非同次線形微分方程式（未定係数法）

非同次方程式の特殊解を求める方法として、未定係数法があります。右辺の関数形に応じて解の形を予想し、係数を決定するというシンプルなアプローチです。

非同次方程式の構造

$a y^{''} + b y^{'} + cy = R (x)$

一般解は $y = y_{h} + y_{p}$ の形です。 $y_{h}$ は同次方程式の一般解（前章で学んだ）、 $y_{p}$ は非同次方程式の特殊解です。未定係数法は $y_{p}$ を効率よく見つける手法です。

右辺 $R (x)$ が多項式、指数関数、三角関数、またはそれらの積である場合、 $y_{p}$ も同じ「型」の関数になると予想できます。未定の係数を置いて代入し、恒等的に成り立つように係数を決定します。

$y^{''} - y = x^{2}$

同次解は $y_{h} = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$ 。特殊解として $y_{p} = A x^{2} + B x + C$ を仮定します。

$y_{p}^{'} = 2 A x + B$ , $y_{p}^{''} = 2 A$ なので、

$2 A - (A x^{2} + B x + C) = x^{2}$

係数を比較すると、 $- A = 1$ , $- B = 0$ , $2 A - C = 0$ 。

したがって $A = - 1$ , $B = 0$ , $C = - 2$ 。 $y_{p} = - x^{2} - 2$ です。

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{3 x}$

$y_{p} = A e^{3 x}$ を仮定します。 $y_{p}^{'} = 3 A e^{3 x}$ , $y_{p}^{''} = 9 A e^{3 x}$ なので、

$9 A e^{3 x} - 9 A e^{3 x} + 2 A e^{3 x} = e^{3 x}$

$2 A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$ 。 $y_{p} = \frac{1}{2} e^{3 x}$ です。

右辺の $e^{αx}$ が同次解に含まれている場合、 $y_{p} = A e^{αx}$ では係数が決まりません。このとき、 $x$ を掛けた $y_{p} = A x e^{αx}$ を試します。

共鳴（resonance）

右辺が同次解と同じ形のとき起こります。特殊解の次数を1つ上げる必要があります。

重根の場合

同次解が $(c_{1} + c_{2} x) e^{αx}$ のとき、特殊解は $y_{p} = A x^{2} e^{αx}$ となります。

$y^{''} - 2 y^{'} + y = e^{x}$

特性方程式 $λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$ より $λ = 1$ （重根）。同次解は $y_{h} = (c_{1} + c_{2} x) e^{x}$ 。

$e^{x}$ が同次解に含まれ、さらに $x e^{x}$ も含まれるので、 $y_{p} = A x^{2} e^{x}$ を仮定します。

計算すると $y_{p}^{''} - 2 y_{p}^{'} + y_{p} = 2 A e^{x}$ となり、 $2 A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$ 。

$y_{p} = \frac{1}{2} x^{2} e^{x}$ です。

この方法は、 $R (x)$ が多項式、指数関数、三角関数の有限な組み合わせのときのみ使えます。 $R (x) = tan x$ や $R (x) = \frac{1}{x}$ のような場合には、次章で学ぶ定数変化法を用います。