「存在する」を形式化する｜記号論理学の存在量化子 ∃

存在量化子（existential quantifier）は、「存在する」を形式化する記号です。記号 ∃ で表し、全称量化子 ∀ と対をなす重要な概念です。

存在量化子 ∃ とは

∃x φ(x) は「ある x について φ(x) が成り立つ」または「φ(x) を満たす x が存在する」を意味します。∃ は「exists」の E を逆さにした記号です。

たとえば「ある数は素数である」は、P(x) を「x は素数」として、∃x P(x) と書けます。議論領域が自然数なら、これは「素数が存在する」という主張です。

存在量化と連言

「ある A は B である」という文の形式化には、連言を使います。

∃x(A(x) ∧ B(x))

これは「A(x) かつ B(x) を満たす x が存在する」という意味です。全称量化では含意を使いましたが、存在量化では連言を使う点に注意してください。

もし ∃x(A(x) → B(x)) と書くと、「A(x) → B(x) を満たす x が存在する」となり、A でないものが一つでもあれば真になってしまいます。意図した意味とは異なります。

存在量化子の否定

∃x φ(x) の否定は、「φ(x) を満たす x が存在する」が偽である、つまり「どの x も φ(x) を満たさない」です。

¬∃x φ(x) ≡ ∀x ¬φ(x)

これは量化子の否定に関するもう一つの重要な同値式です。「存在しない」は「すべてがそうでない」と同じ意味です。

量化子の関係

2つの量化子は、否定を通じて相互に定義できます。

∀x φ(x) ≡ ¬∃x ¬φ(x)

「すべてが φ」は「φ でないものが存在しない」と同じです。

∃x φ(x) ≡ ¬∀x ¬φ(x)

「φ なものが存在する」は「すべてが φ でないわけではない」と同じです。

このため、理論的には一方の量化子だけで述語論理を構成することも可能です。

量化子の順序

異なる種類の量化子が混在するとき、順序が意味を変えます。

∀x ∃y L(x, y) は「すべての x に対して、x を愛する y が存在する」です。誰にでも愛してくれる誰かがいる、という主張です。

∃y ∀x L(x, y) は「ある y が存在して、すべての x を愛する」です。全員を愛する人が一人いる、という主張です。

一般に ∃y ∀x φ(x,y) → ∀x ∃y φ(x,y) は成り立ちますが、逆は成り立ちません。

一意存在

「ちょうど1つ存在する」を表す記号 ∃! もあります。∃!x φ(x) は「φ(x) を満たす x がちょうど1つ存在する」を意味します。

これは基本量化子を使って定義できます。

∃!x φ(x) ≡ ∃x(φ(x) ∧ ∀y(φ(y) → y = x))

「φ を満たす x が存在し、かつ φ を満たすものは x だけ」という意味です。

次回は、束縛変数と自由変数について学び、量化子のスコープを理解します。