ラプラス変換が微分を「掛け算」に変える仕組みと初期値問題

微分方程式を代数方程式に変えてしまう道具がラプラス変換です。時刻 $t$ の関数を、複素数 $s$ の関数へ移します^[1]。

$$\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

この対応のもとで、微分は $s$ を掛ける操作に化ける。$t$ の世界では手間のかかる式が、$s$ の世界では分数式の計算になる。

どんな関数に使えるか

積分が無限まで走るので、$f$ の育ち方に条件が要ります。ある定数 $M$、$c$、$T$ について $|f(t)|\le M{e}^{ct}$ が $t>T$ で成り立つとき、$f$ は指数位数であるといいます^[5]。

区分的に連続で指数位数なら、$\mathrm{Re}s>c$ でラプラス変換が収束します^[2]。この境目 $c$ を収束軸と呼ぶ。

$t^n$ や $\sin t$ や $e^{at}$ は、どれも指数位数。いっぽう $e^{t^2}$ は、どんな指数関数よりも速く育つので当てはまらない^[5]。

例：基本の 3 つを定義から計算する

$f(t)=1$ では、指数関数の積分がそのまま出ます。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt={\left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]}_0^{\infty }=\frac{1}{s}$$

$\mathrm{Re}s>0$ で上端が $0$ に落ちます。$f(t)=e^{at}$ では指数どうしがまとまる。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-(s-a)t}dt=\frac{1}{s-a}$$

こちらは $\mathrm{Re}s>a$ で収束します。$f(t)=t$ は部分積分を 1 回して $\frac{1}{s^2}$、一般に $t^n$ で $\frac{n!}{s^{n+1}}$ になる^[5]。

微分が $s$ 倍に化ける

この変換が微分方程式に効く理由は、次の 1 本に尽きます^[2]。

$$\mathcal{L}\{f^{\prime }\}(s)=sF(s)-f(0)$$

導き方は部分積分だけ。${\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{f}^{\prime }(t)dt$ で $e^{-st}$ を微分側へ渡す。

$$[e^{-st}f(t){]}_0^{\infty }+s{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt=-f(0)+sF(s)$$

上端が $0$ に落ちるのは、$f$ が指数位数で $\mathrm{Re}s$ が十分大きいときです。微分という操作が、$s$ 倍から初期値を引くという算術に置き換わる。

2 階でも同じことを 2 回

$f^{\prime }$ の公式を $f^{\prime }$ 自身に当てれば、2 階の公式が出ます。

$$\mathcal{L}\{f^{\prime \prime }\}(s)=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$$

一般には $n$ 階で次の形になる^[3,5]。

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}\}(s)=s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0)$$

階数のぶんだけ初期値が並ぶ。$n$ 階の初期値問題に必要な条件の個数と、ぴったり一致している。

初期条件が式の中へ入る

ふつうの解き方では、一般解を書いてから初期条件を当てて定数を決めました。ラプラス変換では順序が逆になる。

変換した時点で $f(0)$ や $f^{\prime }(0)$ が式に現れるので、任意定数がそもそも出てこない^[4]。

そのぶん、初期条件が $t=0$ で与えられていないと使いにくい。境界値問題や、初期時刻がずれている問題では手が回りにくくなる。

解く手順は 3 段

やることは変換、代数、逆変換の 3 つ^[3]。

3 段目がいちばん手数のかかるところ。分母を因数分解して、表に載っている形へ崩していきます^[4]。

例：1 階の初期値問題

$y^{\prime }+3y=0$、$y(0)=2$ を解きます。両辺を変換する。

$$sY-2+3Y=0$$

$Y$ について解くと $Y=\frac{2}{s+3}$ です。表を逆に読みます。

$$y(t)=2e^{-3t}$$

一般解を書いてから定数を決める手間がない。初期値の $2$ が、最初の式にすでに入っている。

例：2 階の初期値問題

$y^{\prime \prime }+y=0$、$y(0)=0$、$y^{\prime }(0)=1$ を解きます。

$$s^{2}Y-s\cdot 0-1+Y=0⟹Y=\frac{1}{s^2+1}$$

$\frac{1}{s^2+1}$ は $\sin t$ の変換なので、答えは $y=\sin t$ です。

初期値が $s$ の多項式の側に入るので、$y(0)$ と $y^{\prime }(0)$ を別々に扱う場面がありません。

逆変換は部分分数で

$Y(s)$ は分数式になります。分母を因数分解して部分分数に分けると、表に載っている形が並ぶ^[4]。

同じ変換を持つ関数は本質的に 1 つしかありません。ルベーグ測度 $0$ の集合の上での違いを除いて一致する、というレルヒの定理があります^[1,2]。

だから表を逆に読む操作に、あいまいさが残らない。複素積分による反転公式もありますが、実務では表と部分分数で済みます^[3]。

変換表

よく使う対応を並べます。

$e^{at}f(t)$ の行が移動則^[5]。$s$ をずらすだけなので、減衰する振動もこの 1 行で書けます。

極の位置が振る舞いを決める

$Y(s)$ の分母が $0$ になる点を極といいます。極の位置と、$t$ の世界での振る舞いが対応する。

実軸上の負の極は減衰する指数関数、虚軸上の極は振動、正の極は発散。部分分数に分けるとは、この対応を項ごとに読む作業でもある。

たたみ込みは積に化ける

積の逆変換は、積にはならない。かわりにたたみ込みという演算になります^[1,3]。

$$\mathcal{L}\{(f\ast g)\}(s)=F(s)G(s),(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

部分分数に分けにくい形でも、2 つの積と見れば逆変換できる。$\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s^2+1}$ なら $1$ と $\sin t$ のたたみ込み。

$${\int }_0^t\sin \tau d\tau =1-\cos t$$

部分分数で分けた場合と同じ答え。どちらの道を選んでもよい。

問題 1：定義と表から変換する

$f(t)=3+2t-e^{-t}$ のラプラス変換を求めよ。

解答 1

線形性が使えるので、項ごとに変換して足します^[5]。

$$\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{3}{s}+\frac{2}{s^2}-\frac{1}{s+1}$$

収束するのは 3 つの条件のうちいちばん厳しいところ、つまり $\mathrm{Re}s>0$ です。

問題 2：1 階の斉次

$y^{\prime }-2y=0$、$y(0)=5$ を解け。

解答 2

変換すると $sY-5-2Y=0$ になる。

$$Y=\frac{5}{s-2}⟹y=5e^{2t}$$

極が $s=2$ にあり、正の実数なので解は発散する。極の位置と振る舞いが対応している。

問題 3：1 階の非斉次

$y^{\prime }+4y=8$、$y(0)=0$ を解け。

解答 3

右辺の $8$ は $\frac{8}{s}$ に変わります。

$$sY+4Y=\frac{8}{s}⟹Y=\frac{8}{s(s+4)}$$

部分分数に分ける。$\frac{8}{s(s+4)}=\frac{2}{s}-\frac{2}{s+4}$ です。

$$y=2-2e^{-4t}$$

$t$ を大きくすると $2$ へ近づきます。極が $s=0$ と $s=-4$ にあり、前者が定常値、後者が減衰を担っている。

問題 4：2 階の斉次

$y^{\prime \prime }+4y=0$、$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=0$ を解け。

解答 4

変換すると次のようになる。

$$s^{2}Y-s+4Y=0⟹Y=\frac{s}{s^2+4}$$

表の $\cos \omega t$ の行で $\omega =2$ とすれば一致します。

$$y=\cos 2t$$

極は $s=\pm 2i$ で虚軸の上。減衰しない振動になる。

問題 5：部分分数が要る 2 階

$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$、$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=0$ を解け。

解答 5

$s^{2}Y-s+3(sY-1)+2Y=0$ を整理します。

$$Y=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$$

部分分数に分けると $\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}$ になる。

$$y=2e^{-t}-e^{-2t}$$

$y(0)=2-1=1$、$y^{\prime }(0)=-2+2=0$ で、初期条件が復元されました。答えの検算はここでできる。

問題 6：右辺に指数関数がある

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^{3t}$、$y(0)=y^{\prime }(0)=0$ を解け。

解答 6

右辺は $\frac{1}{s-3}$ です。左辺は初期値が両方 $0$ なので、$(s^2-3s+2)Y$ だけが残る。

$$Y=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}$$

3 つの 1 次因子に分けます。係数は、それぞれの極を代入した残りの積の逆数。

$$Y=\frac{1/2}{s-1}-\frac{1}{s-2}+\frac{1/2}{s-3}$$

$$y=\frac{1}{2}{e}^t-e^{2t}+\frac{1}{2}{e}^{3t}$$

$e^t$ と $e^{2t}$ が斉次解の側、$e^{3t}$ が右辺から来た側。1 つの分数式に両方が入っている。

問題 7：たたみ込みで逆変換する

$Y(s)=\frac{1}{s^2(s^2+1)}$ を逆変換せよ。

解答 7

$\frac{1}{s^2}$ が $t$、$\frac{1}{s^2+1}$ が $\sin t$ の変換です。たたみ込みを計算します。

$$y(t)={\int }_0^t\tau \sin (t-\tau )d\tau$$

部分積分すると $y=t-\sin t$ になる。

部分分数でも同じ答えが出ます。$\frac{1}{s^2(s^2+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1}$ と分けるだけ。

よくある誤り

参考文献