直線をぜんぶ引くと曲線が残る - クレローの微分方程式と特異解

$y=x{y}^{\prime }+(y^{\prime }{)}^2$ の一般解は $y=cx+c^2$ です。傾きの違う直線が並んだだけのもの。

ところが $y=-\frac{x^2}{4}$ という放物線も、この方程式を満たします。$c$ にどんな数を入れても出てこない解です。

直線の族と、その族すべてに接する曲線。クレローの微分方程式では、この 2 つが同時に解になります^[1]。

直線が並ぶ形

$p=y^{\prime }$ と置きます。クレローの微分方程式は次の形です^[2]。

$$y=xp+f(p)$$

$x$ に掛かるのが $p$ そのもので、残りは $p$ だけの関数 $f$。$x$ と $y$ が絡み合う項がありません。

$p$ を定数 $c$ に固定すると $y=cx+f(c)$ になり、傾き $c$ で切片 $f(c)$ の直線。$f$ は傾きから切片を決める規則を持っているだけです。

微分すると 2 つに割れる

両辺を $x$ で微分します。左辺は $y^{\prime }=p$、右辺は積の微分と合成関数の微分で次のようになる。

$$p=p+x\frac{dp}{dx}+f^{\prime }(p)\frac{dp}{dx}$$

両辺から $p$ が消えて、残るのは 1 つの積です。

$$(x+f^{\prime }(p))\frac{dp}{dx}=0$$

積が $0$ なので、どちらかの因子が $0$ になる。この分岐がそのまま解の 2 系統に対応します^[3]。

どちらも捨てられません。片方だけを解と呼ぶと、方程式を満たす関数をとりこぼします。

一般解

$\frac{dp}{dx}=0$ なら $p=c$ です。もとの式に戻すと $y=cx+f(c)$ になる。

確かめは代入だけで済みます。$y^{\prime }=c$ なので右辺は $xc+f(c)$ となり、左辺と一致する。

任意定数を 1 つ含んでいるので、1 階の方程式の一般解として過不足がありません^[2]。

直線は 1 本ずつ独立に引かれているのに、下側だけがきれいに縁どられます。この縁が、もう一方の解です。

特異解

$x+f^{\prime }(p)=0$ のほうを見ます。$p$ を残したまま、$x$ と $y$ を $p$ で表す。

$$x=-f^{\prime }(p),y=-p{f}^{\prime }(p)+f(p)$$

$y$ は、もとの式 $y=xp+f(p)$ に $x=-f^{\prime }(p)$ を入れただけ。$p$ をパラメータとする曲線が 1 本決まります。

これが特異解です。$c$ に値を入れて作れる解ではありません^[1]。

特異解が本当に解であること

パラメータ表示から傾きを計算します。$p$ で微分すると次のようになる。

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{dp}& =-f^{\prime \prime }(p)\\ \frac{dy}{dp}& =f^{\prime }(p)-f^{\prime }(p)-p{f}^{\prime \prime }(p)=-p{f}^{\prime \prime }(p)\end{array}$$

$f^{\prime \prime }(p)\ne 0$ なら、割り算ができます。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dp}{dx/dp}=\frac{-p{f}^{\prime \prime }(p)}{-f^{\prime \prime }(p)}=p$$

この曲線の上では、傾きがちょうどパラメータ $p$ に等しい。あとは代入するだけです。

$$xp+f(p)=-p{f}^{\prime }(p)+f(p)=y$$

もとの方程式に戻りました。$f^{\prime \prime }\ne 0$ が効いたのは、割り算の 1 か所だけ。

包絡線として見る

曲線族 $F(x,y,c)=0$ の包絡線は、$F=0$ と $\frac{\partial F}{\partial c}=0$ から $c$ を消して求めます^[4]。

一般解を $F=cx+f(c)-y=0$ と書けば、$c$ での偏微分は次のとおり。

$$\frac{\partial F}{\partial c}=x+f^{\prime }(c)=0$$

さきほど出た $x+f^{\prime }(p)=0$ と同じ式です。特異解は直線族の包絡線にほかなりません。

包絡線の各点には、そこで接する直線が 1 本あります。だから同じ点を 2 つの解が通る。

例：$f(p)=p^2$

$$y=x{y}^{\prime }+(y^{\prime }{)}^2$$

一般解は $y=cx+c^2$。特異解は $f^{\prime }(p)=2p$ から $x=-2p$、つまり $p=-\frac{x}{2}$ です。

$y=xp+p^2$ に入れます。

$$y=x\cdot \left(-\frac{x}{2}\right)+\frac{x^2}{4}=-\frac{x^2}{4}$$

放物線 $y=-\frac{x^2}{4}$ が特異解になりました。検算すると $y^{\prime }=-\frac{x}{2}$ で、$x{y}^{\prime }+(y^{\prime }{)}^2=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4}$。左辺に戻ります。

例：$f(p)=-p^2$

符号を変えるだけで、放物線が上下ひっくり返ります。

$y=xp-p^2$ の一般解は $y=cx-c^2$。$f^{\prime }(p)=-2p$ なので $x=2p$ です。

$p=\frac{x}{2}$ を入れて $y=\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$^[4]。今度は放物線の内側を接線が埋めます。

例：円が出てくる

$$y=xp+a\sqrt{1+p^2}(a>0)$$

$f(p)=a\sqrt{1+p^2}$ なので $f^{\prime }(p)=\frac{ap}{\sqrt{1+p^2}}$ です。

$$x=-\frac{ap}{\sqrt{1+p^2}},y=a\sqrt{1+p^2}-\frac{a{p}^2}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{a}{\sqrt{1+p^2}}$$

2 乗して足すと $p$ が消えます。

$$x^2+y^2=\frac{a^2{p}^2+a^2}{1+p^2}=a^2$$

半径 $a$ の円。一般解 $y=cx+a\sqrt{1+c^2}$ は、この円の接線を傾きごとに並べたものです。

例：はしごが描く曲線

長さ $\ell$ の棒を、両端を $x$ 軸と $y$ 軸に付けたまま滑らせます。棒が通った跡の境目は、どんな曲線か。

切片を $a$、$b$ とすると棒は $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ で、長さの条件が $a^2+b^2={\ell }^2$ です。

傾きが $p=-\frac{b}{a}$ なので $a=-\frac{b}{p}$。長さの条件に入れると $b^2\left(\frac{1}{p^2}+1\right)={\ell }^2$ から次が出ます。

$$b=\frac{\ell p}{\sqrt{1+p^2}}$$

棒の式は $y=px+b$ なので、$f(p)=\frac{\ell p}{\sqrt{1+p^2}}$ のクレロー型でした。

$f^{\prime }(p)=\frac{\ell }{(1+p^2{)}^{3/2}}$ を計算して代入します。

$$x=-\frac{\ell }{(1+p^2{)}^{3/2}},y=\frac{\ell p^3}{(1+p^2{)}^{3/2}}$$

$\frac{2}{3}$ 乗して足すと、$p$ がきれいに消えます。

$$x^{2/3}+y^{2/3}=\frac{{\ell }^{2/3}}{1+p^2}+\frac{{\ell }^{2/3}{p}^2}{1+p^2}={\ell }^{2/3}$$

アステロイドと呼ばれる曲線です。はしごを壁に立てかけて滑らせたとき、届かない隅の形がこれになります。

棒そのものが一般解の 1 本ずつ、隅を縁どる曲線が特異解です。

特異解が現れない形

$f(p)=ap+b$ と 1 次式にとると $f^{\prime \prime }=0$ になります。

一般解は $y=cx+ac+b$、つまり $y=c(x+a)+b$。どの直線も点 $(-a,b)$ を通ります。

$x+f^{\prime }(p)=x+a=0$ からは $x=-a$ しか出てこず、$y$ が決まらない。1 点に集まる束には、接する曲線がありません^[1]。

$f^{\prime \prime }$ が $0$ かどうかで、絵がここまで変わります。境目の曲線が出るか、1 点につぶれるか。

一意性が破れる場所

特異解の上に点をとると、そこを通る解が 2 つあります。包絡線そのものと、その点で接する直線。

初期値を包絡線の上に置いた問題は、解が 1 つに決まりません。ピカールの定理が使えない場所です。

方程式を $y^{\prime }$ について解くと、理由がはっきりします。$y=xp+p^2$ を $p$ の 2 次方程式と見ると次のとおり。

$$p=\frac{-x\pm \sqrt{x^2+4y}}{2}$$

根号の中が $0$ になるのは $x^2+4y=0$、つまり $y=-\frac{x^2}{4}$ です。特異解と一致しました。

2 つの枝がここでくっつくので、右辺は $y$ について微分できなくなる。リプシッツ条件が壊れます^[1]。

逆に作る

曲線が先にあるとき、その接線全体を表す方程式はクレロー型になります^[1]。

放物線 $y=x^2$ の点 $(t,t^2)$ での接線は $y=2tx-t^2$。傾きを $p=2t$ と書けば $t=\frac{p}{2}$ です。

代入して $y=px-\frac{p^2}{4}$。$f(p)=-\frac{p^2}{4}$ のクレロー方程式でした。

特異解を計算すると $f^{\prime }(p)=-\frac{p}{2}$ から $x=\frac{p}{2}$、$p=2x$ となり、$y=2x^2-x^2=x^2$。もとの放物線に戻ります。

例：解を全部書き出す

$$y=x{y}^{\prime }+\frac{1}{y^{\prime }}$$

$f(p)=\frac{1}{p}$、$f^{\prime }(p)=-\frac{1}{p^2}$ です。一般解は $y=cx+\frac{1}{c}$（$c\ne 0$）。

$x=\frac{1}{p^2}$ から $p=\frac{1}{\sqrt{x}}$ とすると、$x>0$ の範囲で次が出ます。

$$y=x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}$$

特異解は $y=2\sqrt{x}$、つまり $y^2=4x$ の上半分です。$p$ の符号を負にとれば下半分も出ます。

$f$ の形が変わると特異解の姿も変わりますが、手順は 4 例とも同じでした。

検算のしかた

特異解を得たら、必ずもとの方程式に入れ直します。パラメータを消す途中で符号を落としやすいためです。

$y=-\frac{x^2}{4}$ なら $y^{\prime }=-\frac{x}{2}$ を作り、$x{y}^{\prime }+(y^{\prime }{)}^2$ を計算して $y$ に戻るかを見る。

接することも確かめられます。特異解の点 $(x_0,y_0)$ での傾きを $c$ とし、直線 $y=cx+f(c)$ がその点を通るかどうか。通れば包絡線です。

直線族を書き、その境目を探す。クレロー方程式の解き方は、この 2 段だけです。

参考文献