イデアルのノルム（代数的整数論）

イデアルのノルムは、イデアルの「大きさ」を測る非負整数です。元のノルムの一般化であり、類数の計算や素イデアル分解の研究に不可欠な道具となります。

定義

$K$ を数体、${\mathcal{O}}_K$ をその整数環とします。非零イデアル $I\subseteq {\mathcal{O}}_K$ に対し、イデアルのノルムを

$$N(I)=|{\mathcal{O}}_K/I|$$

で定義します。これは ${\mathcal{O}}_K$ を $I$ で割った剰余環の元の個数です。

${\mathcal{O}}_K$ は $\mathbb{Z}$-加群として有限生成であり、$I$ はその部分加群なので、商群 ${\mathcal{O}}_K/I$ は有限群になります。

元のノルムとの関係

$\alpha \in {\mathcal{O}}_K$ に対し、単項イデアル $(\alpha )$ のノルムは

$$N((\alpha ))=|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )|$$

となります。元のノルムの絶対値がイデアルのノルムと一致するのです。

例えば $K=\mathbb{Q}(i)$ で $\alpha =2+3i$ とすると、$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )=4+9=13$ です。よって $N((2+3i))=13$ であり、$\mathbb{Z}[i]/(2+3i)$ は位数 $13$ の環（体）です。

乗法性

ノルムは乗法的です。イデアル $I,J$ に対し、

$$N(IJ)=N(I)\cdot N(J)$$

が成り立ちます。これにより素イデアル分解とノルムの計算が結びつきます。

$(p)={\mathfrak{p}}_1^{e_1}\cdots {\mathfrak{p}}_g^{e_g}$ のとき、$N((p))=p^n$ なので

$$p^n=N({\mathfrak{p}}_1{)}^{e_1}\cdots N({\mathfrak{p}}_g{)}^{e_g}$$

となります。素イデアル $\mathfrak{p}$ のノルムは $N(\mathfrak{p})=p^f$ の形（$f$ は剰余次数）です。

具体例

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の例で、$(2,1+\sqrt{-5}{)}^2=(2)$ なので $N((2,1+\sqrt{-5}){)}^2=N((2))=4$ より $N((2,1+\sqrt{-5}))=2$ と計算できます。

ノルムと類数

Minkowski の限界により、すべてのイデアル類はノルムが

$$M_K=\frac{n!}{n^n}{\left(\frac{4}{\pi }\right)}^{r_2}\sqrt{|d_K|}$$

以下の素イデアルで生成されます。この範囲の素イデアルを調べれば類群が決定できます。

分数イデアルへの拡張

非零分数イデアル $I$ に対しても、ノルムを定義できます。$d\in \mathbb{Z}$ を $dI\subseteq {\mathcal{O}}_K$ となるようにとり、

$$N(I)=\frac{N(dI)}{|d{|}^n}$$

とします。この定義は $d$ の取り方によりません。乗法性は分数イデアルに対しても成り立ちます。