x を何回掛けるかは根の重なりが決める｜微分方程式の未定係数法

$y^{''} - 2 y^{'} + y = e^{x}$ に $y_{p} = A e^{x}$ を入れると、左辺が $0$ になって $A$ が決まりません。

$y_{p} = A x e^{x}$ でも同じことが起きます。 $y_{p} = A x^{2} e^{x}$ にして、ようやく $2 A = 1$ が出る。

$x$ を何回掛けるかは、あてずっぽうで決めるものではありません。特性方程式の根の重なり方が、その回数をきっちり決めています^[1]。

予想が当たる関数の共通点

多項式、指数関数、正弦と余弦。この 3 つは、何度微分しても同じ仲間の中に留まります。

$x^{3}$ を微分すると $3 x^{2}$ 、さらに $6 x$ 、 $6$ 、そして $0$ 。有限回で消えます。

$sin 2 x$ は $2 cos 2 x$ 、 $- 4 sin 2 x$ と巡回して、もとの 2 つの関数の組み合わせから出ません。

対して $tan x$ を微分すると $sec^{2} x$ 、次に $2 sec^{2} x tan x$ 。項の種類が増え続けて閉じない。

閉じている側なら、答えも同じ仲間の中にあると期待できます。未定係数法が効くのは、この性質を持つ右辺だけです。

消滅演算子

$D = \frac{d}{d x}$ と書きます。ある関数 $f$ に対して $A (D) f = 0$ となる演算子を、 $f$ の消滅演算子と呼びます^[2]。

関数	消滅演算子
$x^{n}$	$D^{n + 1}$
$x^{n} e^{α x}$	$(D - α)^{n + 1}$
$x^{n} e^{α x} cos β x$	$[(D - α)^{2} + β^{2}]^{n + 1}$

$x^{3}$ を $4$ 回微分すれば $0$ になるので $D^{4}$ 。 $e^{2 x}$ は $(D - 2)$ で消えます。

$cos β x$ は $D^{2} + β^{2}$ で消える。2 回微分して $β^{2}$ 倍を足すと、確かに打ち消し合います。

予想の形が出てくる仕組み

方程式を $L (D) y = R (x)$ と書きます。 $R$ の消滅演算子 $A (D)$ を両辺に掛ける。

$A (D) L (D) y = A (D) R (x) = 0$

右辺が消えて、同次方程式になりました。次数は上がりましたが、定数係数の同次方程式なら解の形が分かります^[2]。

$y$ は $A (D) L (D)$ の特性根から作られる関数の組み合わせです。そのうち $L (D)$ 側の根から来る部分は同次解なので、残りが特殊解の候補になる。

つまり予想の形は、 $A (D)$ の根が持ちこむ部分です。当てずっぽうではなく、演算子の掛け算から出てきます。

同じ答えを、下三角の連立 1 次方程式を解く形にまとめる書き方も提案されています^[4]。予想を立てる段階を式に押しこめてしまう方向です。

根が重なると $x$ が生える

$A (D)$ の根が $L (D)$ の根とぶつかると、積 $A (D) L (D)$ の側では重根になります。

定数係数の方程式で重根が出ると、 $e^{λ x}$ と $x e^{λ x}$ が並ぶ。この $x$ が、予想に掛ける $x$ の正体です^[2]。

$L (D)$ 側で重複度 $r$ の根とぶつかれば、 $x^{r}$ を掛けることになります。

予想の一覧

右辺 $R (x)$	ぶつからない場合の予想
定数	$A$
$x^{n}$	$A_{n} x^{n} + \dots + A_{0}$
$e^{α x}$	$A e^{α x}$
$cos β x$ または $sin β x$	$A cos β x + B sin β x$
$e^{α x} cos β x$	$e^{α x} (A cos β x + B sin β x)$

ぶつかる場合は $x^{r}$ を掛けます。 $cos β x$ の予想に $sin β x$ も入れておく点に注意したい。片方だけでは足りません。

例：右辺が多項式

$y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 4 x^{2}$

$y_{p} = A x^{2} + B x + C$ と置きます。 $y_{p}^{'} = 2 A x + B$ 、 $y_{p}^{''} = 2 A$ を代入する。

$2 A x^{2} + (6 A + 2 B) x + (2 A + 3 B + 2 C) = 4 x^{2}$

係数を比べて $A = 2$ 、 $B = - 6$ 、 $C = 7$ 。

$y_{p} = 2 x^{2} - 6 x + 7$

右辺が $x^{2}$ だけでも、予想には $x$ と定数を入れておく必要があります。微分で下の次数が生まれるためです。

例：定数の右辺がぶつかる

$y^{''} + 3 y^{'} = 4$

特性方程式は $λ^{2} + 3 λ = 0$ で、根は $0$ と $- 3$ 。右辺の定数を消すのは $D$ で、その根も $0$ です。

$λ = 0$ が重なるので、 $y_{p} = A$ ではなく $y_{p} = A x$ とします。

$y_{p}^{'} = A$ 、 $y_{p}^{''} = 0$ を入れて $3 A = 4$ 。 $y_{p} = \frac{4 x}{3}$ になります。

定数の右辺なのに答えが $x$ の 1 次式になる。この形は、ぶつかりを見落とすと絶対に出てきません。

例：重根とぶつかる

$y^{''} - 2 y^{'} + y = e^{x}$

特性方程式は $(λ - 1)^{2} = 0$ で、 $λ = 1$ が重複度 $2$ の根。 $e^{x}$ の消滅演算子 $(D - 1)$ の根も $1$ です。

重複度が $2$ なので $x^{2}$ を掛けて $y_{p} = A x^{2} e^{x}$ 。代入すると次のようになります。

$y_{p}^{''} - 2 y_{p}^{'} + y_{p} = 2 A e^{x} = e^{x}$

$A = \frac{1}{2}$ で $y_{p} = \frac{x ^{2} e ^{x}}{2}$ です。

複素指数を使う近道

三角関数の右辺は、指数関数として扱うと計算が短くなります。鍵になるのは次の等式です。

$L (D) e^{s x} = L (s) e^{s x}$

$D$ を $s$ に置き換えるだけ。 $L (s) \neq = 0$ なら、特殊解がすぐ書けます。

$y_{p} = \frac{e ^{s x}}{L ( s )}$

$y^{''} + 4 y = sin x$ なら $L (D) = D^{2} + 4$ 、 $s = i$ です。 $L (i) = - 1 + 4 = 3$ 。

$\frac{e ^{i x}}{3}$ の虚部をとって $y_{p} = \frac{sin x}{3}$ になります。係数を 2 つ置いて連立させる手間が要りません。

共鳴の公式

$L (s) = 0$ のときは、さきほどの式が使えません。 $s$ が単根なら、次の形になります。

$y_{p} = \frac{x e ^{s x}}{L ^{'} ( s )}$

導出は 1 行です。 $L (D) e^{s x} = L (s) e^{s x}$ の両辺を $s$ で微分する。

$L (D) (x e^{s x}) = L^{'} (s) e^{s x} + L (s) x e^{s x}$

$L (s) = 0$ なので第 2 項が消え、 $L (D) (x e^{s x}) = L^{'} (s) e^{s x}$ が残ります。

例：共鳴する強制振動

$y^{''} + 4 y = sin 2 x$

$s = 2 i$ で $L (2 i) = - 4 + 4 = 0$ 。共鳴しています。 $L^{'} (s) = 2 s$ なので $L^{'} (2 i) = 4 i$ 。

$\frac{x e ^{2 i x}}{4 i} = \frac{x ( sin 2 x - i cos 2 x )}{4}$

虚部をとって $y_{p} = - \frac{x cos 2 x}{4}$ です。

振幅が $\frac{x}{4}$ で伸びていきます。押す周期が固有の周期にそろうと、揺れが際限なく育つ^[3]。

近い振動数ではうなりが出て、振幅が大きくなっては戻ります。一致した瞬間だけ、戻る動きが消える。

減衰があるとき

現実の系には摩擦があります。減衰項を入れると、振幅は有限で止まります^[3]。

$C = \frac{F _{0}}{m ( 2 ω p ) ^{2} + ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$

$p$ が減衰の強さ。 $p = 0$ なら $ω = ω_{0}$ で分母が $0$ になり、無限大に発散します。

$p > 0$ なら分母が $0$ にならず、最大値は $ω = ω_{0}^{2} - 2 p^{2}$ で達する。固有振動数よりわずかに低い場所です。

右辺が足し算のとき

$R = R_{1} + R_{2}$ なら、それぞれについて特殊解を求めて足せば済みます。方程式が線形だからです。

$y^{''} + y = x + e^{2 x}$ なら、 $y_{p 1} = x$ と $y_{p 2} = \frac{e ^{2 x}}{5}$ を別々に出して足す。

ぶつかりの判定も別々に行います。片方だけ共鳴していることがよくあります。

使えない右辺

$tan x$ 、 $\frac{1}{x}$ 、 $ln x$ 、 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 。これらには消滅演算子がありません^[2]。

微分しても有限個の関数で閉じないので、予想の形が立たない。こういう右辺では別の方法に移ることになります。

予想が立つ右辺

多項式、指数、正弦と余弦、およびその積と和。代入と係数比較だけで終わる

予想が立たない右辺

微分で閉じない関数。形を予想する土台がなく、この方法では手が出ない

検算のしかた

まず特性方程式の根を書き出し、右辺の指数（定数なら $0$ 、 $e^{α x}$ なら $α$ 、 $cos β x$ なら $\pm i β$ ）と見比べます。

ぶつかっていれば $x^{r}$ を掛ける。この確認を代入の前に済ませておくと、係数が決まらない事態を避けられます。

答えが出たら微分して代入し、右辺に戻るかを見る。 $cos$ と $sin$ の両方の係数が合っているかを、別々に確かめます。

$y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = e^{2 x}$ の特殊解はどの形になりますか。

$A e^{2 x}$
$A x e^{2 x}$
$A x^{2} e^{2 x}$

__RESULT__

特性方程式は $(λ - 2)^{2} = 0$ で、 $λ = 2$ が重複度 $2$ の根です。右辺の $e^{2 x}$ の指数も $2$ なので、重複度のぶんだけ $x$ を掛けて $x^{2} e^{2 x}$ になります。代入すると $2 A e^{2 x} = e^{2 x}$ から $A = \frac{1}{2}$ が出ます。

微分で閉じる右辺だけを相手にし、根がぶつかるかを先に見る。未定係数法の手順は、この 2 つの判断でできています。

参考文献

Vladimir Dobrushkin. *Method of Undetermined Coefficients*. Applied Mathematics 33, Brown University.

Undetermined Coefficients: Annihilator Approach/04%3A__Higher_Order_Linear_ODEs/4.06%3A_Undetermined_Coefficients_-_Annihilator_Approach). Differential Equations, LibreTexts.

Jiří Lebl. *Forced Oscillations and Resonance*/2%3A_Higher_order_linear_ODEs/2.6%3A_Forced_Oscillations_and_Resonance). Differential Equations for Engineers.

*An Alternative Method for the Undetermined Coefficients and the Annihilator Methods*. arXiv:1110.4425.

$y'' - 2y' + y = e^x$ に $Ae^x$ を入れると左辺が $0$ になり、$Axe^x$ でも係数が決まりません。$Ax^2e^x$ で初めて $A = 1/2$ が出ます。掛ける回数を決めているのは特性方程式の根の重複度で、$D$ 演算子で書くと理由がはっきりする。右辺を消す演算子 $A(D)$ を両辺に掛けると同次方程式になり、予想の形は $A(D)$ の根が持ちこむ部分そのものです。根がぶつかれば重根になり、そこから $x$ が生える。$L(D)e^{sx} = L(s)e^{sx}$ を使えば $y_p = e^{sx}/L(s)$ と一気に書け、共鳴のときは両辺を $s$ で微分して $y_p = xe^{sx}/L'(s)$ になります。