数体と整数環｜代数的整数論

代数的整数論では、有理数体 $\mathbb{Q}$ を拡大した体（数体）と、その中で「整数」の役割を果たす環（整数環）を研究します。

数体の定義

数体とは、有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限次拡大のことです。つまり $\mathbb{Q}$ を含む体 $K$ で、$\mathbb{Q}$-ベクトル空間として有限次元であるものを指します。

[K : \mathbb{Q}] = \dim_{\mathbb{Q}} K < \infty

この次元 $[K:\mathbb{Q}]$ を $K$ の次数と呼びます。

数体の例

最も基本的な例は二次体です。$d$ を平方因子を持たない整数（$d\ne 1$）とするとき、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ は次数 $2$ の数体になります。

より高い次数の例として円分体があります。${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ とすると、$\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ は次数 $\phi (n)$（オイラー関数）の数体です。

整数環の定義

数体 $K$ に対し、$K$ の元で代数的整数であるものの全体を $K$ の整数環と呼び、${\mathcal{O}}_K$ と書きます。

$${\mathcal{O}}_K=K\cap \overline{\mathbb{Z}}$$

${\mathcal{O}}_K$ は環をなし、$K$ はその商体になります。$K=\mathbb{Q}$ のときは ${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$ です。

整数環の構造

整数環 ${\mathcal{O}}_K$ は $\mathbb{Z}$-加群として有限生成であり、その階数は $[K:\mathbb{Q}]$ に等しくなります。つまり ${\mathcal{O}}_K$ は $\mathbb{Z}$-基底を持ちます。

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の例が示すように、整数環は必ずしも $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ とは一致しません。$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき、$\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ も代数的整数になるためです。

二次体の整数環の完全な記述

$d$ を平方因子を持たない整数とするとき、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の整数環は次のようになります。

後者の場合、$\omega =\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ は $x^2-x-\frac{d-1}{4}=0$ の根であり、$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のとき $\frac{d-1}{4}$ は整数なので確かにモニックな整数係数多項式の根になっています。

整数環の重要性

整数環 ${\mathcal{O}}_K$ は、通常の整数 $\mathbb{Z}$ の自然な一般化です。$\mathbb{Z}$ で成り立つ多くの性質（素元分解、合同式など）を ${\mathcal{O}}_K$ の文脈で再考することが代数的整数論の出発点となります。