双曲線の方程式と漸近線はどこから来るのか｜高校数学

$2$ つの焦点からの距離の差が一定になる点を集めると、双曲線になります。楕円が和で決まるのに対して、こちらは差です。

$∣ PF - P F^{'} ∣ = 2 a$

差なので、曲線は $2$ つに分かれます。焦点 $F$ に近い側と $F^{'}$ に近い側で、それぞれ $1$ 本ずつ。この $2$ 本を枝といいます。

$2$ 本のバーはどちらも伸び縮みしますが、長さの差は変わりません。楕円では合計が一定でしたが、こちらは差が一定です。

標準形

焦点を $(\pm c, 0)$ 、距離の差を $2 a$ として定義を座標で書き下すと、次の形になります。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

導き方は楕円と同じで、 $2$ 回 $2$ 乗して整理する。違うのは $b$ の決まり方です。

$b^{2} = c^{2} - a^{2}, つまり c^{2} = a^{2} + b^{2}$

楕円では $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ でした。双曲線では $c$ がいちばん大きい。焦点が頂点より外にあるためです。

頂点と軸

$y = 0$ を入れると $x = \pm a$ 。この $2$ 点が頂点で、曲線がいちばん内側に来る位置です。

$x = 0$ を入れると $- \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ となり、実数解がありません。双曲線は $y$ 軸と交わらない。

$- a < x < a$ の範囲に曲線は存在しません。式を $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \geq 1$ と見れば、 $∣ x ∣ \geq a$ が必要だと分かります。

漸近線

双曲線には、遠くで限りなく近づく $2$ 本の直線があります。

$y = \pm \frac{b}{a} x$

式の右辺の $1$ を $0$ に置きかえると出ます。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ を因数分解して

$(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) (\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 0$

この $2$ 本が漸近線です。 $1$ を $0$ にするだけ、という覚え方で足ります。

枝を伸ばしていくと、曲線が灰色の直線にどんどん近づきます。触れることはありませんが、離れ方が $0$ に向かう。

図に描いた長方形は、 $(\pm a, \pm b)$ を頂点とするもの。その対角線を伸ばしたものが漸近線です。この長方形を先に描くと、図がゆがみません。

描く手順

(±a, 0) に頂点を打つ

(±a, ±b) の長方形を描く

対角線を伸ばして漸近線にする

頂点から漸近線に沿って枝を伸ばす

いきなり曲線から描き始めると、開き具合が合いません。長方形と漸近線を先に置くと、形が決まります。

例で確かめる

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ を見ます。 $a = 3$ , $b = 4$ なので頂点は $(\pm 3, 0)$ 。

漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ 。焦点は $c^{2} = 9 + 16 = 25$ から $c = 5$ で $(\pm 5, 0)$ です。

$3$ , $4$ , $5$ の直角三角形が現れました。頂点から $b$ だけ縦に上がった点までの距離が $c$ になる、という関係です。

縦に開く双曲線

右辺が $- 1$ のとき、上下に開きます。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$

$x = 0$ を入れると $y = \pm b$ で、頂点は $y$ 軸上。焦点も $y$ 軸上の $(0, \pm c)$ で、 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ は変わりません。

漸近線も同じ $y = \pm \frac{b}{a} x$ です。右辺の $1$ を $0$ にする操作は、 $- 1$ でも結果が変わらないため。

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = - 1$ なら頂点 $(0, \pm 3)$ 、焦点 $(0, \pm 13)$ 、漸近線 $y = \pm \frac{3}{2} x$ になります。

直角双曲線

$a = b$ のとき、漸近線が $y = \pm x$ で直交します。これを直角双曲線といいます。

$x^{2} - y^{2} = 4$ なら $a = b = 2$ 。頂点 $(\pm 2, 0)$ 、焦点 $(\pm 22, 0)$ です。

$45$ 度回すと $x y = k$ の形になります。反比例のグラフも双曲線の仲間、というわけです。

中心が原点にないとき

$\frac{( x - p ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( y - q ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の中心は $(p, q)$ 。頂点は $(p \pm a, q)$ 、漸近線は中心を通る $y - q = \pm \frac{b}{a} (x - p)$ です。

展開された式は平方完成で戻します。 $4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x - 36 y - 68 = 0$ を整理してみます。

$4 (x^{2} - 2 x) - 9 (y^{2} + 4 y) = 68$

$4 {(x - 1)^{2} - 1} - 9 {(y + 2)^{2} - 4} = 68$ から $4 (x - 1)^{2} - 9 (y + 2)^{2} = 36$ 、 $36$ で割って

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} - \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$

中心 $(1, - 2)$ 、 $a = 3$ , $b = 2$ 。頂点は $(4, - 2)$ と $(- 2, - 2)$ 、漸近線は $y + 2 = \pm \frac{2}{3} (x - 1)$ です。

楕円との対比

$3$ つの量の関係を並べると、違いがはっきりします。

楕円

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 。焦点は頂点の内側にあり、曲線は閉じている。距離の和が一定。

双曲線

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。焦点は頂点の外側にあり、曲線は $2$ 本に分かれる。距離の差が一定。

式の上では、 $y^{2}$ の項の符号が $+$ か $-$ かという $1$ 文字の違いです。その $1$ 文字で、閉じた曲線と開いた曲線に分かれます。

2 つの焦点からの距離の差が一定になる点の集まりです。差なので曲線が 2 本に分かれ、c² = a² + b² と楕円の関係が入れ替わります。漸近線は右辺の 1 を 0 に置きかえて因数分解すれば出る。(±a, ±b) の長方形を先に描いて対角線を伸ばす手順、右辺が -1 のとき、直角双曲線、中心が原点にない場合まで例で追いました。