2階線形微分方程式の基礎

2階線形微分方程式は、物理学で最も頻繁に現れる方程式の一つです。振動、波動、電気回路など、自然界の多くの現象がこの形で記述されます。ここでは基本的な概念と解の構造を学びます。

2階線形微分方程式の標準形

$y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x)$

$y$ とその導関数 $y^{'}$ , $y^{''}$ が1次式として現れています。 $R (x) = 0$ のとき同次（斉次）、 $R (x) \neq = 0$ のとき非同次と呼びます。

同次方程式

$y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$

について、重要な性質があります。

重ね合わせの原理

$y_{1}$ と $y_{2}$ が解ならば、 $c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ （ $c_{1}$ , $c_{2}$ は定数）も解です。

解空間の次元

同次2階線形微分方程式の解全体は2次元ベクトル空間をなします。つまり、2つの独立な解があれば、すべての解はその線形結合で表せます。

2つの解 $y_{1}$ , $y_{2}$ が線形独立であるとは、 $c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} = 0$ （恒等的に）が成り立つのは $c_{1} = c_{2} = 0$ のときのみ、という条件です。

線形独立な2つの解を基本解といい、一般解は

$y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$

と書けます。

$y_{1}$ , $y_{2}$ の線形独立性は、ロンスキアン（Wronskian）で判定できます。

$W (y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{1}^{'} y_{2} y_{2}^{'} = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}$

$W \neq = 0$ ならば $y_{1}$ , $y_{2}$ は線形独立です。

たとえば $y_{1} = e^{x}$ , $y_{2} = e^{- x}$ のとき、

$W = e^{x} \cdot (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot e^{x} = - 1 - 1 = - 2 \neq = 0$

なので線形独立です。

非同次方程式 $y^{''} + P y^{'} + Q y = R$ の一般解は、

$y = y_{h} + y_{p}$

の形になります。ここで $y_{h}$ は対応する同次方程式の一般解、 $y_{p}$ は非同次方程式の特殊解（1つだけ見つければよい）です。

同次の一般解

y_{h}

$y_{h} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ 。2つの任意定数を含む。

非同次の一般解

$y = y_{h} + y_{p}$ 。特殊解 $y_{p}$ を1つ加えるだけでよい。

2階方程式では、 $y (x_{0}) = y_{0}$ と $y^{'} (x_{0}) = y_{0}^{'}$ の2つの初期条件で解が一意に定まります。これは一般解が2つの任意定数をもつことと対応しています。

2階線形微分方程式の解法は、まず同次方程式で2つの独立な解を見つけ、必要に応じて特殊解を加えるという流れになります。次章以降で、定数係数の場合の具体的な解法を学びます。