正規環の定義と性質

正規環は整閉性を一般化した概念であり、代数幾何学において「よい特異点」をもつ多様体に対応する。局所的な整閉性条件として定義され、因子理論と密接に関係する。

定義

可換環 $R$ が正規（normal）であるとは、$R$ が被約であり、各局所化 $R_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}$ は素イデアル）が整閉整域であることをいう。

$R$ が整域の場合、正規であることと整閉であること（$R$ がその商体の中で整閉）は同値になる。一般の場合は局所的な条件として定式化される。

Serre の条件

正規性は次の Serre の条件で特徴づけられる。ネーター環 $R$ が正規であることと、$R_1$ かつ $S_2$ を満たすことは同値だ。

具体例

多項式環 $k[x_1,\dots ,x_n]$ は正規である。$k$ が完全体なら、$k[x_1,\dots ,x_n]$ は整閉な UFD（一意分解整域）であり、特に正規だ。

$R=k[x,y]/(y^2-x^3)$ は正規ではない。この環は尖点をもつ曲線に対応し、原点で整閉性が破れる。実際、商体に $t=y/x$ をとると $t^2=x$ となり、$t$ は $R$ 上整だが $R$ に属さない。

一方、$R=k[x,y]/(y^2-x^3-x)$（$\mathrm{char}k\ne 2,3$）は正規である。滑らかな楕円曲線に対応し、特異点がないためだ。

正規化

任意の被約ネーター環 $R$ に対し、その正規化（normalization）$\tilde{R}$ が存在する。$\tilde{R}$ は $R$ を含む最小の正規環であり、$R$ の全商環における整閉包として構成される。

$R$ が整域なら、$\tilde{R}$ は $R$ の商体における $R$ の整閉包である。$R$ がネーター環なら $\tilde{R}$ は $R$ 上有限生成加群となる。

幾何学的意味

代数幾何学において、正規性は「余次元 1 の特異点がない」ことに対応する。$R_1$ 条件が余次元 1 での正則性を、$S_2$ 条件が代数的な「連結性」を保証している。

正規でない多様体の正規化は、特異点を「解消」する操作の一つである。ただし、正規化は完全な特異点解消ではなく、余次元 2 以上の特異点は残りうる。

Weil 因子と Cartier 因子

正規環上では Weil 因子の理論が展開できる。高さ 1 の素イデアルが離散付値に対応し、因子の理論が自然に定式化される。

正規環で Cartier 因子（局所的に単項イデアルで定義される因子）と Weil 因子が一致するのは、環が UFD のときに限られる。この差異は因子類群の構造に反映される。