素イデアル分解 - 代数的整数論

有理素数 $p$ を数体 $K$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ で考えると、イデアル $(p)$ は素イデアルの積に分解します。この分解の仕方は $p$ と $K$ の関係を反映しています。

分解の基本形

$K$ を次数 $n$ の数体とします。有理素数 $p$ に対し、${\mathcal{O}}_K$ 内のイデアル $(p)=p{\mathcal{O}}_K$ は

$$(p)={\mathfrak{p}}_1^{e_1}{\mathfrak{p}}_2^{e_2}\cdots {\mathfrak{p}}_g^{e_g}$$

と素イデアル分解されます。$e_i$ を分岐指数、$f_i=[{\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{p}}_i:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$ を剰余次数と呼びます。

基本的な関係式として ${\sum }_{i=1}^g{e}_i{f}_i=n$ が成り立ちます。

分解のタイプ

分解の仕方によって素数を分類できます。

分岐する素数は判別式の約数に限られます。これ以外の素数は「不分岐」と呼ばれ、分岐指数はすべて $1$ です。

二次体での分解則

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の場合、素数 $p$ の分解は次のようになります。

ここで $\left(\frac{\cdot }{\cdot }\right)$ はルジャンドル記号です。判別式と二次剰余の関係が分解則を支配しています。

円分体での分解則

$K=\mathbb{Q}({\zeta }_p)$（$p$ は奇素数）の場合、素数 $q\ne p$ の分解は $q$ の $p$ を法とする位数で決まります。

$f$ を $q\mathrm{mod}p$ の位数（$q^f\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ となる最小の $f$）とすると、

$$(q)={\mathfrak{q}}_1\cdots {\mathfrak{q}}_g,g=\frac{p-1}{f}$$

各素イデアルの剰余次数は $f$ です。特に $q$ が $p$ を法とする原始根なら $f=p-1$、$g=1$ となり不分解です。

Kummer の補題

$K$ が体 $L$ の生成元 $\theta$（$L=K(\theta )$）の最小多項式 $f(x)$ で得られるとき、分解の計算に役立つ定理があります。

$p$ が $[{\mathcal{O}}_L:\mathbb{Z}[\theta ]]$ を割り切らないならば、$(p)$ の ${\mathcal{O}}_L$ での分解は $f(x)\mathrm{mod}p$ の因数分解と対応します。

$$f(x)\equiv {\bar{f}}_1(x{)}^{e_1}\cdots {\bar{f}}_g(x{)}^{e_g}(\mathrm{mod}p)$$

ならば $(p)={\mathfrak{p}}_1^{e_1}\cdots {\mathfrak{p}}_g^{e_g}$ であり、${\mathfrak{p}}_i=(p,f_i(\theta ))$ です。

この定理により、素イデアル分解は ${\mathbb{F}}_p$ 上の多項式の因数分解に帰着されます。