クレローの微分方程式

クレローの微分方程式は、 $y = x y^{'} + f (y^{'})$ という特殊な形をもつ方程式です。一般解として直線群が得られ、さらに特異解として包絡線が現れるという興味深い構造をもっています。

クレロー方程式の形

$y = x y^{'} + f (y^{'})$

または $p = y^{'}$ と置いて、

$y = x p + f (p)$

と書きます。 $y$ が $x$ と $y^{'}$ の1次式に、 $y^{'}$ だけの関数 $f$ が加わった形です。

両辺を $x$ で微分します。

$y^{'} = p + x \frac{d p}{d x} + f^{'} (p) \frac{d p}{d x}$

$y^{'} = p$ なので、

$p = p + (x + f^{'} (p)) \frac{d p}{d x}$

整理すると、

$(x + f^{'} (p)) \frac{d p}{d x} = 0$

したがって、 $\frac{d p}{d x} = 0$ または $x + f^{'} (p) = 0$ です。

$\frac{d p}{d x} = 0$ の場合、 $p = c$ （定数）となり、元の方程式に代入すると、

$y = c x + f (c)$

これが一般解で、傾き $c$ の直線族を表します。

$x + f^{'} (p) = 0$ の場合、 $x = - f^{'} (p)$ と $y = x p + f (p)$ を連立させます。 $p$ をパラメータとして、

${x = - f^{'} (p) y = - p f^{'} (p) + f (p)$

ここから $p$ を消去すると、特異解が得られます。この曲線は一般解である直線群の包絡線になっています。

一般解

$y = c x + f (c)$ の形の直線群。任意定数 $c$ を含む。

特異解

直線群の包絡線。一般解に含まれないが、各点で一般解のいずれかと接する。

$y = x y^{'} + (y^{'})^{2}$

$f (p) = p^{2}$ の場合です。

一般解は $y = c x + c^{2}$ （ $c$ を含む直線群）。

特異解は $x = - f^{'} (p) = - 2 p$ より $p = - x /2$ 。 $y = x p + p^{2}$ に代入すると、

$y = x \cdot (- \frac{x}{2}) + (- \frac{x}{2})^{2} = - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{2}}{4} = - \frac{x ^{2}}{4}$

つまり $y = - \frac{x ^{2}}{4}$ が特異解です。これは放物線で、直線群 $y = c x + c^{2}$ の包絡線になっています。

一般解の直線群は、ある曲線（特異解）に接する接線の全体を表していると解釈できます。逆に、与えられた曲線のすべての接線を表す微分方程式を作ると、クレロー型になります。

特異解の特徴

特異解は一般解から定数 $c$ を特定の値に取って得られるものではありません。それにもかかわらず、元の微分方程式を満たす真の解です。

包絡線の計算

一般解 $F (x, y, c) = 0$ について、 $F = 0$ と $\frac{\partial F}{\partial c} = 0$ から $c$ を消去すると包絡線が得られます。

クレローの微分方程式は、微分方程式の解の構造として「一般解」と「特異解」が共存しうることを示す代表的な例です。