因子類群とPicard群

因子類群と Picard 群は、環や多様体の算術的・幾何学的性質を捉える重要な不変量である。UFD（一意分解整域）からのずれを測る指標として機能する。

Weil 因子と因子類群

$R$ を Krull 整域（正規ネーター整域で十分）とする。$R$ の Weil 因子とは、高さ 1 の素イデアルの形式的 $\mathbb{Z}$-線形結合

$$D=\sum _{\mathfrak{p}}{n}_{\mathfrak{p}}\cdot \mathfrak{p}$$

である。ここで $n_{\mathfrak{p}}\in \mathbb{Z}$ は有限個を除いて $0$ である。

主因子（principal divisor）とは、$f\in K^{\ast }=\mathrm{Frac}(R{)}^{\ast }$ に対して

$$\mathrm{div}(f)=\sum _{\mathfrak{p}}{v}_{\mathfrak{p}}(f)\cdot \mathfrak{p}$$

と定まる因子である。$v_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ における付値を表す。

因子類群と UFD

$R$ が UFD であることと $\mathrm{Cl}(R)=0$ は同値である。UFD では任意の Weil 因子が主因子となり、因子類群は自明になる。

逆に、$\mathrm{Cl}(R)\ne 0$ ならば $R$ は UFD ではない。因子類群は「一意分解からのずれ」を測っている。

Cartier 因子と Picard 群

Cartier 因子とは、局所的に主因子である因子のことだ。より正確には、$R$ の全商環 $K$ の単元からなるデータ $\{(U_i,f_i)\}$（$U_i=\mathrm{Spec}{R}_{s_i}$ が開被覆、$f_i\in K^{\ast }$）で、交わりで整合するものである。

主 Cartier 因子で割った商群を Picard 群 $\mathrm{Pic}(R)$ という。$\mathrm{Pic}(R)$ は $R$ の階数 1 射影加群の同型類のなす群と同型である。

Weil 因子と Cartier 因子の関係

一般に、任意の Cartier 因子は Weil 因子を定めるので、準同型

$$\mathrm{Pic}(R)\to \mathrm{Cl}(R)$$

が存在する。$R$ が局所的に UFD（たとえば正則）ならば、この写像は同型となる。

正規だが UFD でない環では、$\mathrm{Pic}(R)\to \mathrm{Cl}(R)$ は一般に同型にならない。この差異が環の幾何学的性質を反映する。

具体例

$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ を考える。これは整閉だが UFD ではない。実際、$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ という 2 通りの分解がある。

$\mathrm{Cl}(R)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、イデアル $(2,1+\sqrt{-5})$ が非自明な元を与える。

幾何学的解釈

代数幾何学では、$\mathrm{Pic}(X)$ は直線束の同型類のなす群と解釈される。$\mathrm{Cl}(X)$ は余次元 1 の部分多様体（因子）を分類する。

曲線の場合、${\mathrm{Pic}}^0(X)$（次数 0 の部分）は Jacobi 多様体と呼ばれるアーベル多様体となり、曲線の重要な不変量を与える。