定数係数同次線形微分方程式

係数が定数の2階同次線形微分方程式は、指数関数 $e^{λ x}$ を解として仮定することで、代数方程式（特性方程式）に帰着できます。特性方程式の根の種類によって解の形が変わります。

標準形

$a y^{''} + b y^{'} + cy = 0 (a, b, c は定数, a \neq = 0)$

$a$ で割って、

$y^{''} + p y^{'} + q y = 0 (p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a})$

と書くこともあります。

$y = e^{λ x}$ と仮定して代入します。 $y^{'} = λ e^{λ x}$ , $y^{''} = λ^{2} e^{λ x}$ なので、

$a λ^{2} e^{λ x} + bλ e^{λ x} + c e^{λ x} = 0$

$e^{λ x} \neq = 0$ で割ると、

$a λ^{2} + bλ + c = 0$

これを特性方程式といいます。2次方程式なので、根は2つ（重複を込めて）あります。

特性方程式の判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ によって、解の形が変わります。

D > 0

：異なる2実根

λ_{1}

λ_{2}

一般解は $y = c_{1} e^{λ_{1} x} + c_{2} e^{λ_{2} x}$ 。

D = 0

：重根

λ

一般解は $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{λ x}$ 。

D < 0

：複素共役根

α \pm i β

一般解は $y = e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$ 。

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$

特性方程式 $λ^{2} - 3 λ + 2 = 0$ を解くと、 $(λ - 1) (λ - 2) = 0$ より $λ = 1, 2$ 。

一般解は $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x}$ です。

$y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$

特性方程式 $λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$ より $(λ - 1)^{2} = 0$ 、 $λ = 1$ （重根）。

重根の場合、 $e^{x}$ だけでは1つの解しか得られません。もう1つの独立な解は $x e^{x}$ で与えられます。

一般解は $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{x}$ です。

$y^{''} + y = 0$

特性方程式 $λ^{2} + 1 = 0$ より $λ = \pm i$ 。

形式的には $y = c_{1} e^{i x} + c_{2} e^{- i x}$ ですが、オイラーの公式 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ を使うと、実数の解として

$y = c_{1} cos x + c_{2} sin x$

が得られます。これは単振動の一般解です。

複素根 $α \pm i β$ （ $α < 0$ ）の場合、

$y = e^{αx} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$

は振動しながら減衰する解になります。これは摩擦のある振動系の運動を表します。

過減衰（

D > 0

）

振動せず、単調に平衡点へ近づく。2つの実指数関数の和。

臨界減衰（

D = 0

）

振動せず、最も速く平衡点へ近づく。 $(c_{1} + c_{2} x) e^{λ x}$ の形。

特性方程式による解法は、機械的に一般解を求められる強力な手法です。