二次体の整数環｜代数的整数論

二次体は最も単純な非自明な数体であり、代数的整数論の具体例として重要です。その整数環の構造を詳しく調べます。

二次体の定義

$d$ を平方因子を持たない整数（ $d \neq = 0, 1$ ）とします。二次体は $K = Q (d) = {a + b d ∣ a, b \in Q}$ で定義されます。

実二次体

$d > 0$ のとき。 $K$ は $R$ の部分体。

虚二次体

$d < 0$ のとき。 $K$ は $C$ の部分体（ $R$ には含まれない）。

$K$ の $Q$ 上の次数は $2$ で、埋め込みは $d \mapsto d$ と $d \mapsto - d$ の2つです。

整数環の決定

$α = a + b d$ （ $a, b \in Q$ ）が代数的整数であるための条件を求めます。 $α$ の最小多項式は $x^{2} - 2 a x + (a^{2} - d b^{2})$ です（ $b \neq = 0$ のとき）。これがモニックな整数係数多項式であるためには、

$Tr (α) = 2 a \in Z, N (α) = a^{2} - d b^{2} \in Z$

が必要十分です。 $2 a \in Z$ より $a = \frac{m}{2}$ と書けます。 $a^{2} - d b^{2} \in Z$ に代入すると $\frac{m ^{2} - 4 d b ^{2}}{4} \in Z$ となり、 $m^{2} - 4 d b^{2} \equiv 0 (mod 4)$ が必要です。

$d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき、これを満たすには $m, 2 b$ がともに整数、すなわち $a, b \in Z$ でなければなりません。

$d \equiv 1 (mod 4)$ のとき、 $m$ と $2 b$ の偶奇が一致すれば条件を満たします。特に $a = b = \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1 + d}{2}$ は代数的整数です。

結論

$d \equiv 2, 3 (mod 4)$	$O_{K} = Z [d] = {a + b d ∣ a, b \in Z}$
$d \equiv 1 (mod 4)$	$O_{K} = Z [ω]$ （ $ω = \frac{1 + d}{2}$ ）

後者の場合、 $ω$ は $x^{2} - x - \frac{d - 1}{4} = 0$ を満たします。 $d \equiv 1 (mod 4)$ なので $\frac{d - 1}{4}$ は整数であり、これはモニックな整数係数多項式です。

具体例

いくつかの二次体の整数環を列挙します。

Q (2)

$d = 2 \equiv 2 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [2]$ 。判別式は $8$ 。

Q (5)

$d = 5 \equiv 1 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [\frac{1 + 5}{2}]$ 。判別式は $5$ 。

Q (i)

（ガウス整数）

$d = - 1 \equiv 3 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [i]$ 。判別式は $- 4$ 。

Q (- 3)

（アイゼンシュタイン整数）

$d = - 3 \equiv 1 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [\frac{1 + - 3}{2}] = Z [ω]$ （ $ω = e^{2 πi /3}$ ）。判別式は $- 3$ 。

注意点

$Z [d]$ と $O_{K}$ が一致するかどうかは $d mod 4$ で決まります。 $d \equiv 1 (mod 4)$ のとき $Z [d]$ は整数環より真に小さく、これを見落とすと計算を間違えます。

また、 $d$ に平方因子があると話が変わります。例えば $Q (12) = Q (3)$ なので、 $d = 12$ ではなく $d = 3$ として考える必要があります。