判別式が 0 のときだけ x が生える、定数係数の 2 階同次線形微分方程式

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$ に $y=e^{\lambda x}$ を入れると、共通因子 $e^{\lambda x}$ でくくれる。

$$({\lambda }^2-3\lambda +2)e^{\lambda x}=0⟹{\lambda }^2-3\lambda +2=0$$

微分方程式が 2 次方程式に化けた。根は $1$ と $2$ で、一般解は $y=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}$ である。

なぜ $e^{\lambda x}$ を入れると通るのか。判別式が $0$ のとき $x$ が付くのはなぜか。順に見ていく。

微分で形が変わらない関数

$y^{\prime }=\lambda y$ を満たす関数は $e^{\lambda x}$ の定数倍しかない。微分しても、自分の定数倍に戻る。

だから $y^{\prime \prime }$ も $y^{\prime }$ も $y$ も、すべて $e^{\lambda x}$ の定数倍になる。定数係数で足し合わせても $e^{\lambda x}$ の定数倍のまま。

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=(a{\lambda }^2+b\lambda +c)e^{\lambda x}$$

$e^{\lambda x}$ は決して $0$ にならないので、括弧の中が $0$ であればよい。これが特性方程式である。

判別式が場合を分ける

$$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0,D=b^2-4ac$$

$D$ の符号で根の姿が変わり、解の形もそのまま変わる。

重根のときだけ $x$ が付く

$D=0$ なら根は $\lambda =-\frac{b}{2a}$ の 1 つだけ。解が 1 本しか作れない。

もう 1 本を探すのに、階数低下法を使う^[1]。$y=u(x)e^{\lambda x}$ と置いて代入する。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =(u^{\prime }+\lambda u)e^{\lambda x}\\ y^{\prime \prime }& =(u^{\prime \prime }+2\lambda u^{\prime }+{\lambda }^{2}u)e^{\lambda x}\end{array}$$

方程式に入れて $e^{\lambda x}$ でくくると、$u$ についての式が残る。

$$a{u}^{\prime \prime }+(2a\lambda +b)u^{\prime }+(a{\lambda }^2+b\lambda +c)u=0$$

$u$ の係数は特性方程式そのもので $0$。$u^{\prime }$ の係数は $2a\lambda +b$ で、$\lambda =-\frac{b}{2a}$ を入れるとこれも $0$ になる。

$$a{u}^{\prime \prime }=0⟹u=c_1+c_{2}x$$

$u$ が 1 次式まで許される。だから $y=(c_1+c_{2}x)e^{\lambda x}$ になる^[4]。

$x$ が付くのは、重根のときに $u^{\prime }$ の係数が消えるからである。単根なら $2a\lambda +b\ne 0$ で、$u$ は定数に縛られる。

2 本が独立であること

ロンスキアンを計算して確かめる。$y_1=e^{\lambda x}$、$y_2=x{e}^{\lambda x}$ とする。

$$W=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }=e^{\lambda x}(1+\lambda x)e^{\lambda x}-x{e}^{\lambda x}\cdot \lambda e^{\lambda x}=e^{2\lambda x}$$

$\lambda x$ の項が打ち消して、指数関数だけが残った。$0$ にならないので独立である^[1]。

異なる 2 実根の場合も同じように計算できる。$W=({\lambda }_2-{\lambda }_1)e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}$ で、根が違えば $0$ にならない。

複素根のとき

$\lambda =\alpha \pm \mathrm{i}\beta$ とする。指数関数をオイラーの公式で分ける。

$$e^{(\alpha +\mathrm{i}\beta )x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+\mathrm{i}\sin \beta x)$$

方程式の係数が実数なので、複素数の解の実部と虚部は別々に解になる。代入して実部と虚部を比べれば分かる。

$$y=e^{\alpha x}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$

$\alpha$ が振幅の増減を、$\beta$ が振動の速さを決める。$\alpha <0$ なら振動しながら収まっていく。

例：4 つ並べて解く

異なる 2 実根から始める。

$$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0⟹y=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}$$

重根の例はこうなる。

$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0⟹y=(c_1+c_{2}x)e^x$$

純虚数の根では、指数部分が消える。

$$y^{\prime \prime }+y=0⟹y=c_1\cos x+c_2\sin x$$

実部と虚部の両方があるとどうなるか。${\lambda }^2+2\lambda +5=0$ の根は $-1\pm 2\mathrm{i}$ である。

$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0⟹y=e^{-x}(c_1\cos 2x+c_2\sin 2x)$$

ばねに置き換える

質量 $m$、ばね定数 $k$、抵抗の係数 $c$ の運動を書く。

$$m{x}^{\prime \prime }+c{x}^{\prime }+kx=0$$

$\gamma =\frac{c}{2m}$、${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ と置くと、特性方程式の根が見やすくなる^[2]。

$$\lambda =-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}$$

$\gamma$ が抵抗の強さ、${\omega }_0$ が抵抗なしのときの振動数である。根号の中の符号が、そのまま判別式の符号にあたる。

抵抗を強くしていくと、複素数だった 2 つの根が実軸まで降りてきて、そこで重なる。さらに強くすると左右に分かれる。

根が円弧に沿って降りてきて、実軸で 1 点に集まる。そこから先は、片方が原点へ、もう片方が遠くへ動く。

臨界減衰がいちばん速い

抵抗を強くすればするほど速く止まる、と思いたくなる。実際は逆で、$\gamma >{\omega }_0$ では遅くなる^[3]。

過減衰の 2 つの根のうち、遅いほうを見る。

$${\lambda }_{+}=-\gamma +\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}$$

$\gamma$ を大きくすると根号が $\gamma$ に近づき、${\lambda }_{+}$ は $0$ に近づく。長い時間で残るのはこの項なので、戻りが遅くなる。

$\gamma \to \infty$ での振る舞いを見ておく。根号を展開すると次のようになる。

$${\lambda }_{+}\approx -\gamma +\gamma \left(1-\frac{{\omega }_0^2}{2{\gamma }^2}\right)=-\frac{{\omega }_0^2}{2\gamma }$$

抵抗を 2 倍にすると、戻る速さが半分になる。粘り気の強い液体の中では、物はゆっくりしか動けない。

不足減衰の側では、包絡線が $e^{-\gamma t}$ で落ちる。$\gamma <{\omega }_0$ なので、こちらも ${\omega }_0$ より遅い。

両側から見て、いちばん速いのは $\gamma ={\omega }_0$。減衰の速さが ${\omega }_0$ に達するのは、この 1 点だけである^[3]。

体重計の針が一度で止まるのも、自動ドアが跳ね返らずに閉まるのも、この点を狙って設計されているからである^[2]。

電気回路でも同じ

コイル $L$、抵抗 $R$、コンデンサ $C$ を直列につないだ回路の電荷は、次の式に従う。

$$L{q}^{\prime \prime }+R{q}^{\prime }+\frac{1}{C}q=0$$

ばねの式と文字が違うだけで、形は同一である。$L$ が質量、$R$ が抵抗、$\frac{1}{C}$ がばね定数の役をする。

$R$ が小さければ電流が振動し、大きければ振動せずに減衰する。境目の $R=2\sqrt{L/C}$ が臨界減衰にあたる。

検算のしかた

まず特性方程式の 1 次の係数を確かめる。$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy$ なら $a{\lambda }^2+b\lambda +c$ で、係数はそのまま移る。

根を 1 つ選び、$e^{\lambda x}$ をもとの式に入れ直す。$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y$ に $y=e^{2x}$ なら $4-6+2=0$ で合う。

重根のときは $x{e}^{\lambda x}$ のほうも代入する。$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y$ に $y=x{e}^x$ を入れると、$(x+2)e^x-2(x+1)e^x+x{e}^x=0$ になる。

複素根では $\beta$ の符号をどちらにとっても同じ一般解が出る。$c_1$ と $c_2$ の置き換えで吸収されるためである。

微分で形が変わらない関数を入れ、2 次方程式を解く。判別式が $0$ のときだけ $x$ が生えるのは、階数低下法で $u^{\prime }$ の係数が消えるからである。

出典