Rees 環と随伴次数付き環〜イデアルの冪から接錐と爆発へ

$R=k[x,y]$、$I=(x,y)$ とします。$I^n/I^{n+1}$ は $n$ 次の同次式が並ぶ空間で、次元は $n+1$ です。

段ごとに集めて足し合わせると、もとの $k[x,y]$ がそのまま戻ってくる。イデアルの冪を次数に組み替える、という操作をしている。

この組み替えを 2 通りの環にまとめたものが、Rees 環と随伴次数付き環です。

イデアルの冪を並べる

$R$ を可換環、$I$ をイデアルとします。冪をとると、下がっていく列ができる。

$$R\supseteq I\supseteq I^2\supseteq I^3\supseteq \cdots$$

$I\cdot I^n\subseteq I^{n+1}$ が成り立ち、この列は $I$ 進フィルトレーションと呼ばれます^[1]。

包含だけを見ていると、どこまで下がるかしか分かりません。段と段の差を取り出すか、段を全部横に並べるか。方向が 2 つある。

Rees 環

段を横に並べるほうが Rees 環です。変数 $t$ を用意して、$n$ 段目に $t^n$ をかけて区別する。

$$\mathcal{R}(I)=R[It]=\underset{n\ge 0}{⨁}{I}^n{t}^n\subseteq R[t]$$

$n$ 次の成分が $I^n{t}^n$ になる次数付き環。$t$ の冪を見れば、何段目かが分かる。

$I=(a_1,\dots ,a_r)$ と生成されているなら、$\mathcal{R}(I)=R[a_{1}t,\dots ,a_{r}t]$ と書けます^[1]。$R$ に $r$ 個の元を添加しただけの環になる。

ネーター性はヒルベルトの基底定理から

$R$ がネーター環なら $\mathcal{R}(I)$ もネーター環です^[1]。証明は短い。

$I$ の生成元 $a_1,\dots ,a_r$ をとり、多項式環から写します。

$$\phi :R[X_1,\dots ,X_r]⟶\mathcal{R}(I),X_i⟼a_{i}t$$

$\mathcal{R}(I)$ は $a_{1}t,\dots ,a_{r}t$ で生成されるため、$\phi$ は全射です。ヒルベルトの基底定理から $R[X_1,\dots ,X_r]$ はネーター環で、その商もネーター環になる。

有限生成でないイデアルだと、この写像が用意できません。ネーター性がここで効く。

随伴次数付き環

段と段の差を取り出すほうが、随伴次数付き環です。

$${\mathrm{gr}}_I(R)=\underset{n\ge 0}{⨁}{I}^n/I^{n+1}$$

$0$ 次成分は $R/I$、$1$ 次成分は $I/I^2$。積は代表元の積で決める^[4]。

Rees 環から見ると、係数を $R/I$ へ落としたものになる。

$${\mathrm{gr}}_I(R)\cong \mathcal{R}(I)/I\mathcal{R}(I)\cong \mathcal{R}(I){\otimes }_{R}R/I$$

拡張 Rees 環では $t^{-1}$ で割る

$t^{-1}$ も入れた環を考えると、2 つの関係がはっきりします。

$$S=R[It,t^{-1}]\subseteq R[t,t^{-1}]$$

$t^{-1}$ は $S$ の中で零因子になりません。この元で割ると、随伴次数付き環になる。

$$S/(t^{-1})\cong {\mathrm{gr}}_I(R)$$

逆に $t^{-1}$ を可逆にすると $t$ が入り、$S$ は $R[t,t^{-1}]$ に広がる。$t^{-1}$ を座標と見ると、$0$ でないところの繊維が $R$、$0$ での繊維が ${\mathrm{gr}}_I(R)$。

$R$ を ${\mathrm{gr}}_I(R)$ へ動かす族が、1 つの環の中に収まる。

例：$\mathbb{Z}$ と $k[x,y]$

$\mathbb{Z}$ で $I=(p)$ をとります。$(p^n)/(p^{n+1})$ はどれも ${\mathbb{F}}_p$ と同型で、$p^n$ が基底。

$${\mathrm{gr}}_{(p)}(\mathbb{Z})\cong {\mathbb{F}}_p[X]$$

冪の段が、そのまま多項式の次数になる。

$R=k[x,y]$、$I=(x,y)$ では $I^n/I^{n+1}$ が $n$ 次の同次式の空間で、次元は $n+1$。

$${\mathrm{gr}}_I(R)\cong k[X,Y]$$

もとの環に戻りました。$I$ が同次イデアルで、$R$ が最初から次数付きだったからです。

接錐を座標環で書く

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環とし、$I=\mathfrak{m}$ をとります。${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)$ は、その点での接錐の座標環になる。

平面曲線で見ると分かりやすい。$J\subseteq k[x,y]$ で定まる曲線が原点を通るとします。

$f\in J$ の最低次の同次部分を初期形式といいます。初期形式が生成するイデアルが、接錐の方程式になる。

${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)$ が多項式環になることと、$R$ が正則局所環であることは同値になります。多項式環からずれた分が、特異点の情報。

例：尖点と結節点

$y^2=x^3$ の尖点を見ます。$y^2-x^3$ の最低次は $2$ 次の $y^2$。

$${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}\left(k[x,y]/(y^2-x^3)\right)\cong k[X,Y]/(Y^2)$$

接錐は $Y^2=0$ で、$X$ 軸が二重に重なった直線です。枝が $1$ 本しかない形が、そのまま出ている。

$y^2=x^2+x^3$ の結節点では、最低次が $y^2-x^2$ になる。

$${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}\left(k[x,y]/(y^2-x^2-x^3)\right)\cong k[X,Y]/(Y^2-X^2)$$

$Y^2-X^2=(Y-X)(Y+X)$ と分かれるため、接錐は交わる $2$ 本の直線。原点で $2$ 本の枝が交差する形に合います。

gr の性質は $R$ へ戻る

$\mathrm{gr}$ を見て分かることが、もとの環の性質へ戻ってきます。フィルトレーションが ${\bigcap }_n{I}^n=0$ を満たす場合です^[4]。

${\mathrm{gr}}_I(R)$ が整域なら、$R$ も整域になる。$a$、$b$ が $0$ でないとき、それぞれが属する最小の段をとって初期形式を見ればよい。

初期形式の積が $0$ でないなら、$ab$ も $0$ ではありません。

${\mathrm{gr}}_I(R)$ がネーター環なら $R$ もネーター環です^[4]。次数付きの側は単項式で扱えるぶん、判定が軽くなる。

Artin-Rees の補題へ

Rees 環は Artin-Rees の補題の土台になる。$M$ の部分加群の列 $M_n$ について、$M^{\#}={⨁}_n{M}_n$ を $\mathcal{R}(I)$ 加群と見る^[1]。

このとき次の 2 つが同値です^[1]。

$R$ がネーター環なら $\mathcal{R}(I)$ もネーター環で、部分加群も有限生成になる。ここから Artin-Rees の補題が導けます^[1]。

$$I^{n}M\cap N=I^{n-c}\left(I^{c}M\cap N\right)(n\ge c)$$

$N$ に入る側の減り方が、$I$ の冪と同じ速さでそろう、という主張になります。

Hilbert-Samuel 関数

$(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所環、$I$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアルとします。この条件があると $I^n/I^{n+1}$ の長さが有限になる。

$$H_I(n)={\ell }_R\left(I^n/I^{n+1}\right)$$

$n$ が十分大きいところで、$H_I(n)$ は $n$ の多項式に一致します。次数は $\dim R-1$。

$\mathfrak{m}$ 準素という条件を外すと長さが無限になり、この数え上げが動きません。

多項式の最高次の係数から重複度が読める。$k[x,y]$ の原点で $1$、尖点や結節点では $2$ になる。

爆発は Rees 環の Proj

$X=\mathrm{Spec}R$、$Z=V(I)$ とします。$Z$ に沿った $X$ の爆発は、Rees 環の Proj です^[2]。

$${\mathrm{Bl}}_Z(X)=\mathrm{Proj}\mathcal{R}(I)$$

例外因子は $Z$ の逆像で、$\mathrm{Proj}{\mathrm{gr}}_I(R)$ と同じものになります^[2]。接錐を射影化したものが、爆発でできた新しい部分。

古典的には、$X\times {\mathbb{P}}^{r-1}$ の中で $I$ の生成元の比を座標にとった閉集合として組み立てます^[3]。同じものを、環の側から Proj で書いたのが上の式になる。

イデアルの冪を横に並べれば Rees 環、段の差だけを残せば随伴次数付き環。前者は爆発を組み立て、後者は接錐を書きます。フィルトレーションを次数に置きかえるという 1 つの操作から、$2$ つの環が決まります。

参考