判別式ひとつ計算すれば数体で分岐する素数が全部わかる

二次方程式の判別式 $b^2-4ac$ は、根が重なるかどうかを係数だけで言い当てます。数体の判別式も役目は同じで、素数が重なるかどうか、つまりどの素数が分岐するかを $1$ つの整数に畳み込む。

しかも情報は分岐だけにとどまりません。整数環を格子と見たときの体積、類数の評価、$4$ で割った余りの制限まで、判別式から出てきます。

定義は行列式の 2 乗

$K$ を $n$ 次の数体、${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ を整数環 ${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 基底とします。$K$ から代数閉包への埋め込みを ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ と書く。

判別式は埋め込みを並べた行列の行列式を $2$ 乗したものです^[1]。

$$d_K=\det ({\sigma }_i({\omega }_j){)}^2$$

$2$ 乗する理由は、埋め込みの並べ方で符号が変わるためです。行を入れ替えると行列式の符号が反転しますが、$2$ 乗すれば消える。

計算するときはトレースを使う形のほうが楽です。$({\sigma }_i({\omega }_j))$ を転置と掛け合わせると、$(i,j)$ 成分が ${\sum }_k{\sigma }_k({\omega }_i){\sigma }_k({\omega }_j)=\mathrm{Tr}({\omega }_i{\omega }_j)$ になります。

$$d_K=\det (\mathrm{Tr}({\omega }_i{\omega }_j))$$

こちらは有理数の行列なので、手で計算できます。

基底を変えても動かない

整数環の基底のとり方はいくつもあります。それでも判別式は変わりません。

$2$ つの基底を $\omega$ と ${\omega }^{\prime }$ とすると、${\omega }^{\prime }=P\omega$ となる整数行列 $P$ があります。逆向きにも整数行列があるので $P$ は ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$ の元、つまり $\det P=\pm 1$。

埋め込みの行列は $P$ 倍されるので、行列式は $\det P$ 倍。$2$ 乗した判別式は $(\det P{)}^2=1$ 倍になり、値が動きません。基底に依存しない量として $d_K$ が定まります。

例：二次体を最後まで計算する

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$、$d$ は平方因子を持たない整数とします。埋め込みは $\sqrt{d}\mapsto \sqrt{d}$ と $\sqrt{d}\mapsto -\sqrt{d}$ の $2$ つ。

$d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$ のとき、整数環の基底は $\{1,\sqrt{d}\}$ です^[2]。トレースは $\mathrm{Tr}(1)=2$、$\mathrm{Tr}(\sqrt{d})=0$、$\mathrm{Tr}(d)=2d$ なので、

$$d_K=\det \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2d\end{array}\right)=4d$$

$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のときは基底が $\left\{1,\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right\}$ に変わります^[2]。${\left(\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right)}^2=\frac{1+d}{4}+\frac{\sqrt{d}}{2}$ なので、そのトレースは $\frac{1+d}{2}$ です。

$$d_K=\det \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& \frac{1+d}{2}\end{array}\right)=(1+d)-1=d$$

基底が半分に縮んだぶん、判別式が $\frac{1}{4}$ になった、と読めます。

格子の体積として見る

虚二次体では、整数環を複素平面の格子として描けます。このとき基本領域の面積が $\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}$ になる。

$\mathbb{Z}[i]$ の網目は $1$ 辺 $1$ の正方形なので面積 $1$、公式のほうも $\frac{\sqrt{4}}{2}=1$ です。$\mathbb{Z}[\omega ]$ は底辺 $1$、高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ で面積 $\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は底辺 $1$、高さ $\sqrt{5}$ で面積 $\sqrt{5}$。どちらも $\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}$ と一致します。

判別式が大きいほど格子が粗い。粗い格子には小さいノルムの元が少なく、そのぶん類数が大きくなりやすい、という見通しがここから立ちます。

円分体の判別式

$K_n=\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ の次数は $\phi (n)$ で、整数環の基底は $1,{\zeta }_n,\dots ,{\zeta }_n^{\phi (n)-1}$ です^[3]。

素数べきの場合、判別式は $\pm p^{p^{t-1}(pt-t-1)}$ という形になります^[3]。$t=1$ を代入すると指数が $p-2$ に落ち、符号を決めれば次の式です。

$$d_{\mathbb{Q}({\zeta }_p)}=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}{p}^{p-2}$$

$p=5$ なら $5^3=125$、$p=7$ なら $-7^5=-16807$。$p=3$ では $-3^1=-3$ になり、$\mathbb{Q}({\zeta }_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の判別式 $-3$ と一致します。

分岐する素数はここに全部いる

判別式がいちばん強く効くのがこの定理です。素数 $p$ が $K$ で分岐することと、$p\mid d_K$ であることが同値になります^[1]。

$d_K$ を素因数分解すれば、分岐する素数の一覧がそのまま出る。$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ なら $d_K=-20=-2^2\cdot 5$ なので、分岐するのは $2$ と $5$ だけです。

分岐は本来、素イデアル分解を計算しないと見えない現象です。それを $1$ つの整数の約数の問題に置き換えたところに、この不変量の価値があります。

4 で割った余りは 0 か 1

判別式には形の制限もあります。どの数体でも $d_K\equiv 0$ または $1(\mathrm{mod}4)$ になる。シュティッケルベルガーの判別式定理と呼ばれます^[4]。

古典的な証明が短くて気持ちいい。行列式 $\det ({\sigma }_i({\omega }_j))$ を、偶置換から来る項の和 $P$ と奇置換から来る項の和 $N$ に分けます。行列式は $P-N$ なので、

$$d_K=(P-N{)}^2=(P+N{)}^2-4PN$$

と書き直せる^[4]。$P+N$ と $PN$ は置換で動かない対称式なので有理数、しかも代数的整数なので有理整数です。

整数の $2$ 乗を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ しかありません。$4PN$ は消えるので、$d_K\equiv 0,1(\mathrm{mod}4)$ が出ます。

さきほどの表を見返すと、$-4$、$-8$、$8$、$-20$ は $4$ の倍数、$-3$、$5$、$-23$ は $4$ で割って $1$ 余ります。$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ という条件が二次体の分かれ目だったことと、きれいに対応している。

下から押さえる

判別式には下からの評価もあります。$\mathbb{Q}$ 以外の数体では $|d_K|>1$ になる^[1]。

分岐と組み合わせると、強い結論が出ます。$|d_K|>1$ なら素因数が必ずあるので、どの数体にも分岐する素数が少なくとも $1$ つ存在する。$\mathbb{Q}$ の上に、どこでも不分岐な拡大は作れません。

分岐、格子の粗さ、$4$ を法とする形。$1$ つの整数を計算するだけで、これだけの情報が同時に手に入ります。

参考文献