ノルムを体積の拡大率として読む（掛け算写像の行列式とトレース）

複素数 $a+bi$ を掛ける操作は、平面の線形変換です。基底 $\{1,i\}$ で行列に直すとこうなります。

$$[{\mu }_{a+bi}]=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$

行列式が $a^2+b^2$、対角の和が $2a$。この $a^2+b^2$ がノルム、$2a$ がトレースです。埋め込みを持ち出さなくても、掛け算を行列と見るだけで定義できます。

掛け算写像の行列式と対角和

$A$ を環、$B$ を $A$ 加群として階数 $n$ の自由 $A$ 代数とします。$b\in B$ に対し、$b$ 倍する写像を ${\mu }_b$ と書く^[2]。

$${\mu }_b:B\to B,y\mapsto by$$

${\mu }_b$ は $A$ 線形なので行列で表せます。その行列式をノルム $N_{B/A}(b)$、対角の和をトレース ${\mathrm{Tr}}_{B/A}(b)$、特性多項式を $b$ の特性多項式と呼びます^[2]。

行列式もトレースも基底のとり方によりません。基底を変えると行列は $P^{-1}MP$ に変わりますが、どちらの値も相似変換で不変だからです。

図が示すとおり、ノルムは「掛けたときに体積が何倍になるか」を測っています。行列式の本来の意味がそのまま出ている。

コンパニオン行列で計算する

$f=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0$ をモニックな多項式とし、$B=A[X]/(f)$ とします。$1,x,\dots ,x^{n-1}$ が基底になり、${\mu }_x$ の行列はコンパニオン行列です^[2]。

この行列の特性多項式は $f$ そのものです。だから $x$ のノルムは $(-1{)}^n{a}_0$、トレースは $-a_{n-1}$ になります^[2]。

一般に、特性多項式を $X^n+c_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +c_0$ と書くと、定数項が $(-1{)}^{n}N(b)$、$1$ つ下の係数が $-\mathrm{Tr}(b)$ です^[2]。

例：手で計算してみる

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ で基底を $\{1,\sqrt{2}\}$ にとります。$\alpha =a+b\sqrt{2}$ を掛けると $1\mapsto a+b\sqrt{2}$、$\sqrt{2}\mapsto 2b+a\sqrt{2}$。

$$[{\mu }_{\alpha }]=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)$$

行列式が $a^2-2b^2$、対角の和が $2a$ です^[1]。共役 $a-b\sqrt{2}$ を掛けた積と和に一致します。

$3$ 次でも同じ手が通ります^[1]。

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ のノルムは $a^3+2b^3+4c^3-6abc$ という形です^[1]。埋め込みを $3$ つ並べて掛けても出ますが、行列式のほうが機械的に済みます。

共役の和と積として読む

最小多項式が $(X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_d)$ と完全に分解するとき、次が成り立ちます^[1]。

$${\mathrm{Tr}}_{K(\alpha )/K}(\alpha )={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_d,N_{K(\alpha )/K}(\alpha )={\alpha }_1\cdots {\alpha }_d$$

$L\supset K(\alpha )\supset K$ のときは、各 ${\alpha }_i$ が $[L:K(\alpha )]$ 回ずつ繰り返されます^[1]。だから和も積も、いつも $n=[L:K]$ 個の項からできている。

$K$ の元 $c$ については $\mathrm{Tr}(c)=nc$、$N(c)=c^n$ です^[1]。とくに $\mathrm{Tr}(1)=[L:K]$ になります。

片方は足し算、片方は掛け算を保つ

トレースは $A$ 線形、ノルムは乗法的です^[2]。

乗法性が効くのは分解を絞り込むときです。$\alpha =\beta \gamma$ なら $N(\alpha )=N(\beta )N(\gamma )$ なので、$N(\alpha )$ の約数にならないノルムの因子は存在しません。

橙の格子は $\alpha \mathbb{Z}[i]$ です。もとの格子の中で密度が $\frac{1}{N(\alpha )}$ になっていて、指数がノルムと一致します。

単数はノルムで見分ける

$b$ が $B$ で可逆であることと、$N(b)$ が $A$ で可逆であることは同値です^[2]。${\mu }_b$ が全単射であることと行列式が可逆であることが同じだからです。

$A=\mathbb{Z}$ なら $\mathbb{Z}$ の可逆元は $\pm 1$ だけ。だから整数環の単数は $N(\alpha )=\pm 1$ の元にちょうど一致します。

$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ で $N(1+\sqrt{2})=1-2=-1$ なので、$1+\sqrt{2}$ は単数です。逆元は $-1+\sqrt{2}$。

トレースは判別式を作る

トレースには、$2$ 変数の対称形式を作るという役目もあります。$(x,y)\mapsto \mathrm{Tr}(xy)$ をトレース形式と呼び、基底で行列にした行列式が判別式です^[2][3]。

$$\mathrm{disc}=\det (\mathrm{Tr}(x_i{x}_j))$$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ で確かめます。$\mathrm{Tr}(1)=2$、$\mathrm{Tr}(\sqrt{2})=0$、$\mathrm{Tr}(2)=4$ なので、行列式は $2\cdot 4-0=8$。$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の判別式 $8$ と合います。

ノルムが元の大きさを測るのに対し、トレースは形式を通じて環全体の形を測っている。同じ行列から出てくる $2$ つの値が、別々の役目を持ちます。

掛け算を行列として見る。その一手で、共役の積という定義が行列式に置き換わり、乗法性も単数の判定も線形代数の定理として出てきます。

参考