判別式が 0 のときだけ x が生える、定数係数の 2 階同次線形微分方程式

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ に $y = e^{λ x}$ を入れると、共通因子 $e^{λ x}$ でくくれる。

$(λ^{2} - 3 λ + 2) e^{λ x} = 0 ⟹ λ^{2} - 3 λ + 2 = 0$

微分方程式が 2 次方程式に化けた。根は $1$ と $2$ で、一般解は $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x}$ である。

なぜ $e^{λ x}$ を入れると通るのか。判別式が $0$ のとき $x$ が付くのはなぜか。順に見ていく。

微分で形が変わらない関数

$y^{'} = λ y$ を満たす関数は $e^{λ x}$ の定数倍しかない。微分しても、自分の定数倍に戻る。

だから $y^{''}$ も $y^{'}$ も $y$ も、すべて $e^{λ x}$ の定数倍になる。定数係数で足し合わせても $e^{λ x}$ の定数倍のまま。

$a y^{''} + b y^{'} + cy = (a λ^{2} + bλ + c) e^{λ x}$

$e^{λ x}$ は決して $0$ にならないので、括弧の中が $0$ であればよい。これが特性方程式である。

$e^{λ x}$ を仮定するのは当てずっぽうではなく、微分演算子の固有関数を探していることにあたる。

微分を「掛け算 $λ$ 」に変える関数が $e^{λ x}$ で、線形代数の固有ベクトルと同じ役回りをもつ。

判別式が場合を分ける

$a λ^{2} + bλ + c = 0, D = b^{2} - 4 a c$

$D$ の符号で根の姿が変わり、解の形もそのまま変わる。

重根のときだけ $x$ が付く

$D = 0$ なら根は $λ = - \frac{b}{2 a}$ の 1 つだけ。解が 1 本しか作れない。

もう 1 本を探すのに、階数低下法を使う^[1]。 $y = u (x) e^{λ x}$ と置いて代入する。

$y^{'} y^{''} = (u^{'} + λ u) e^{λ x} = (u^{''} + 2 λ u^{'} + λ^{2} u) e^{λ x}$

方程式に入れて $e^{λ x}$ でくくると、 $u$ についての式が残る。

$a u^{''} + (2 aλ + b) u^{'} + (a λ^{2} + bλ + c) u = 0$

$u$ の係数は特性方程式そのもので $0$ 。 $u^{'}$ の係数は $2 aλ + b$ で、 $λ = - \frac{b}{2 a}$ を入れるとこれも $0$ になる。

$a u^{''} = 0 ⟹ u = c_{1} + c_{2} x$

$u$ が 1 次式まで許される。だから $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{λ x}$ になる^[4]。

$x$ が付くのは、重根のときに $u^{'}$ の係数が消えるからである。単根なら $2 aλ + b \neq = 0$ で、 $u$ は定数に縛られる。

2 本が独立であること

ロンスキアンを計算して確かめる。 $y_{1} = e^{λ x}$ 、 $y_{2} = x e^{λ x}$ とする。

$W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'} = e^{λ x} (1 + λ x) e^{λ x} - x e^{λ x} \cdot λ e^{λ x} = e^{2 λ x}$

$λ x$ の項が打ち消して、指数関数だけが残った。 $0$ にならないので独立である^[1]。

異なる 2 実根の場合も同じように計算できる。 $W = (λ_{2} - λ_{1}) e^{(λ_{1} + λ_{2}) x}$ で、根が違えば $0$ にならない。

複素根のとき

$λ = α \pm i β$ とする。指数関数をオイラーの公式で分ける。

$e^{(α + i β) x} = e^{α x} (cos β x + i sin β x)$

方程式の係数が実数なので、複素数の解の実部と虚部は別々に解になる。代入して実部と虚部を比べれば分かる。

$y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

$α$ が振幅の増減を、 $β$ が振動の速さを決める。 $α < 0$ なら振動しながら収まっていく。

例：4 つ並べて解く

異なる 2 実根から始める。

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0 ⟹ y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x}$

重根の例はこうなる。

$y^{''} - 2 y^{'} + y = 0 ⟹ y = (c_{1} + c_{2} x) e^{x}$

純虚数の根では、指数部分が消える。

$y^{''} + y = 0 ⟹ y = c_{1} cos x + c_{2} sin x$

実部と虚部の両方があるとどうなるか。 $λ^{2} + 2 λ + 5 = 0$ の根は $- 1 \pm 2 i$ である。

$y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0 ⟹ y = e^{- x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sin 2 x)$

ばねに置き換える

質量 $m$ 、ばね定数 $k$ 、抵抗の係数 $c$ の運動を書く。

$m x^{''} + c x^{'} + k x = 0$

$γ = \frac{c}{2 m}$ 、 $ω_{0} = \frac{k}{m}$ と置くと、特性方程式の根が見やすくなる^[2]。

$λ = - γ \pm γ^{2} - ω_{0}^{2}$

$γ$ が抵抗の強さ、 $ω_{0}$ が抵抗なしのときの振動数である。根号の中の符号が、そのまま判別式の符号にあたる。

条件	呼び名	動き
$γ < ω_{0}$	不足減衰	振動しながら振幅が落ちる
$γ = ω_{0}$	臨界減衰	振動せずに戻る
$γ > ω_{0}$	過減衰	振動せず、ゆっくり戻る

抵抗を強くしていくと、複素数だった 2 つの根が実軸まで降りてきて、そこで重なる。さらに強くすると左右に分かれる。

根が円弧に沿って降りてきて、実軸で 1 点に集まる。そこから先は、片方が原点へ、もう片方が遠くへ動く。

臨界減衰がいちばん速い

抵抗を強くすればするほど速く止まる、と思いたくなる。実際は逆で、 $γ > ω_{0}$ では遅くなる^[3]。

過減衰の 2 つの根のうち、遅いほうを見る。

$λ_{+} = - γ + γ^{2} - ω_{0}^{2}$

$γ$ を大きくすると根号が $γ$ に近づき、 $λ_{+}$ は $0$ に近づく。長い時間で残るのはこの項なので、戻りが遅くなる。

$γ \to \infty$ での振る舞いを見ておく。根号を展開すると次のようになる。

$λ_{+} \approx - γ + γ (1 - \frac{ω _{0}^{2}}{2 γ ^{2}}) = - \frac{ω _{0}^{2}}{2 γ}$

抵抗を 2 倍にすると、戻る速さが半分になる。粘り気の強い液体の中では、物はゆっくりしか動けない。

不足減衰の側では、包絡線が $e^{- γ t}$ で落ちる。 $γ < ω_{0}$ なので、こちらも $ω_{0}$ より遅い。

両側から見て、いちばん速いのは $γ = ω_{0}$ 。減衰の速さが $ω_{0}$ に達するのは、この 1 点だけである^[3]。

体重計の針が一度で止まるのも、自動ドアが跳ね返らずに閉まるのも、この点を狙って設計されているからである^[2]。

抵抗が足りない

行き過ぎて戻る。針が左右に振れてなかなか読めない

抵抗が強すぎる

行き過ぎはしないが、目的の位置に着くまで待たされる

電気回路でも同じ

コイル $L$ 、抵抗 $R$ 、コンデンサ $C$ を直列につないだ回路の電荷は、次の式に従う。

$L q^{''} + R q^{'} + \frac{1}{C} q = 0$

ばねの式と文字が違うだけで、形は同一である。 $L$ が質量、 $R$ が抵抗、 $\frac{1}{C}$ がばね定数の役をする。

$R$ が小さければ電流が振動し、大きければ振動せずに減衰する。境目の $R = 2 L / C$ が臨界減衰にあたる。

検算のしかた

まず特性方程式の 1 次の係数を確かめる。 $a y^{''} + b y^{'} + cy$ なら $a λ^{2} + bλ + c$ で、係数はそのまま移る。

根を 1 つ選び、 $e^{λ x}$ をもとの式に入れ直す。 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y$ に $y = e^{2 x}$ なら $4 - 6 + 2 = 0$ で合う。

重根のときは $x e^{λ x}$ のほうも代入する。 $y^{''} - 2 y^{'} + y$ に $y = x e^{x}$ を入れると、 $(x + 2) e^{x} - 2 (x + 1) e^{x} + x e^{x} = 0$ になる。

複素根では $β$ の符号をどちらにとっても同じ一般解が出る。 $c_{1}$ と $c_{2}$ の置き換えで吸収されるためである。

$y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0$ の一般解はどれですか。

$c_{1} e^{- 2 x} + c_{2} e^{2 x}$
$(c_{1} + c_{2} x) e^{- 2 x}$
$e^{- 2 x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sin 2 x)$

__RESULT__

特性方程式は $λ^{2} + 4 λ + 4 = (λ + 2)^{2}$ で、 $λ = - 2$ の重根です。判別式が $16 - 16 = 0$ なので、 $x$ が 1 つ付いた形になります。ばねで言えば臨界減衰にあたり、振動せずにいちばん速く戻る場合です。

微分で形が変わらない関数を入れ、2 次方程式を解く。判別式が $0$ のときだけ $x$ が生えるのは、階数低下法で $u^{'}$ の係数が消えるからである。

出典

*Repeated Roots and Reduction of Order*. Ordinary Differential Equations, Union College.

Y. D. Chong. *General Solution for the Damped Harmonic Oscillator*/05%3A_Complex_Oscillations/5.03%3A_General_Solution_for_the_Damped_Harmonic_Oscillator). Complex Methods for the Sciences.

*Why is critical damping the fastest return to equilibrium?*. PHY361, Duke University.

Paul Dawkins. *Repeated Roots*. Paul's Online Notes, Lamar University.

$y = e^{\lambda x}$ を入れると共通因子でくくれて、$a\lambda^2+b\lambda+c=0$ だけが残ります。微分しても自分の定数倍に戻る関数だから通る。重根のときは $y = u(x)e^{\lambda x}$ と置くと、$u'$ の係数 $2a\lambda+b$ が $\lambda = -b/2a$ でちょうど消え、$au''=0$ から $u = c_1+c_2x$ が出ます。$x$ が生えるのはこの 1 か所が消えるためです。ロンスキアンは $e^{2\lambda x}$ で、決して $0$ になりません。ばねに置き換えると判別式の符号が減衰の種類に対応し、抵抗を強くしすぎると遅い根 $-\omega_0^2/2\gamma$ が残って戻りが鈍くなる。いちばん速いのは臨界減衰の 1 点だけです。