サイクロイドの面積は転がる円のちょうど 3 倍……媒介変数のまま積分できる

半径 $r$ の円を直線の上で転がすと、円周上の 1 点がサイクロイドを描きます。1 山と $x$ 軸で囲まれた面積は $3\pi r^2$。

転がる円の面積 $\pi r^2$ のちょうど 3 倍です。この値は 1634 年に求められました^[1]。

曲線が $y=f(x)$ の形になっていないため、面積の式もそのままでは書けません。$x$ と $y$ が両方とも $t$ で書かれている。

置換積分を使えば、$t$ のまま計算できます。

$ydx$ を $t$ で書きかえる

面積の式は $S={\int }_a^{b}ydx$ です。ここに $x=f(t)$、$y=g(t)$ を入れます。

$dx=f^{\prime }(t)dt$ だから、$ydx$ は $g(t)f^{\prime }(t)dt$ に変わる。$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで動くあいだに $x$ が $a$ から $b$ まで動くとすると、次の形になります。

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }g(t)f^{\prime }(t)dt$$

新しい公式ではありません。$ydx$ の $y$ と $dx$ をそれぞれ $t$ の式にとりかえただけです。

例 1：サイクロイドのアーチ

サイクロイドは次の式で表されます。$0\le t\le 2\pi$ で 1 山ぶん。

$$x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t)$$

$\frac{dx}{dt}=r(1-\cos t)$ です。$y$ と同じ形になりました。

$$S={\int }_0^{2\pi }r(1-\cos t)\cdot r(1-\cos t)dt=r^2{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{2}dt$$

中を展開し、${\cos }^{2}t$ を $\frac{1+\cos 2t}{2}$ に直します。

$$\begin{array}{rl}(1-\cos t{)}^2& =1-2\cos t+{\cos }^{2}t\\ & =\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}\end{array}$$

$\cos t$ と $\cos 2t$ は $0$ から $2\pi$ まで積分すると消えます。残るのは定数の項だけ。

$$S=r^2\times \frac{3}{2}\times 2\pi =3\pi r^2$$

向きが逆になるとき

$t$ が増えるあいだに $x$ が減ることがあります。このとき $f^{\prime }(t)<0$ で、$g(t)f^{\prime }(t)$ も負になる。

積分の値は負になりますが、面積そのものは正です。区間の順を入れかえるか、答えの符号を反転させます。

$${\int }_{\beta }^{\alpha }g(t)f^{\prime }(t)dt=-{\int }_{\alpha }^{\beta }g(t)f^{\prime }(t)dt$$

どちらを使ってもよい。大事なのは、$x=a$ に対応する $t$ を下端、$x=b$ に対応する $t$ を上端に置くことです。

例 2：楕円の面積

楕円は次のように書けます。

$$x=a\cos t,y=b\sin t(0\le t\le 2\pi )$$

第 1 象限だけを求めて 4 倍します。$x$ が $0$ から $a$ へ動くとき、$t$ は $\frac{\pi }{2}$ から $0$ へ動く。向きが逆です。

$\frac{dx}{dt}=-a\sin t$ だから、次のようになります。

$$\begin{array}{rl}{S}_1& ={\int }_{\pi /2}^{0}b\sin t\cdot (-a\sin t)dt\\ & =ab{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt\\ & =ab\times \frac{\pi }{4}\end{array}$$

区間を入れかえたところで $-$ が消えました。全体は $4S_1=\pi ab$ です。

例 3：円で確かめる

例 2 で $a=b=r$ とすると $\pi r^2$。円の面積に戻りました。

楕円は円を縦に $\frac{b}{a}$ 倍へ押しつぶした形だから、面積も $\frac{b}{a}$ 倍になるはずです。$\pi a^2\times \frac{b}{a}=\pi ab$ で合っています。

媒介変数の計算は符号のとり違えが起きやすいところ。答えが求まったら、こうして知っている形に戻して見比べます。

例 4：アステロイド

星形の曲線です。$0\le t\le 2\pi$ で 1 周します^[2]。

$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$$

$\frac{dx}{dt}=-3a{\cos }^{2}t\sin t$ です。1 周ぶんの $ydx$ を計算し、符号を反転させます。

$$\begin{array}{rl}S& =-{\int }_0^{2\pi }a{\sin }^{3}t\times (-3a{\cos }^{2}t\sin t)dt\\ & =3a^2{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{4}t{\cos }^{2}tdt\end{array}$$

${\sin }^{4}t{\cos }^{2}t$ を 1 周ぶん積分すると $\frac{\pi }{8}$ になります。

$$S=3a^2\times \frac{\pi }{8}=\frac{3\pi a^2}{8}$$

星形は $x$ 軸と $y$ 軸の両方向に $a$ ずつ張り出すため、差し渡し $2a$ の正方形にちょうど収まります。正方形の面積 $4a^2$ に対する割合は $\frac{3\pi }{32}\fallingdotseq 0.29$ で、3 割ほど。

例 5：ループを囲む面積

次の曲線を $-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}$ で描くと、輪が 1 つできます。

$$x=t^2,y=t^3-3t$$

$x$ は $t$ の偶数乗だけ、$y$ は奇数乗だけ。$t$ を $-t$ にとりかえると $x$ は変わらず、$y$ の符号だけ反転する。この曲線は $x$ 軸について対称です。

$t=\pm \sqrt{3}$ でどちらも $x=3$、$y=0$。同じ点を 2 回通るところが、輪の交点になります。

下半分だけを計算して 2 倍します。$0\le t\le \sqrt{3}$ では $y\le 0$、$\frac{dx}{dt}=2t\ge 0$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\sqrt{3}}(t^3-3t)(2t)dt& ={\int }_0^{\sqrt{3}}(2t^4-6t^2)dt\\ & ={\left[\frac{2t^5}{5}-2t^3\right]}_0^{\sqrt{3}}\\ & =\frac{18\sqrt{3}}{5}-6\sqrt{3}=-\frac{12\sqrt{3}}{5}\end{array}$$

値が負になったのは $y\le 0$ の側を測ったためです。絶対値をとって 2 倍する。

$$S=2\times \frac{12\sqrt{3}}{5}=\frac{24\sqrt{3}}{5}\fallingdotseq 8.31$$

区間のとり方に気をつける

$t$ の区間を決めるときは、$x$ が行ったり戻ったりしていないかを見ます。同じ $x$ の値を 2 回通ると、面積を二重に数えることになる。

例 5 のような輪では、行きと帰りで別々に扱うか、対称性を使って半分だけ計算します。

サイクロイドの 1 山では、$0\le t\le 2\pi$ のあいだ $\frac{dx}{dt}=r(1-\cos t)\ge 0$。$x$ は減らずに進むため、区間をそのまま使えます。

$ydx$ の 2 つを $t$ の式にとりかえ、区間も $t$ の値に書きかえる。$\frac{dx}{dt}$ の符号を見て向きをそろえれば、$x$ について解けない曲線でも面積が計算できます。

参考文献