イデアルのノルムは剰余環の元の個数、単項なら元のノルムと一致する

$\mathbb{Z}$ で $(6)$ の大きさを聞かれたら $6$ と答えます。剰余環 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の元が $6$ 個だからです。

同じ数え方を数体でやります。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でないイデアル $I$ に対して、$N(I)=|{\mathcal{O}}_K/I|$ をイデアルのノルムと呼ぶ^[1]。

数えられることが先に要る

定義が意味を持つには、${\mathcal{O}}_K/I$ が有限でなければなりません。これは成り立ちます^[3]。

${\mathcal{O}}_K$ は $\mathbb{Z}$ 加群として階数 $n=[K:\mathbb{Q}]$ の自由加群で、$I$ もまた階数 $n$ の部分加群です。階数が同じ部分加群の指数は有限になる。

別の見方もあります。$0$ でない $z\in I$ をとると $N_{K/\mathbb{Q}}(z)\in I$ なので、${\mathcal{O}}_K/I$ は有限環 ${\mathcal{O}}_K/N(z){\mathcal{O}}_K$ の商です^[3]。

単項なら元のノルムと一致する

$\alpha \in {\mathcal{O}}_K$ が $0$ でないとき、次が成り立ちます^[1]。

$$N((\alpha ))=|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )|$$

証明の筋がきれいです。単項イデアル環上の加群の構造定理から、${\mathcal{O}}_K$ の $\mathbb{Z}$ 基底 $e_1,\dots ,e_n$ と整数 $a_1,\dots ,a_n$ があって、$a_1{e}_1,\dots ,a_n{e}_n$ が $(\alpha )$ の基底になります^[1]。

すると ${\mathcal{O}}_K/(\alpha )\cong ⨁\mathbb{Z}/a_i\mathbb{Z}$ なので、$N((\alpha ))=|a_1\cdots a_n|$ です。

いっぽう $\alpha$ 倍写像を、$3$ つの基底 $\{e_i\}$、$\{a_i{e}_i\}$、$\{\alpha e_i\}$ を経由して分解します^[1]。行列式は $3$ つの積になり、真ん中が $a_1\cdots a_n$、両端が $1$ と $\pm 1$。

$\{a_i{e}_i\}$ と $\{\alpha e_i\}$ はどちらも同じ自由 $\mathbb{Z}$ 加群 $(\alpha )$ の基底なので、移り合う行列の行列式が $\pm 1$ になる^[1]。ここが要になります。

図では $\mathbb{Z}[i]$ の点を $(2+i)$ で割った余りごとに塗り分けています。$N(2+i)=5$ のとおり色は $5$ 種類で、剰余類の代表は $0,1,2,3,4$ にとれます。

ノルムはイデアルの中にいる

${\mathcal{O}}_K/I$ の位数が $N(I)$ なので、加法群としてどの元も $N(I)$ 倍すると $0$ になります。とくに $1$ の像を $N(I)$ 倍して、$N(I)\equiv 0(\mathrm{mod}I)$ です^[1]。

つまり $N(I)\in I$ で、含むことは割ることだから $I\mid (N(I))$ が成り立つ^[1]。元のレベルで $\alpha \mid N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )$ が成り立つのと同じ形です。

素イデアルでは素数のべきになる

$\mathfrak{p}$ を $0$ でない素イデアルとすると、${\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}$ は有限体です。有限体の位数は素数べきなので、$N\mathfrak{p}=p^f$ の形に決まる^[1]。

この $p$ は剰余体の標数で、$p\in \mathfrak{p}$ すなわち $\mathfrak{p}\mid (p)$ です^[1]。$f$ は ${\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}$ を $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間と見たときの次元で、剰余次数と呼ばれます^[1]。

掛け算がそのまま掛かる

イデアルのノルムは乗法的です^[1]。

$$N(\mathfrak{ab})=N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})$$

証明は素イデアルの場合に帰着します。$\mathfrak{a}\supset \mathfrak{ap}$ で、$\mathfrak{a}/\mathfrak{ap}$ は $\mathfrak{p}$ の元を掛けると消えるので、${\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}$ 上のベクトル空間になる^[1]。

これが $1$ 次元であることを示せば、位数が $|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}|$ に等しくなって完了です^[1]。$x\in \mathfrak{a}\setminus \mathfrak{ap}$ をとると $\mathfrak{a}=(x)+\mathfrak{ap}$ が言え、$x$ の像が全体を張ります。

乗法性と素イデアルの形を合わせると、基本関係式が出ます。$(p)=\prod {\mathfrak{p}}_i^{e_i}$ の両辺のノルムをとると次のようになる。

$$p^n=\prod _i{\left(p^{f_i}\right)}^{e_i}=p^{\sum e_i{f}_i}$$

指数を比べて $\sum e_i{f}_i=n$ です。分岐指数と剰余次数の関係式が、ノルムの計算だけから出ます。

ノルムを決めるとイデアルは有限個

正の整数 $m$ を決めたとき、$N(I)=m$ となるイデアルは有限個しかありません。$I\mid (m)$ が成り立ち、$(m)$ の約数となるイデアルは素イデアル分解の指数の選び方だけで決まるからです^[2]。

この有限性が類群の有限性を支えています。ミンコフスキーの限界より小さいノルムのイデアルが有限個しかないので、類の代表も有限個で足りる。

分母を許しても定義できる

分数イデアル $I$ にもノルムを広げられます。$dI\subseteq {\mathcal{O}}_K$ となる $0$ でない整数 $d$ をとり、次で定義する。

$$N(I)=\frac{N(dI)}{|d{|}^n}$$

$d$ のとり方によらないことは、乗法性から確かめられます。この拡張により、ノルムは分数イデアルのなす群から正の有理数のなす群への準同型になります。

剰余環の元を数えるという素朴な定義から、乗法性、剰余次数、$\sum e_i{f}_i=n$、そして類群の有限性までが順に出てきます。数え上げが計算の言葉に翻訳されている。

出典