非同次線形微分方程式（定数変化法）

定数変化法（パラメータ変化法）は、任意の右辺 $R (x)$ に対して特殊解を求められる汎用的な手法です。同次解の「定数」を「関数」に変えるというアイデアに基づいています。

基本的な考え方

同次方程式 $y^{''} + P y^{'} + Q y = 0$ の一般解が

$y_{h} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$

のとき、非同次方程式の特殊解を

$y_{p} = u_{1} (x) y_{1} + u_{2} (x) y_{2}$

の形で探します。定数 $c_{1}$ , $c_{2}$ を関数 $u_{1} (x)$ , $u_{2} (x)$ に「変化」させるのが名前の由来です。

$u_{1}$ , $u_{2}$ の決定

$y_{p} = u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}$ を微分すると、

$y_{p}^{'} = u_{1}^{'} y_{1} + u_{1} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2} + u_{2} y_{2}^{'}$

計算を簡単にするため、補助条件

$u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0$

を課します。すると $y_{p}^{'} = u_{1} y_{1}^{'} + u_{2} y_{2}^{'}$ となり、さらに微分すると

$y_{p}^{''} = u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{1} y_{1}^{''} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} + u_{2} y_{2}^{''}$

これらを元の方程式に代入し、 $y_{1}$ , $y_{2}$ が同次解であることを使うと、

$u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} = R (x)$

が得られます。

連立方程式

$u_{1}^{'}$ , $u_{2}^{'}$ について次の連立方程式を解きます。

${u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0 u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} = R (x)$

クラメルの公式を使うと、

$u_{1}^{'} = - \frac{y _{2} R}{W}, u_{2}^{'} = \frac{y _{1} R}{W}$

ここで $W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}$ はロンスキアンです。積分すれば $u_{1}$ , $u_{2}$ が求まります。

特殊解の公式

$y_{p} = - y_{1} \int \frac{y _{2} R}{W} d x + y_{2} \int \frac{y _{1} R}{W} d x$

この公式を暗記するより、手順を理解する方が重要です。

任意の

R (x)

に適用可能

未定係数法が使えない $tan x$ , $sec x$ , $\frac{1}{x}$ などにも使えます。

例題

$y^{''} + y = sec x$

同次解は $y_{1} = cos x$ , $y_{2} = sin x$ で、 $W = cos x \cdot cos x - sin x \cdot (- sin x) = 1$ です。

$u_{1}^{'} = - sin x \cdot sec x = - tan x$

$u_{2}^{'} = cos x \cdot sec x = 1$

積分すると、

$u_{1} = ln ∣ cos x ∣, u_{2} = x$

したがって、

$y_{p} = cos x \cdot ln ∣ cos x ∣ + x sin x$

一般解は $y = c_{1} cos x + c_{2} sin x + cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x$ です。

定数変化法の長所と短所

長所

どんな $R (x)$ にも適用可能。汎用性が高い。

短所

積分計算が煩雑になることが多い。未定係数法が使えるなら、そちらの方が簡単。

実際の問題では、まず未定係数法が使えるか確認し、使えない場合に定数変化法を使うという戦略が効率的です。

非同次線形微分方程式（定数変化法）

基本的な考え方

u1​, u2​ の決定

連立方程式

例題

定数変化法の長所と短所

$u_{1}$ , $u_{2}$ の決定