右辺がどんな形でも積分まで進む、微分方程式の定数変化法

$y^{''} + y = sec x$ の特殊解は $y_{p} = cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x$ です。 $sec x$ からは想像しにくい形。

係数を置いて代入する方法では届きません。 $sec x$ を何度微分しても、有限個の関数では閉じないからです。

定数変化法なら、右辺が何であっても積分の形まで必ず進みます^[3]。積分が計算できるかどうかは別の話ですが、手順は止まりません。

定数を関数に変える

同次方程式 $y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0$ の一般解を $y_{h} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ とします。

非同次の右辺を $R (x)$ と書き、 $c_{1}$ と $c_{2}$ を関数に替えて特殊解を探す。

$y_{p} = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)$

定数を「変化」させるので定数変化法。ラグランジュがこの形を使ったので、パラメータ変化法とも呼ばれます^[3]。

補助条件を置ける理由

未知の関数は $u_{1}$ と $u_{2}$ の 2 つですが、課される条件はもとの方程式 1 本だけ。自由度が 1 つ余っています。

余りを使って、計算が楽になる条件を自分で足せる。この見方をすると、次の一手が唐突に見えなくなります。

$y_{p}$ を微分すると 4 項に分かれます。

$y_{p}^{'} = u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} + u_{1} y_{1}^{'} + u_{2} y_{2}^{'}$

前半 2 項を $0$ と置くのが補助条件です^[1]。

$u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0$

置かなければ、もう一度微分したときに $u_{1}^{''}$ と $u_{2}^{''}$ が現れます。2 階の問題を解くために 2 階の問題を作ることになる。

補助条件は $u_{1}$ と $u_{2}$ を一意に決めるために足りない 1 本を、こちらから補ったものです。

別の条件を置いても特殊解は作れる。ただ、これがいちばん式が短くなる。

連立方程式が出る

補助条件のもとで $y_{p}^{'} = u_{1} y_{1}^{'} + u_{2} y_{2}^{'}$ となり、もう一度微分します。

$y_{p}^{''} = u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} + u_{1} y_{1}^{''} + u_{2} y_{2}^{''}$

$y_{p}^{''} + P y_{p}^{'} + Q y_{p}$ を組み立てると、 $u_{1}$ が掛かる部分は $y_{1}^{''} + P y_{1}^{'} + Q y_{1}$ で $0$ 。 $u_{2}$ の側も同じく $0$ です。

残るのは $u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'}$ だけ。これが $R$ に等しくなります。

${u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0 u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} = R$

$u_{1}^{'}$ と $u_{2}^{'}$ についての連立 1 次方程式です。係数行列の行列式がロンスキアンになります。

$W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}$

クラメルの公式で解きます^[3]。

$u_{1}^{'} = - \frac{y _{2} R}{W}, u_{2}^{'} = \frac{y _{1} R}{W}$

ロンスキアンで割ってよい理由

$W$ が $0$ になる点があれば、この割り算は破綻します。実は破綻しません。 $W$ 自身が簡単な微分方程式を満たすためです。

$W^{'} = y_{1}^{'} y_{2}^{'} + y_{1} y_{2}^{''} - y_{2}^{'} y_{1}^{'} - y_{2} y_{1}^{''} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{2} y_{1}^{''}$ を計算します。

$y_{1}^{''} = - P y_{1}^{'} - Q y_{1}$ と $y_{2}^{''} = - P y_{2}^{'} - Q y_{2}$ を代入する。

$W^{'} = y_{1} (- P y_{2}^{'} - Q y_{2}) - y_{2} (- P y_{1}^{'} - Q y_{1}) = - P (y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}) = - P W$

$Q$ の項がきれいに打ち消しました。変数分離で解けます^[4]。

$W (x) = W_{0} exp (- \int P (x) d x)$

指数関数は決して $0$ になりません。したがって $W$ は、どこでも $0$ か、どこでも $0$ でないかのどちらか。

$y_{1}$ と $y_{2}$ が 1 次独立なら 1 点で $W \neq = 0$ なので、区間全体で $0$ になりません。割り算はいつでもできます。

積分の形にまとめる

$u_{1}^{'}$ と $u_{2}^{'}$ を積分すれば $y_{p}$ が出ます。定積分に直すと、右辺の効き方が見やすくなる。

$y_{p} (x) = \int_{x_{0}}^{x} \frac{y _{1} ( ξ ) y _{2} ( x ) - y _{1} ( x ) y _{2} ( ξ )}{W ( ξ )} R (ξ) d ξ$

被積分関数の分数は $x$ と $ξ$ の 2 変数の関数で、グリーン関数と呼ばれます^[1]。

$ξ$ の場所で受けた力が、 $x$ の場所にどれだけ効くかを表す量。それを $ξ$ について足し合わせたものが解です。

例：単位の力を並べる

$y^{''} + y = R (x)$ の場合、 $y_{1} = cos x$ 、 $y_{2} = sin x$ 、 $W = 1$ になります。

グリーン関数は $cos ξ sin x - cos x sin ξ = sin (x - ξ)$ 。

$y_{p} (x) = \int_{0}^{x} sin (x - ξ) R (ξ) d ξ$

時刻 $ξ$ に受けた衝撃が $sin (x - ξ)$ という振動を残し、それが積み重なる。ばねを叩いたときの応答そのものです。

刻みを細かくすると、下の折れ線が滑らかな曲線に近づきます。積分はその極限です。

例： $y^{''} + y = sec x$

同次解は $y_{1} = cos x$ 、 $y_{2} = sin x$ で、 $W = cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ 。

$u_{1}^{'} = - sin x sec x = - tan x, u_{2}^{'} = cos x sec x = 1$

積分すると $u_{1} = ln ∣ cos x ∣$ 、 $u_{2} = x$ になります。

$y_{p} = cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x$

$x sin x$ の項に注目します。 $x$ が単独で出てきたのは、 $sec x$ が振動と共鳴する成分を含むためです。

一般解は $y = c_{1} cos x + c_{2} sin x + cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x$ 。

例： $y^{''} + y = tan x$

$u_{1}^{'} = - sin x tan x$ を整理します。 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ を使う。

$u_{1}^{'} = - \frac{sin ^{2} x}{cos x} = \frac{cos ^{2} x - 1}{cos x} = cos x - sec x$

積分して $u_{1} = sin x - ln ∣ sec x + tan x ∣$ 。 $u_{2}^{'} = cos x tan x = sin x$ なので $u_{2} = - cos x$ です。

$y_{p} = cos x (sin x - ln ∣ sec x + tan x ∣) - sin x cos x = - cos x ln ∣ sec x + tan x ∣$

$sin x cos x$ が打ち消して、1 項だけが残りました。

例：右辺に $1/ x$ がある

$y^{''} - 2 y^{'} + y = \frac{e ^{x}}{x}$

特性方程式が重根 $1$ なので $y_{1} = e^{x}$ 、 $y_{2} = x e^{x}$ 。ロンスキアンを計算します。

$W = e^{x} (e^{x} + x e^{x}) - x e^{x} \cdot e^{x} = e^{2 x}$

$R = \frac{e ^{x}}{x}$ を入れます。

$u_{1}^{'} = - \frac{x e ^{x} \cdot e ^{x} / x}{e ^{2 x}} = - 1, u_{2}^{'} = \frac{e ^{x} \cdot e ^{x} / x}{e ^{2 x}} = \frac{1}{x}$

積分すると $u_{1} = - x$ 、 $u_{2} = ln ∣ x ∣$ 。

$y_{p} = - x e^{x} + x e^{x} ln ∣ x ∣ = x e^{x} (ln ∣ x ∣ - 1)$

$ln ∣ x ∣$ が現れました。係数を置いて代入する方法では、この形を最初から予想できません。

例：係数が定数でない場合

$x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} + 2 y = x^{3}$

同次解は $y = x^{m}$ を入れて $m^{2} - 3 m + 2 = 0$ から $y_{1} = x$ 、 $y_{2} = x^{2}$ です。

ここで注意が要ります。 $R$ は標準形にしてから読むこと。両辺を $x^{2}$ で割ります。

$y^{''} - \frac{2}{x} y^{'} + \frac{2}{x ^{2}} y = x ⟹ R = x$

$x^{3}$ をそのまま $R$ にすると答えが合いません。 $W = x \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1 = x^{2}$ を使って計算します。

$u_{1}^{'} = - \frac{x ^{2} \cdot x}{x ^{2}} = - x, u_{2}^{'} = \frac{x \cdot x}{x ^{2}} = 1$

$u_{1} = - \frac{x ^{2}}{2}$ 、 $u_{2} = x$ から $y_{p} = - \frac{x ^{3}}{2} + x^{3} = \frac{x ^{3}}{2}$ 。

検算します。 $y^{''} = 3 x$ 、 $y^{'} = \frac{3 x ^{2}}{2}$ を入れると $3 x^{3} - 3 x^{3} + x^{3} = x^{3}$ で、右辺に戻りました。

高階への拡張

$n$ 階でも同じです。未知関数が $n$ 個、余る自由度が $n - 1$ 個なので、補助条件を $n - 1$ 本置きます^[2]。

$u_{1}^{'} y_{1} + \dots + u_{n}^{'} y_{n} u_{1}^{'} y_{1}^{'} + \dots + u_{n}^{'} y_{n}^{'} = 0 = 0$

$(n - 2)$ 階微分までを $0$ にそろえ、 $(n - 1)$ 階微分の行だけが $R$ に等しくなります。

係数行列は $n$ 次のロンスキアン行列。クラメルの公式で $u_{k}^{'}$ が出ます^[2]。

$u_{k}^{'} = \frac{W _{k}}{W} R$

$W_{k}$ は $k$ 列目を右辺で置き換えた行列式です。

例：3 階の方程式

$y^{'''} + y^{'} = tan x$

特性方程式 $λ^{3} + λ = 0$ の根は $0$ と $\pm i$ なので、 $y_{1} = 1$ 、 $y_{2} = cos x$ 、 $y_{3} = sin x$ 。

ロンスキアンを計算すると $W = 1$ になります。クラメルの公式から次が出ます。

$u_{1}^{'} = tan x, u_{2}^{'} = - sin x, u_{3}^{'} = cos x - sec x$

積分すると $u_{1} = - ln ∣ cos x ∣$ 、 $u_{2} = cos x$ 、 $u_{3} = sin x - ln ∣ sec x + tan x ∣$ 。

$y_{p} = - ln ∣ cos x ∣ + cos^{2} x + sin^{2} x - sin x ln ∣ sec x + tan x ∣$

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ は定数なので、同次解に吸収できます。

$y_{p} = - ln ∣ cos x ∣ - sin x ln ∣ sec x + tan x ∣$

検算のしかた

微分して代入するのがいちばん確実です。3 階の例なら $y_{p}^{'} = - cos x ln ∣ sec x + tan x ∣$ になり、 $tan x$ の項が消えます。

もう 1 回微分して $y_{p}^{''} = sin x ln ∣ sec x + tan x ∣ - 1$ 、さらに $y_{p}^{'''} = cos x ln ∣ sec x + tan x ∣ + tan x$ 。

$y_{p}^{'''} + y_{p}^{'}$ を作ると対数の項が打ち消し、 $tan x$ だけが残る。右辺と一致しました。

係数を置いて代入する方法

右辺が多項式・指数・三角関数のときだけ。予想の形が当たれば計算は速い

定数変化法

右辺を選ばない。ロンスキアンと積分が要るぶん、手間はかかる

まず前者が使えるかを見て、使えなければ後者に移る。この順で考えると無駄がありません。

$y^{''} + 4 y = R (x)$ の特殊解を定数変化法で書くとき、グリーン関数はどれになりますか。

$sin (x - ξ)$
$\frac{1}{2} sin (2 (x - ξ))$
$\frac{1}{2} cos (2 (x - ξ))$

__RESULT__

同次解は $cos 2 x$ と $sin 2 x$ で、ロンスキアンは $W = 2$ です。 $\frac{y _{1} ( ξ ) y _{2} ( x ) - y _{1} ( x ) y _{2} ( ξ )}{W}$ を計算すると $\frac{sin 2 x cos 2 ξ - cos 2 x sin 2 ξ}{2}$ となり、加法定理でまとまります。 $W$ が $1$ でないぶん、係数 $\frac{1}{2}$ が付きます。

同次解を 2 本そろえ、ロンスキアンを作り、割って積分する。右辺の形を心配しなくてよいのが、この方法のいちばんの強みです。

参考

Russell Herman. *The Method of Variation of Parameters*/08%3A_Green's_Functions/8.01%3A_The_Method_of_Variation_of_Parameters). A Second Course in Ordinary Differential Equations.

*Variation of Parameters for Higher Order Equations*. Ximera, The Ohio State University.

Variation of Parameters. Wolfram MathWorld.

Abel's Differential Equation Identity. Wolfram MathWorld.

$y'' + y = \sec x$ の特殊解は $\cos x\ln|\cos x| + x\sin x$ です。係数を置いて代入する方法では届きません。$y_p = u_1y_1 + u_2y_2$ と置くと未知関数が 2 つで条件が 1 本なので、自由度が 1 つ余る。そこへ $u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0$ を当てると連立 1 次方程式になり、クラメルの公式から $u_1' = -y_2R/W$ が出ます。$W' = -PW$ より $W = W_0e^{-\int P}$ なので、ロンスキアンは決して $0$ を通らず、割り算はいつでもできる。定積分に直すとグリーン関数が現れ、$y''+y$ なら $\sin(x-\xi)$。$\tan x$ や $e^x/x$ のように予想の形が立たない右辺でも、手順は途中で止まりません。