倍数全体という集合でイデアルを考えると和が最大公約数になる

$6$ という数を、$6$ の倍数全体 $\{\dots ,-12,-6,0,6,12,\dots \}$ という集合に置き換えます。この集合を $(6)$ と書き、イデアルと呼ぶ。

数を集合に置き換えても、割り算の情報は失われません。$2\mid 6$ は $(2)\supset (6)$ と書き直せる。むしろ、数として存在しない因子まで集合としてなら書けるようになります。

条件は 2 つ

環 $R$ の部分集合 $I$ がイデアルであるとは、次の $2$ つを満たすことです^[1]。

$2$ つ目が効く条件です。部分環なら積で閉じていればよいのに、イデアルは環の全体との積で閉じていることを要求します。吸収する側が強い。

$a_1,\dots ,a_n$ を含む最小のイデアルを $(a_1,\dots ,a_n)$ と書き、これらで生成されるイデアルと呼びます^[3]。生成元が $1$ つのものが単項イデアルです。

$\mathbb{Z}$ のイデアルはすべて単項

$\mathbb{Z}$ ではイデアルの形が完全に決まります^[1]。

$I\ne (0)$ をイデアルとし、$I$ に入る正の整数のうち最小のものを $m$ とします。$a\in I$ を任意にとり、除法定理で $a=qm+r$、$0\le r<m$ と書く。

$r=a-qm$ は $I$ の元です。$0\le r<m$ で $m$ が最小だったので、$r=0$ しかありえない。よって $a$ は $m$ の倍数で、$I=(m)$ です。

除法定理があるかどうかだけで決まっています。同じ議論は体上の $1$ 変数多項式環 $F[T]$ でもそのまま通り、こちらもイデアルはすべて単項です^[1]。

和が最大公約数になる

イデアルどうしには足し算と掛け算があります。$I+J$ は $\{a+b\mid a\in I,b\in J\}$ で、$IJ$ は $a_i{b}_j$ の有限和の全体です^[3]。

$\mathbb{Z}$ で計算すると意味がはっきりします。$(4)+(6)$ は $4x+6y$ の形の数全体で、これは $2$ の倍数全体、つまり $(2)$。

$$(4)+(6)=(2),(4)\cap (6)=(12),(4)(6)=(24)$$

和が最大公約数、共通部分が最小公倍数になります。ベズーの等式が「和のイデアル」という形で書き直されている。

図で見ると、間隔が狭いほど大きい集合です。$(2)$ は $(4)$ も $(6)$ も含み、そのぶん割る側にまわる。$(12)$ はいちばん間隔が広く、両方に含まれます。

素と極大は剰余環が決める

イデアルの性質は、割った先の環を見ると判定できます^[1]。

体は整域なので、極大なら素です^[1]。逆は成り立ちません。

$\mathbb{Z}$ で確かめます。$\mathbb{Z}/(m)$ が整域になるのは $m=0$ か $m$ が素数のとき。体になるのは $m$ が素数のときだけです^[1]。

つまり素イデアルは $(0)$ と $(p)$、極大イデアルは $(p)$ です。$0$ でない素イデアルはすべて極大になっている。

食い違う例は変数が $2$ つあると出ます。$\mathbb{R}[X,Y]/(X)\cong \mathbb{R}[Y]$ は整域ですが体ではないので、$(X)$ は素だが極大ではありません^[1]。

ガウス整数では全部単項

$\mathbb{Z}[i]$ はユークリッド整域です^[4]。$\alpha /\beta$ に最も近い格子点を商にとれば、余りのノルムが必ず小さくなる。

だからイデアルはすべて単項で、$\mathbb{Z}$ と同じように扱えます。単数は $N(z)=1$ を満たす元、つまり $\{\pm 1,\pm i\}$ の $4$ つ^[4]。

素元は素数 $p$ ごとに $3$ 通りに分かれます^[4]。

図の橙は軸の上にしか現れません。$3$、$7$、$11$、$19$ が該当し、どれも $4$ で割ると $3$ 余る。青は $2$ と、$4$ で割って $1$ 余る素数の因子です。

判定に使える定理が $1$ つあります。ノルムが $\mathbb{Z}$ で素数なら、そのガウス整数は素元です^[2]。$N(4+5i)=41$ なので $4+5i$ は素元、$N(15+22i)=709$ も素数なのでこちらも素元。

逆は成り立ちません^[2]。$3$ はノルムが $9$ で素数でないのに、$\mathbb{Z}[i]$ で素元です。$N(\alpha )=3$ とすると $a^2+b^2=3$ が要るのに、そんな整数の組がないためです^[2]。

単項でないイデアルが出る場所

$\mathbb{Z}$ でも $\mathbb{Z}[i]$ でも、イデアルは $1$ 元で書けました。書けなくなる環のほうが本題です。

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の $(2,1+\sqrt{-5})$ が例です。ノルムが $2$ の元がないので単項にはならず、生成元が $2$ 個要ります。

いっぽう $2$ 個あれば足りることも分かっています。数体の整数環では、どのイデアルも高々 $2$ 元で生成できる。単項からのずれは、この $1$ 個ぶんに閉じ込められています。

倍数全体という素朴な集合から出発して、最大公約数が和として書けるところまで来ました。この言いかえが効くからこそ、単項でない環でも整除の議論を続けられます。

出典