媒介変数表示された曲線の面積

曲線が $y = f (x)$ の形で与えられていれば面積は $\int f (x) d x$ で求まるが、曲線が媒介変数（パラメータ） $t$ を使って $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ と表されている場合はどうするか。置換積分の考え方を使えば、媒介変数のまま面積を計算できる。

基本公式の導出

曲線 $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を考える。通常の面積公式 $S = \int_{a}^{b} y d x$ に対して、 $x = f (t)$ より $d x = f^{'} (t) d t$ と置換する。 $t$ が $α$ から $β$ に動くとき $x$ が $a$ から $b$ に動くなら、

$S = \int_{α}^{β} g (t) f^{'} (t) d t$

が成り立つ。これが媒介変数表示の面積公式だ。 $y d x$ を $g (t) f^{'} (t) d t$ に書き換えただけで、本質は置換積分そのものである。

ここで重要なのは、 $x$ の積分区間 $[a, b]$ と $t$ の積分区間 $[α, β]$ の対応関係を正しく把握することだ。

$t = α$ のとき $x = a$ 、 $t = β$ のとき $x = b$ となるように区間を設定する。 $f^{'} (t) < 0$ で $x$ が減少する場合は符号に注意が必要。

楕円の面積

媒介変数表示の面積計算で最も有名な例が楕円だ。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は、

$x = a cos t, y = b sin t (0 \leq t \leq 2 π)$

と媒介変数表示できる。第一象限（ $t$ が $0$ から $\frac{π}{2}$ ）の面積を求めて 4 倍すればよい。

第一象限では $t$ が $\frac{π}{2}$ から $0$ に動くとき $x$ が $0$ から $a$ に動く。 $d x = - a sin t d t$ だから、

$S_{1} = \int_{π /2}^{0} b sin t \cdot (- a sin t) d t = ab \int_{0}^{π /2} sin^{2} t d t$

半角公式 $sin^{2} t = \frac{1 - cos 2 t}{2}$ を使って、

$S_{1} = ab \int_{0}^{π /2} \frac{1 - cos 2 t}{2} d t = ab [\frac{t}{2} - \frac{sin 2 t}{4}]_{0}^{π /2} = \frac{πab}{4}$

よって楕円全体の面積は

$S = 4 S_{1} = πab$

$a = b = r$ とすれば円の面積 $π r^{2}$ に一致する。媒介変数表示を使うことで、楕円の面積公式が自然に導かれた。

直交座標で計算

$y = \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ を積分。ルートの処理が面倒

媒介変数で計算

$sin^{2} t$ の積分に帰着。半角公式だけで計算が完結

サイクロイドの面積

サイクロイドは、半径 $r$ の円が直線上を滑らずに転がるとき、円周上の一点が描く曲線で、

$x = r (t - sin t), y = r (1 - cos t) (0 \leq t \leq 2 π)$

と表される。一つのアーチと $x$ 軸で囲まれた面積を求めよう。

$d x = r (1 - cos t) d t$ だから、

$S = \int_{0}^{2 π} r (1 - cos t) \cdot r (1 - cos t) d t = r^{2} \int_{0}^{2 π} (1 - cos t)^{2} d t$

$(1 - cos t)^{2}$ を展開すると、

$(1 - cos t)^{2} = 1 - 2 cos t + cos^{2} t = 1 - 2 cos t + \frac{1 + cos 2 t}{2} = \frac{3}{2} - 2 cos t + \frac{cos 2 t}{2}$

各項を $0$ から $2 π$ で積分すると、 $cos t$ と $cos 2 t$ の項は消え、

$S = r^{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 π = 3 π r^{2}$

が得られる。サイクロイドのアーチの面積は、転がる円の面積 $π r^{2}$ のちょうど 3 倍になるという美しい結果だ。

楕円

媒介変数 $x = a cos t$ , $y = b sin t$ で表示。面積は $πab$ で、 $sin^{2} t$ の積分に帰着する。

サイクロイド

媒介変数 $x = r (t - sin t)$ , $y = r (1 - cos t)$ で表示。アーチの面積は $3 π r^{2}$ で、 $(1 - cos t)^{2}$ の展開と積分で求まる。

符号と向きに関する注意

媒介変数表示の面積計算では、 $t$ の増加方向と $x$ の増減が逆になる場合がある。楕円の例では $t$ が $\frac{π}{2}$ から $0$ に向かうとき $x$ が増加するため、積分区間を入れ替えて符号を調整した。

一般に、面積を正の値として得るためには次のルールに従う。

曲線の向き（ $t$ の増加方向）を確認

$x$ の増減方向を $f^{'} (t)$ の符号から判定

面積が負にならないよう積分区間と符号を調整

具体的には、 $g (t) \geq 0$ の領域で $f^{'} (t) < 0$ （ $x$ が減少）ならば $g (t) f^{'} (t) \leq 0$ となるので、積分値に $- 1$ を掛けるか、積分区間を逆にして対処する。

閉曲線の面積公式

曲線が閉じている場合（ $t$ が $α$ から $β$ で一周する場合）、面積は

$S = - \int_{α}^{β} g (t) f^{'} (t) d t = \int_{α}^{β} f (t) g^{'} (t) d t$

のいずれかで求まる。2 つの式を平均すると、対称性の高い公式

$S = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} (f (t) g^{'} (t) - g (t) f^{'} (t)) d t$

も得られる。この公式は閉曲線が反時計回りに一周するとき正の面積を与える。向きが逆なら符号が反転するので、絶対値を取ればよい。

媒介変数表示の面積計算は、置換積分の応用として自然に理解できる。公式を丸暗記するよりも、 $y d x$ に $g (t) f^{'} (t) d t$ を代入するという発想を身につけておけば、どんな曲線にも対応できる。