双曲線の方程式と漸近線｜高校数学

双曲線は楕円と同じく二次曲線の一種だが、その形状は大きく異なる。楕円が「2 つの焦点からの距離の和が一定」であるのに対し、双曲線は「距離の差が一定」という条件で定まる曲線である。ここでは双曲線の標準形の方程式を導き、漸近線との関係を詳しく見ていく。

双曲線の標準形

2 つの焦点 $F (c, 0)$ と $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の差の絶対値が $2 a$ （ただし $0 < a < c$ ）である点 $P (x, y)$ の軌跡が双曲線である。この条件を式で書くと、

$∣ PF - P F^{'} ∣ = 2 a$

となる。楕円のときと同様に $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ と置きたいところだが、双曲線では $c > a$ なので符号が逆になり、 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ とすると $b^{2} > 0$ が保たれる。整理すると、双曲線の標準形は次のようになる。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

この式は $x$ 軸方向に開く双曲線を表しており、頂点は $(a, 0)$ と $(- a, 0)$ の 2 点に位置する。

楕円の方程式

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （符号がプラス）

双曲線の方程式

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （符号がマイナス）

楕円と双曲線の標準形は、第 2 項の符号が異なるだけという対称的な構造をもつ。楕円では $a > b > 0$ という制約があるが、双曲線では $a$ と $b$ の大小関係に制約はない。

$y$ 軸方向に開く双曲線

焦点が $y$ 軸上にある場合、標準形は $x$ と $y$ の役割を入れ替えた形になる。

$\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$

この場合、頂点は $(0, a)$ と $(0, - a)$ に位置し、焦点は $(0, c)$ と $(0, - c)$ にある。どちらの向きでも $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ という関係が成り立つ点は共通している。

漸近線の導出

双曲線の方程式 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を $y$ について解くと、

$y = \pm \frac{b}{a} x^{2} - a^{2}$

となる。 $∣ x ∣$ が十分大きいとき、 $x^{2} - a^{2} \approx x^{2}$ と近似できるため、

$y \approx \pm \frac{b}{a} x$

に近づく。これが双曲線の漸近線であり、原点を通る 2 本の直線として表される。

漸近線（ $x$ 軸方向）	$y = \pm \frac{b}{a} x$
漸近線（ $y$ 軸方向）	$y = \pm \frac{a}{b} x$

漸近線は双曲線が無限遠で限りなく近づくが、決して交わらない直線である。双曲線の形状を把握するうえで、まず漸近線を描いてからその内側にカーブを描く、という手順が実用的だ。

漸近線と双曲線の関係を式で理解する

漸近線の方程式 $y = \pm \frac{b}{a} x$ は、双曲線の方程式の右辺を $0$ に置き換えたものと一致する。すなわち、

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$

を因数分解すると、

$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) (\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = 0$

となり、 $y = \frac{b}{a} x$ または $y = - \frac{b}{a} x$ が得られる。この「右辺を $0$ にすれば漸近線」という関係は、双曲線の方程式を扱ううえで非常に便利な性質である。

直角双曲線

$a = b$ のとき、漸近線は $y = \pm x$ となり、2 本の漸近線が直交する。この特別な双曲線を直角双曲線（rectangular hyperbola）と呼ぶ。方程式は

$x^{2} - y^{2} = a^{2}$

と簡潔な形になる。直角双曲線を 45° 回転させると $x y = k$ （ $k$ は定数）という形になり、反比例のグラフとして馴染み深い曲線と一致する。中学で学んだ反比例が実は双曲線の一種であったというのは、数学のつながりを感じさせる事実だろう。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の漸近線はどれか。

$y = \pm \frac{3}{2} x$
$y = \pm \frac{2}{3} x$
$y = \pm 2 x$
$y = \pm 3 x$

__RESULT__

$a^{2} = 9$ 、 $b^{2} = 4$ なので $a = 3$ 、 $b = 2$ である。漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{2}{3} x$ となる。

具体例で確認する

双曲線 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ を考えてみよう。 $a = 4$ 、 $b = 3$ であるから、 $c = a^{2} + b^{2} = 25 = 5$ となる。焦点は $(5, 0)$ と $(- 5, 0)$ 、頂点は $(4, 0)$ と $(- 4, 0)$ に位置し、漸近線は $y = \pm \frac{3}{4} x$ である。

$a$	4
$b$	3
$c$	5
焦点	$(\pm 5, 0)$
頂点	$(\pm 4, 0)$
漸近線	$y = \pm \frac{3}{4} x$

このように、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値が定まれば双曲線の全体像を把握できる。漸近線を先に引き、頂点の位置を確認してから曲線を描くと、正確なグラフが得られるだろう。