複雑な命題を記述する｜述語論理の形式化 - 記号論理学

述語論理を厳密に扱うためには、言語を形式的に定義する必要があります。どのような記号を使い、どのように式を構成するかを明確にすることで、曖昧さのない推論が可能になります。

述語論理の言語

述語論理の言語（一階言語）は、以下の記号から構成されます。

論理記号は、すべての言語で共通して使われます。量化子 ∀, ∃、論理結合子 ¬, ∧, ∨, →, ↔、括弧 (, )、変項 x, y, z, … がこれにあたります。

非論理記号は、特定の領域を表すために用意されます。定項、関数記号、述語記号がこれにあたり、応用によって異なる記号を使います。

シグネチャ

非論理記号の集まりをシグネチャ（signature）または言語と呼びます。シグネチャは、各述語記号・関数記号のアリティ（引数の数）も指定します。

たとえば算術のシグネチャには、定項 0、1項関数 S（後者関数）、2項関数 +, ×、2項述語 =, < などが含まれます。

群論のシグネチャには、定項 e（単位元）、1項関数 ⁻¹（逆元）、2項関数 ·（積）などが含まれます。

項の構成

項は再帰的に定義されます。

定項と変項は項です。これが基本です。

f が n 項関数記号で、t₁, …, tₙ が項なら、f(t₁, …, tₙ) も項です。

これ以外は項ではありません。

論理式の構成

論理式（式、formula）も再帰的に定義されます。

P が n 項述語記号で、t₁, …, tₙ が項なら、P(t₁, …, tₙ) は原子式です。原子式は論理式です。

φ, ψ が論理式なら、¬φ, (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) も論理式です。

φ が論理式で x が変項なら、∀x φ と ∃x φ も論理式です。

式の読み方の規約

括弧を省略するための優先順位があります。

¬ が最も優先され、次に ∧, ∨、次に →, ↔ です。量化子は否定と同程度です。

∀x P(x) → Q(x) は (∀x P(x)) → Q(x) と解釈されます。量化子のスコープは最も近い部分式だけです。

日本語から論理式への翻訳

日本語の文を論理式に翻訳する練習は重要です。

「すべての学生は試験を受ける」：S(x) を「x は学生」、T(x) を「x は試験を受ける」として、∀x(S(x) → T(x))。

「ある教授は数学が好きだ」：P(x) を「x は教授」、M(x) を「x は数学が好き」として、∃x(P(x) ∧ M(x))。

「すべての人には友人がいる」：H(x) を「x は人」、F(x, y) を「x と y は友人」として、∀x(H(x) → ∃y F(x, y))。

翻訳の注意点

日本語は曖昧なことが多いので、翻訳時には意味を明確にする必要があります。

「彼は彼の父を尊敬している」という文で、「彼」が同一人物かどうかで式が変わります。同一人物なら R(x, f(x))（x は f(x) を尊敬）、別人物なら R(x, f(y)) です。

このように、述語論理への形式化は、文の論理構造を明示する作業でもあります。次回は、述語論理における推論規則を学びます。