Rees環と随伴次数付き環

Rees 環と随伴次数付き環は、イデアルのフィルトレーションを次数付き構造に変換する道具である。爆発（blowing-up）の代数的定式化や、特異点の解析に不可欠な概念だ。

Rees 環の定義

$R$ を可換環、$I$ を $R$ のイデアルとする。$I$ に付随する Rees 環（Rees algebra）は

$$\mathcal{R}(I)=R[It]=\underset{n\ge 0}{⨁}{I}^n{t}^n\subset R[t]$$

で定義される。これは $R$ 上の次数付き代数であり、$t$ を形式的な変数とする。

$I=(a_1,\dots ,a_r)$ と生成されるとき、$\mathcal{R}(I)=R[a_{1}t,\dots ,a_{r}t]$ となる。

随伴次数付き環

$I$ に付随する随伴次数付き環（associated graded ring）は

$${\mathrm{gr}}_I(R)=\underset{n\ge 0}{⨁}{I}^n/I^{n+1}$$

で定義される。これは Rees 環の「ファイバー」として理解できる。

$${\mathrm{gr}}_I(R)\cong \mathcal{R}(I)/I\cdot \mathcal{R}(I)\cong \mathcal{R}(I){\otimes }_{R}R/I$$

爆発との関係

代数幾何学において、$X=\mathrm{Spec}R$、$Y=V(I)\subset X$ とする。$I$ に沿った $X$ の爆発（blowing-up）は

$${\mathrm{Bl}}_Y(X)=\mathrm{Proj}\mathcal{R}(I)$$

として構成される。例外因子は $\mathrm{Proj}{\mathrm{gr}}_I(R)$ に同型であり、これが $Y$ の「法錐」を与える。

局所環の場合

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環とする。${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)$ は重要な不変量を与える。

$R$ が正則局所環ならば、${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)\cong k[x_1,\dots ,x_d]$（$k=R/\mathfrak{m}$、$d=\dim R$）となる。多項式環が得られることは、$R$ が「特異点なし」であることを反映している。

一般の局所環では、${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)$ は多項式環にならない。この差異が特異点の情報を含んでいる。

Hilbert 関数

${\mathrm{gr}}_I(R)$ の各次数成分の次元（長さ）を追跡したものが Hilbert 関数である。

$$H_I(n)={\ell }_R(I^n/I^{n+1})$$

$n$ が十分大きいとき、$H_I(n)$ は $n$ の多項式となる。この多項式の次数と最高次係数が、$I$ の解析的性質を記述する。

具体例

$R=k[x,y]$、$I=(x,y)$ のとき、${\mathrm{gr}}_I(R)=k[x,y]$ となる（$R$ 自身と同型）。これは原点における正則性を反映している。

$R=k[x,y]/(y^2-x^3)$、$I=\mathfrak{m}=(x,y)$ のとき、${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}(R)\cong k[x,y]/(y^2)$ となる。$y^2$ が残ることが尖点の特異性を表している。

有限生成性

$R$ がネーター環で $I$ が有限生成イデアルならば、$\mathcal{R}(I)$ もネーター環である。これは Rees 環が「よい」代数的性質をもつことを保証し、Artin-Rees の補題の証明の基礎となる。