ラプラス変換と微分方程式

ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な手法です。特に初期値問題や、不連続な入力を含む問題に威力を発揮します。

ラプラス変換の定義

関数 $f (t)$ （ $t \geq 0$ ）のラプラス変換は、

$L {f (t)} = F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t$

で定義されます。 $t$ 領域の関数を $s$ 領域の関数に変換すると考えることができます。

ラプラス変換の最も重要な性質は、微分が代数演算に変わることです。

$L {f^{'} (t)} = s F (s) - f (0)$

$L {f^{''} (t)} = s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0)$

初期条件 $f (0)$ , $f^{'} (0)$ が自然に組み込まれるのがポイントです。

両辺にラプラス変換を施す

$Y (s) = L {y (t)}$ について解く

逆ラプラス変換で $y (t)$ を求める

$y^{''} + 4 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$

両辺をラプラス変換します。

$s^{2} Y (s) - s \cdot 1 - 0 + 4 Y (s) = 0$

$Y (s)$ について解くと、

$(s^{2} + 4) Y (s) = s$

$Y (s) = \frac{s}{s ^{2} + 4}$

変換表より、逆変換は

$y (t) = cos 2 t$

です。初期条件を満たす特殊解が直接得られました。

ラプラス変換は、ステップ関数（ヘビサイド関数）のような不連続な入力を自然に扱えます。

単位ステップ関数 $u (t - a)$ （ $t < a$ で0、 $t \geq a$ で1）のラプラス変換は

$L {u (t - a)} = \frac{e ^{- a s}}{s}$

です。スイッチのオン・オフや衝撃力を含む問題に有効です。

デルタ関数

$L {δ (t - a)} = e^{- a s}$ 。瞬間的な衝撃を表します。

畳み込み定理

$L {f * g} = F (s) G (s)$ 。積分方程式にも応用できます。

システムの入力 $X (s)$ と出力 $Y (s)$ の比

$H (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )}$

を伝達関数といいます。これはシステムの特性を $s$ 領域で表したもので、制御工学や信号処理の基礎となる概念です。

ラプラス変換は、微分方程式を機械的に解くだけでなく、システムの応答特性を分析するための強力なツールでもあります。