デデキント整域の 3 条件、元が壊れてもイデアルは一通り

元の段階では $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ と $2$ 通りに分かれます。イデアルの段階へ上げると分解は $1$ 通りに戻る。

この復活を保証する条件は、たった $3$ つの言葉で書けます。デデキント整域の定義です^[1]。

条件は 3 つだけ

整域 $A$ がデデキント整域であるとは、次の $3$ つを満たすこと^[1][3]。

$3$ 番目は、素イデアルの階層が $1$ 段しかないという意味です。クルル次元が $1$ と言いかえられます^[2]。

外れる例を見ると条件の役割が分かります。$\mathbb{Z}[X]$ は整閉でネーターですが、$3$ 番目で落ちる^[1]。$(X)$ は $0$ でない素イデアルなのに、$(2,X)$ に真に含まれるので極大ではありません。

段が $3$ つあると、分解の「一番下」が定まりません。素イデアルを掛け合わせて表す、という枠組みが崩れます。

整数環はいつでも満たす

数体 $K$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ は、$3$ つとも満たします^[3]。確かめ方はどれも短い。

整閉であることは定義そのものです。${\mathcal{O}}_K$ は $K$ の中の代数的整数全体なので、$K$ の中に整な元が残ることはありません。

ネーターであることは、${\mathcal{O}}_K$ が $\mathbb{Z}$ 加群として階数 $n=[K:\mathbb{Q}]$ の自由加群になることから出ます。イデアルはその部分加群なので、生成元は $n$ 個以下。

$3$ 番目は剰余環を見ます。$\mathfrak{p}\ne 0$ が素イデアルなら ${\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}$ は整域で、しかも有限個の元しか持ちません。有限整域は体なので、$\mathfrak{p}$ は極大です^[3]。

含むことは割ること

デデキント整域でいちばん働く定理がこれです。$0$ でないイデアル $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{a}\supset \mathfrak{b}$ と $\mathfrak{a}\mid \mathfrak{b}$ が同値になります^[1]。

割り切るとは、$\mathfrak{b}=\mathfrak{ac}$ となるイデアル $\mathfrak{c}$ があること。$\mathfrak{c}={\mathfrak{a}}^{-1}\mathfrak{b}$ とおけば、これが ${\mathcal{O}}_K$ のイデアルになっていて、$\mathfrak{ac}=\mathfrak{b}$ です^[1]。

大きいイデアルほど小さい数を割る、という向きが逆さまに感じられます。$\mathbb{Z}$ で考えると納得できる。$(2)\supset (6)$ で、実際 $2\mid 6$ です。

この同値のおかげで、包含関係の計算がそのまま整除の計算になります。集合として大きいかどうかを見れば、割り切るかどうかが分かる。

分数イデアルが群をなす

逆元を作るには、${\mathcal{O}}_K$ の外へ出る必要があります。$K$ の部分 ${\mathcal{O}}_K$ 加群 $I$ で、ある $d\ne 0$ について $dI\subset {\mathcal{O}}_K$ となるものを分数イデアルと呼びます^[1]。

$\mathbb{Q}$ で言えば $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ や $\frac{5}{6}\mathbb{Z}$ が分数イデアルです^[1]。分母を払えば通常のイデアルに戻る。

$0$ でない分数イデアルの全体は、掛け算について群になります。これがデデキント整域の特徴づけの $1$ つで、逆に分数イデアルが群をなす整域はデデキント整域です^[2]。

分解は一意に決まる

道具が揃うと定理が出ます。${\mathcal{O}}_K$ の $0$ でない真のイデアルは、$0$ でない素イデアルの積として一意に表される^[1]。

$$\mathfrak{a}={\mathfrak{p}}_1^{e_1}{\mathfrak{p}}_2^{e_2}\cdots {\mathfrak{p}}_r^{e_r}$$

順序を除いて一意です。元の分解が何通りあっても、イデアルの分解は $1$ 通りに定まります。

上の $2$ 通りは、下の $4$ つの素イデアルを ${\mathfrak{p}}^2=(2)$ と $\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}=(3)$ で束ねるか、$\mathfrak{pq}=(1+\sqrt{-5})$ と $\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{q}}=(1-\sqrt{-5})$ で束ねるかの違いです。

例：小さい素数を分けてみる

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で、有理素数がどう分かれるかを実際に計算します。判別式が $-20$ なので、分岐するのは $2$ と $5$ だけ。

$3$ の場合を検算します。$N(1+\sqrt{-5})=6=2\cdot 3$ なので、$1+\sqrt{-5}$ は $3$ を割る素イデアルに入っている。$7$ なら $N(3+\sqrt{-5})=14=2\cdot 7$ が同じ役をします。

$11$ が分かれない理由は平方剰余です。$-5\equiv 6(\mathrm{mod}11)$ で、$11$ を法とする平方数は $1,3,4,5,9$ の $5$ 個。$6$ は入っていません。

最大公約数は和、最小公倍数は共通部分

分解が一意になると、整数と同じ言葉づかいが戻ってきます。$\mathfrak{a}=\prod {\mathfrak{p}}_i^{m_i}$、$\mathfrak{b}=\prod {\mathfrak{p}}_i^{n_i}$ と書いたとき、次が成り立つ^[1]。

$$\gcd (\mathfrak{a},\mathfrak{b})=\mathfrak{a}+\mathfrak{b},\mathrm{lcm}(\mathfrak{a},\mathfrak{b})=\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$$

指数はそれぞれ $\min (m_i,n_i)$ と $\max (m_i,n_i)$ です。$\min +\max =m_i+n_i$ なので $(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})(\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b})=\mathfrak{ab}$ も出ます^[1]。

整数で $\gcd (a,b)\cdot \mathrm{lcm}(a,b)=ab$ が成り立つのと同じ形。失われていた最大公約数が、イデアルの言葉では和として書けるようになっています。

もう $1$ つ実用的な事実があります。${\mathcal{O}}_K$ のどのイデアルも高々 $2$ 個の元で生成でき、$1$ つ目は $0$ でない元を自由に選んでよい^[1]。

数論の外にもいる

デデキント整域は整数論だけの概念ではありません。$k$ を体、$f\in k[X,Y]$ を既約とし、$f$ と偏導関数 $f_X$、$f_Y$ が $k[X,Y]$ 全体を生成するとします。このとき $k[X,Y]/(f)$ がデデキント整域になる^[3]。

幾何の言葉なら、特異点を持たないアフィン代数曲線の座標環です^[3]。

$\mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ が具体例で、一意分解は成り立ちません^[3]。$Y^2=(1-X)(1+X)$ と $2$ 通りに分かれ、$Y$ と $X-1$ には最大公約数がない。

円周という素朴な図形の上で、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ と同じことが起きています。デデキント整域という条件が、数論と幾何の両方を同時に説明している。

一意分解を捨てるかわりに、対象を元からイデアルへ移す。この置き換え 1 回で、整除も最大公約数も素因数分解も、そのままの形で使えるようになります。

参考