[4]。

$$W^{\prime }(x)=-p(x)W(x)$$

1 階線形なので解けます。積分因子を使えば次の形になる。

$$W(x)=W(x_0)\exp \left(-{\int }_{x_0}^{x}p(t)dt\right)$$

指数関数は決して $0$ にならない。したがって $W(x_0)=0$ ならどこでも $0$、$W(x_0)\ne 0$ ならどこでも $0$ でない^[3,4]。

判定を 1 点で済ませてよい根拠がこれです。計算しやすい点を選べば足りる。

例：ロンスキー行列式を計算する

$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$ の解 $y_1=e^{2x}$、$y_2=e^{-x}$ について計算します。

$$W=e^{2x}(-e^{-x})-2e^{2x}\cdot e^{-x}=-3e^x$$

どの $x$ でも $0$ にならない。1 次独立で、この 2 本が基本解系です。

アーベルの公式でも確かめられる。$p=-1$ なので $W=W(0)e^x$ となり、$W(0)=-3$ から $-3e^x$。計算が一致する。

解でない関数には反例がある

「$W\equiv 0$ なら 1 次従属」は、一般の関数については誤りです^[2,7]。有名な反例がある。

$f(x)=x^2$ と $g(x)=x|x|$ を並べます。$x>0$ では両方 $x^2$、$x<0$ では $g=-x^2$。

どちらも 1 回微分できて、$W$ を計算すると全域で $0$ になる。それでも $c_{1}f+c_{2}g\equiv 0$ を原点をまたぐ区間で満たすのは $c_1=c_2=0$ だけなので、1 次独立です。

反例が解にならない理由

この 2 つが同じ 2 階線形方程式の解になることはない^[2]。解であればアーベルの公式が効き、$W\equiv 0$ から 1 次従属が従うためです。

裏を返すと、$W$ による判定を安心して使えるのは解に限った話。任意の関数の組に持ち込むと足をすくわれる。

判定の向きも整理しておきます。$W(x_0)\ne 0$ なら 1 次独立、これは一般の関数でも正しい。逆向きだけが解に限られる。

階数低下法

1 本の解が見つかっているとき、そこから 2 本目を作れる^[1]。$y_2=v(x)y_1$ と置いて代入する。

$y_1$ が解であることを使うと、$v$ の項がきれいに消える。

$$v^{\prime \prime }{y}_1+v^{\prime }(2y_1^{\prime }+p{y}_1)=0$$

$w=v^{\prime }$ と置けば 1 階になる。変数分離で解けます。

$$w=\frac{1}{y_1^2}\exp \left(-\int pdx\right)$$

$v=\int wdx$ を求めて $y_2=v{y}_1$ とすれば完成。2 階の問題が 1 階に落ちるので、階数低下法と呼ばれる。

例：階数低下法で 2 本目を作る

$y^{\prime \prime }-\frac{2}{x}{y}^{\prime }+\frac{2}{x^2}y=0$ には $y_1=x$ という解があります。代入すれば確かめられる。

$p=-\frac{2}{x}$ なので $\exp \left(-\int pdx\right)=\exp (2\log x)=x^2$ です。

$$w=\frac{1}{x^2}\cdot x^2=1$$

$v=x$ となり、2 本目は $y_2=x\cdot x=x^2$。ロンスキー行列式は $x\cdot 2x-1\cdot x^2=x^2$ で、$x\ne 0$ では $0$ にならない。

非斉次は特殊解を 1 つ足すだけ

非斉次方程式の解は、特殊解 1 つと斉次方程式の一般解の和で尽きる^[5,6]。

$$y=y_p+c_1{y}_1+c_2{y}_2$$

$y$ と $y_p$ がどちらも $L[y]=r$ を満たすなら、差 $y-y_p$ は $L$ で $0$ に飛ぶ。つまり斉次解。

したがって非斉次を解く仕事は、基本解系を求めることと、特殊解を 1 つ見つけることの 2 つに分かれる。

右辺が和のときは分けて解ける

$r=r_1+r_2$ のように右辺が分かれるなら、それぞれの特殊解を足せば全体の特殊解になる^[5]。

$L[u_1]=r_1$、$L[u_2]=r_2$ のとき $L[u_1+u_2]=r_1+r_2$ です。線形性がここでも効いている。

右辺が $e^x+\sin 2x$ のような形なら、指数の部分と三角関数の部分を別々に片付けられる。

問題 1：解であることと独立性

$y_1=e^{3x}$、$y_2=e^{-2x}$ が $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$ の解であることを確かめ、基本解系になるかを判定せよ。

解答 1

$y_1$ では $y_1^{\prime \prime }-y_1^{\prime }-6y_1=(9-3-6)e^{3x}=0$ です。$y_2$ では $(4+2-6)e^{-2x}=0$。

ロンスキー行列式を計算します。

$$W=e^{3x}(-2e^{-2x})-3e^{3x}{e}^{-2x}=-5e^x$$

$0$ にならないので 1 次独立で、基本解系です。一般解は $y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{-2x}$ になる。

問題 2：初期値を当てる

問題 1 の方程式で、$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=8$ を満たす解を求めよ。

解答 2

$y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{-2x}$ とすると $y^{\prime }=3c_1{e}^{3x}-2c_2{e}^{-2x}$ です。

$x=0$ を代入して連立します。

$$\begin{array}{rl}{c}_1+c_2& =1\\ 3c_1-2c_2& =8\end{array}$$

解くと $c_1=2$、$c_2=-1$ になる。

$$y=2e^{3x}-e^{-2x}$$

係数行列の行列式が $W(0)=-5$ で $0$ でないから、この連立はいつでも解ける。基本解系であることが、初期条件を必ず満たせることを保証している。

問題 3：アーベルの公式を使う

$y^{\prime \prime }+\frac{1}{x}{y}^{\prime }-y=0$ の 2 つの解のロンスキー行列式を、解そのものを求めずに書け。

解答 3

$p=\frac{1}{x}$ なので、アーベルの公式に入れます。

$$W(x)=W(x_0)\exp \left(-{\int }_{x_0}^x\frac{dt}{t}\right)=W(x_0)\cdot \frac{x_0}{x}$$

$W=\frac{K}{x}$ の形です。解が初等関数で書けなくても、ロンスキー行列式だけは分かる。

$x>0$ の範囲で $W$ は $0$ にならない。この区間では、2 本の解が独立なら独立のままです。

問題 4：階数低下法

$x^2{y}^{\prime \prime }-3x{y}^{\prime }+4y=0$ には $y_1=x^2$ という解がある。2 本目を求めよ。

解答 4

標準形へ直すと $y^{\prime \prime }-\frac{3}{x}{y}^{\prime }+\frac{4}{x^2}y=0$ です。$p=-\frac{3}{x}$。

$$\exp \left(-\int pdx\right)=\exp (3\log x)=x^3$$

したがって $w=\frac{x^3}{x^4}=\frac{1}{x}$ となり、$v=\log x$ です。

$$y_2=x^2\log x$$

一般解は $y=c_1{x}^2+c_2{x}^2\log x$ になる。重解のときに $\log$ が出てくる仕組みが、ここに見えている。

問題 5：非斉次の構造

$y^{\prime \prime }-y=2$ の一般解を求めよ。

解答 5

右辺が定数なので、特殊解も定数と見当を付けます。$y_p=a$ と置くと $-a=2$ で $a=-2$。

斉次方程式 $y^{\prime \prime }-y=0$ の解は $e^x$ と $e^{-x}$ です。ロンスキー行列式は $-2$ で $0$ にならない。

$$y=-2+c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}$$

特殊解 1 つと基本解系 2 本、これで解が尽きています。

問題 6：右辺を分けて解く

$y^{\prime \prime }-y=2+4e^{2x}$ の一般解を求めよ。

解答 6

右辺を $2$ と $4e^{2x}$ に分けます。前半の特殊解は問題 5 で求めた $-2$。

後半は $y=a{e}^{2x}$ と置くと $4a-a=4$ から $a=\frac{4}{3}$ です。

$$y=-2+\frac{4}{3}{e}^{2x}+c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}$$

2 つの特殊解を足したものが、和の右辺に対する特殊解になっている。

問題 7：独立性の判定を誤らない

$f(x)=x$ と $g(x)=|x|$ について、区間 $(-1,1)$ でのロンスキー行列式と 1 次独立性を調べよ。

解答 7

$x>0$ では $g=x$ なので $W=x\cdot 1-1\cdot x=0$。$x<0$ では $g=-x$ で $W=x(-1)-1(-x)=0$ です。

$x=0$ では $g$ が微分できないため、$W$ が定義されません。定義される範囲では $W\equiv 0$。

それでも $c_{1}x+c_2|x|\equiv 0$ を $(-1,1)$ で満たすのは $c_1=c_2=0$ だけなので、1 次独立です。

この 2 つが同じ 2 階線形方程式の解になることはありません。$g$ が原点で微分できず、$p$ と $q$ が連続という前提から外れる。

よくある誤り

参考文献