イデアルの基本｜代数的整数論

イデアルは代数的整数論の中心概念です。元のレベルでは素因数分解の一意性が成り立たなくても、イデアルのレベルでは一意性が回復します。

イデアルの定義

環 $R$ のイデアル $I$ とは、以下を満たす部分集合です。

I

は加法について群である（

a, b \in I \Rightarrow a - b \in I

）

R

の元との積で閉じている（

a \in I, r \in R \Rightarrow r a \in I

）

$a_{1}, \dots, a_{n} \in R$ で生成されるイデアルを $(a_{1}, \dots, a_{n})$ と書きます。特に1つの元で生成されるイデアルを単項イデアルと呼び、 $(a)$ と書きます。

数体 $K$ の整数環 $O_{K}$ では、すべてのイデアルが高々2つの元で生成されます。これは $O_{K}$ がデデキント整域であることから従う一般的な事実です。

例えば $Z [- 5]$ のイデアル $(2, 1 + - 5)$ は単項イデアルではありませんが、2つの元で生成されています。

イデアル同士には積と和が定義できます。

イデアルの和

I + J

${a + b ∣ a \in I, b \in J}$ で生成されるイデアル

イデアルの積

I J

${a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ∣ a_{i} \in I, b_{j} \in J}$ で生成されるイデアル

単項イデアルの場合、 $(a) + (b) = (g cd (a, b))$ 、 $(a) (b) = (ab)$ となり、通常の整数での GCD と積に対応します。

イデアル $p$ が素イデアルであるとは、 $ab \in p$ ならば $a \in p$ または $b \in p$ が成り立つことです。

イデアル $m$ が極大イデアルであるとは、 $m ⊊ I \subseteq R$ を満たすイデアル $I$ が $R$ しかないことです。

デデキント整域では、非零の素イデアルはすべて極大イデアルになります。これは整数環の持つ特殊な性質です。

$Z$ のイデアルはすべて単項です。非零イデアルは $(n) = n Z$ の形で、 $n > 0$ として一意に定まります。

$(p)$ が素イデアルであることと $p$ が素数であることは同値です。これがイデアルと素因数分解の関係の原型です。

$Z [i]$ もすべてのイデアルが単項です（ $Z [i]$ はユークリッド整域）。

素イデアルは3種類に分類されます。

(1 + i)

唯一の分岐素イデアル。 $(2) = (1 + i)^{2}$ 。

(a + bi)

（

a^{2} + b^{2} = p \equiv 1 (mod 4)

）

$p$ が2つの素イデアルに分解。

(p)

（

p \equiv 3 (mod 4)

）

素数 $p$ がそのまま素イデアル（不分解）。

これは「 $p = a^{2} + b^{2}$ と表せるか」という古典的な問題と直結しています。