双曲線の方程式と漸近線はどこから来るのか｜高校数学

$2$ つの焦点からの距離の差が一定になる点を集めると、双曲線になります。楕円が和で決まるのに対して、こちらは差です。

$$|\mathrm{PF}-\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }|=2a$$

差なので、曲線は $2$ つに分かれます。焦点 $\mathrm{F}$ に近い側と ${\mathrm{F}}^{\prime }$ に近い側で、それぞれ $1$ 本ずつ。この $2$ 本を枝といいます。

$2$ 本のバーはどちらも伸び縮みしますが、長さの差は変わりません。楕円では合計が一定でしたが、こちらは差が一定です。

標準形

焦点を $(\pm c,0)$、距離の差を $2a$ として定義を座標で書き下すと、次の形になります。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

導き方は楕円と同じで、$2$ 回 $2$ 乗して整理する。違うのは $b$ の決まり方です。

$$b^2=c^2-a^2,\text{つまり}{c}^2=a^2+b^2$$

楕円では $a^2=b^2+c^2$ でした。双曲線では $c$ がいちばん大きい。焦点が頂点より外にあるためです。

頂点と軸

$y=0$ を入れると $x=\pm a$。この $2$ 点が頂点で、曲線がいちばん内側に来る位置です。

$x=0$ を入れると $-\frac{y^2}{b^2}=1$ となり、実数解がありません。双曲線は $y$ 軸と交わらない。

$-a<x<a$ の範囲に曲線は存在しません。式を $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$ と見れば、$|x|\ge a$ が必要だと分かります。

漸近線

双曲線には、遠くで限りなく近づく $2$ 本の直線があります。

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

式の右辺の $1$ を $0$ に置きかえると出ます。$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ を因数分解して

$$\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$$

この $2$ 本が漸近線です。$1$ を $0$ にするだけ、という覚え方で足ります。

枝を伸ばしていくと、曲線が灰色の直線にどんどん近づきます。触れることはありませんが、離れ方が $0$ に向かう。

図に描いた長方形は、$(\pm a,\pm b)$ を頂点とするもの。その対角線を伸ばしたものが漸近線です。この長方形を先に描くと、図がゆがみません。

描く手順

いきなり曲線から描き始めると、開き具合が合いません。長方形と漸近線を先に置くと、形が決まります。

例で確かめる

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ を見ます。$a=3$, $b=4$ なので頂点は $(\pm 3,0)$。

漸近線は $y=\pm \frac{4}{3}x$。焦点は $c^2=9+16=25$ から $c=5$ で $(\pm 5,0)$ です。

$3$, $4$, $5$ の直角三角形が現れました。頂点から $b$ だけ縦に上がった点までの距離が $c$ になる、という関係です。

縦に開く双曲線

右辺が $-1$ のとき、上下に開きます。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$

$x=0$ を入れると $y=\pm b$ で、頂点は $y$ 軸上。焦点も $y$ 軸上の $(0,\pm c)$ で、$c^2=a^2+b^2$ は変わりません。

漸近線も同じ $y=\pm \frac{b}{a}x$ です。右辺の $1$ を $0$ にする操作は、$-1$ でも結果が変わらないため。

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=-1$ なら頂点 $(0,\pm 3)$、焦点 $(0,\pm \sqrt{13})$、漸近線 $y=\pm \frac{3}{2}x$ になります。

直角双曲線

$a=b$ のとき、漸近線が $y=\pm x$ で直交します。これを直角双曲線といいます。

$x^2-y^2=4$ なら $a=b=2$。頂点 $(\pm 2,0)$、焦点 $(\pm 2\sqrt{2},0)$ です。

$45$ 度回すと $xy=k$ の形になります。反比例のグラフも双曲線の仲間、というわけです。

中心が原点にないとき

$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}-\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$ の中心は $(p,q)$。頂点は $(p\pm a,q)$、漸近線は中心を通る $y-q=\pm \frac{b}{a}(x-p)$ です。

展開された式は平方完成で戻します。$4x^2-9y^2-8x-36y-68=0$ を整理してみます。

$$4(x^2-2x)-9(y^2+4y)=68$$

$4\{(x-1{)}^2-1\}-9\{(y+2{)}^2-4\}=68$ から $4(x-1{)}^2-9(y+2{)}^2=36$、$36$ で割って

$$\frac{(x-1{)}^2}{9}-\frac{(y+2{)}^2}{4}=1$$

中心 $(1,-2)$、$a=3$, $b=2$。頂点は $(4,-2)$ と $(-2,-2)$、漸近線は $y+2=\pm \frac{2}{3}(x-1)$ です。

楕円との対比

$3$ つの量の関係を並べると、違いがはっきりします。

式の上では、$y^2$ の項の符号が $+$ か $-$ かという $1$ 文字の違いです。その $1$ 文字で、閉じた曲線と開いた曲線に分かれます。