判別式（代数的整数論）

判別式は整数環の「複雑さ」を測る数値で、分岐の判定や類数の計算に使われる重要な不変量です。

定義

$K$ を次数 $n$ の数体とし、 $ω_{1}, \dots, ω_{n}$ を $O_{K}$ の $Z$ -基底とします。 $K$ の判別式 $d_{K}$ は

$d_{K} = det σ_{1} (ω_{1}) ⋮ σ_{n} (ω_{1}) am p; \dots am p; ⋱ am p; \dots am p; σ_{1} (ω_{n}) am p; ⋮ am p; σ_{n} (ω_{n})^{2}$

で定義されます。ここで $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ は $K$ の埋め込みです。この値は基底の取り方によらず一定であり、常に整数になります。

判別式はトレースを使って次のようにも書けます。

$d_{K} = det (Tr (ω_{i} ω_{j}))_{1 \leq i, j \leq n}$

これは行列式の計算に便利な形です。

$K = Q (d)$ （ $d$ は平方因子を持たない整数）の判別式は次のようになります。

$d \equiv 1 (mod 4)$	$d_{K} = d$
$d \equiv 2, 3 (mod 4)$	$d_{K} = 4 d$

例えば $Q (5)$ の判別式は $5$ 、 $Q (2)$ の判別式は $8$ 、 $Q (- 1)$ の判別式は $- 4$ です。

$d \equiv 1 (mod 4)$ の場合は整数環が $Z [\frac{1 + d}{2}]$ となり、判別式が $d$ になります。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ の場合は整数環が $Z [d]$ となり、判別式は $4 d$ です。

$p$ を奇素数とし、 $K = Q (ζ_{p})$ を $p$ 乗円分体とします。このとき判別式は

$d_{K} = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} p^{p - 2}$

となります。例えば $Q (ζ_{5})$ の判別式は $5^{3} = 125$ です。

判別式は素数の分岐と深く関係しています。

分岐素数の特徴付け

素数 $p$ が $K$ で分岐することと $p ∣ d_{K}$ であることは同値。

判別式の意味

$∣ d_{K} ∣$ が大きいほど整数環の構造が「複雑」であり、分岐する素数が多い。

例えば $Q (- 5)$ の判別式は $- 20 = - 4 \times 5$ なので、分岐する素数は $2$ と $5$ です。これらの素数は整数環の中で特異な振る舞いをします。

判別式は類数の評価にも現れます。Minkowski の限界は、 $|d_K| > 1$ ならば類数が有限であることを保証し、さらに類群を生成するイデアルのノルムの上界を与えます。

具体的には、すべてのイデアル類は、ノルムが

$M_{K} = \frac{n !}{n ^{n}} (\frac{4}{π})^{r_{2}} ∣ d_{K} ∣$

以下の素イデアルで生成されます。ここで $r_{2}$ は複素埋め込みの対の数です。

判別式が小さいほど、この限界は小さくなり、類数の計算が容易になります。