基本群の定義と性質

位相空間の「穴」を代数的に検出する最も基本的な道具が基本群だ。ループのホモトピー類に群構造を入れることで、空間の位相的性質を群論の言葉で議論できるようになる。

道とループ

位相空間 $X$ における道（path）とは、連続写像 $\gamma :[0,1]\to X$ のことである。$\gamma (0)$ を始点、$\gamma (1)$ を終点と呼ぶ。始点と終点が一致する道、すなわち $\gamma (0)=\gamma (1)=x_0$ を満たすものを、基点 $x_0$ におけるループという。

道の概念において重要なのは、経路そのものではなく「連続的に変形して移り合えるかどうか」である。2つの道 ${\gamma }_0,{\gamma }_1:[0,1]\to X$ が端点を固定したまま連続的に変形できるとき、すなわち

$$H:[0,1]\times [0,1]\to X$$

が存在して $H(s,0)={\gamma }_0(s)$、$H(s,1)={\gamma }_1(s)$、かつすべての $t$ に対して $H(0,t)={\gamma }_0(0)$、$H(1,t)={\gamma }_0(1)$ を満たすとき、${\gamma }_0$ と ${\gamma }_1$ は道ホモトピックであるという。この関係は同値関係であり、$\gamma$ の同値類を $[\gamma ]$ と書く。

基本群の定義

位相空間 $X$ と基点 $x_0\in X$ に対して、基点 $x_0$ におけるループのホモトピー類全体の集合

$${\pi }_1(X,x_0)=\{[\gamma ]\mid \gamma \text{ は }{x}_0\text{ を基点とするループ}\}$$

にループの結合で演算を定義すると、これは群をなす。この群を $X$ の基点 $x_0$ における基本群（fundamental group）と呼ぶ。

ループの結合と群演算

2つのループ $\alpha ,\beta$ の結合（concatenation）$\alpha \ast \beta$ は、まず $\alpha$ を辿り、次に $\beta$ を辿るループとして定義される。

$$(\alpha \ast \beta )(s)=\{\begin{array}{ll}\alpha (2s)& 0\le s\le 1/2\\ \beta (2s-1)& 1/2\le s\le 1\end{array}$$

この演算はホモトピー類の上で well-defined になる。すなわち $[\alpha ]=[{\alpha }^{\prime }]$ かつ $[\beta ]=[{\beta }^{\prime }]$ ならば $[\alpha \ast \beta ]=[{\alpha }^{\prime }\ast {\beta }^{\prime }]$ が成り立つ。

群の公理が満たされることを確認しよう。結合律は3つのループ $\alpha ,\beta ,\gamma$ に対して $(\alpha \ast \beta )\ast \gamma \simeq \alpha \ast (\beta \ast \gamma )$ がパラメータの再配分で示される。単位元は定値ループ $e(s)=x_0$（すべての $s$ で $x_0$ に留まるループ）のホモトピー類 $[e]$ であり、逆元は $\alpha$ の逆向きのループ $\bar{\alpha }(s)=\alpha (1-s)$ のホモトピー類 $[\bar{\alpha }]$ となる。

基点の変更

弧状連結な空間 $X$ では、基点の取り方によらず基本群は同型になる。$x_0$ と $x_1$ を結ぶ道 $\sigma$ が存在するとき、

$${\phi }_{\sigma }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(X,x_1),[\gamma ]\mapsto [\bar{\sigma }\ast \gamma \ast \sigma ]$$

は群同型を与える。ただし $\bar{\sigma }$ は $\sigma$ の逆向きの道である。この同型は $\sigma$ の選び方に依存し、異なる道を選ぶと内部自己同型だけ異なる写像が得られる。

弧状連結空間では基点を省略して ${\pi }_1(X)$ と書くことも多いが、これは「同型を除いて一意」という意味であることに注意が必要だ。

連続写像が誘導する準同型

連続写像 $f:X\to Y$ は、基本群の間の準同型

$$f_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,f(x_0))$$

を誘導する。定義は単純で、$f_{\ast }([\gamma ])=[f\circ \gamma ]$ とするだけだ。ループ $\gamma$ の像 $f\circ \gamma$ もまた $f(x_0)$ を基点とするループになり、ホモトピー類の上で well-defined である。

この誘導準同型は2つの重要な性質を持つ。

基本群の基本的性質

基本群を実際に計算する際に頻繁に用いられる性質をまとめる。

積空間の基本群については ${\pi }_1(X\times Y)\cong {\pi }_1(X)\times {\pi }_1(Y)$ が成り立つ。ループ $(({\gamma }_X,{\gamma }_Y))$ は各成分のループ ${\gamma }_X$ と ${\gamma }_Y$ の組に分解されるためだ。これを帰納的に適用すれば $n$ 次元トーラス $T^n=(S^1{)}^n$ の基本群 ${\pi }_1(T^n)\cong {\mathbb{Z}}^n$ が直ちに得られる。

可縮空間の基本群は自明群 $\{e\}$ であり、${\mathbb{R}}^n$ や凸集合などがこれにあたる。基本群が自明な空間を単連結（simply connected）という。球面 $S^n$（$n\ge 2$）は単連結だが $S^1$ はそうではない。

被覆写像 $p:\tilde{X}\to X$ は単射な誘導準同型 $p_{\ast }:{\pi }_1(\tilde{X})\to {\pi }_1(X)$ を与え、被覆空間の理論と基本群は深く結びついている。普遍被覆の存在は基本群の構造を決定する強力な手段となる。

単連結性の判定

空間が単連結であるかどうかは、位相幾何学において基本的な問いである。$X$ が単連結であるとは、$X$ が弧状連結であり、かつ ${\pi }_1(X)=0$ が成り立つことをいう。

基本群と同値関係の整理

基本群の計算や応用において、さまざまな同値関係が登場する。これらの関係を明確に区別しておくことは重要だ。

同相 $X\cong Y$ は最も強い同値関係で、位相的性質をすべて保存する。ホモトピー同値 $X\simeq Y$ は同相より弱く、${\pi }_1$ を含むすべてのホモトピー不変量を保存する。基本群の同型 ${\pi }_1(X)\cong {\pi }_1(Y)$ はさらに弱い条件であり、基本群が同型でもホモトピー同値とは限らない。たとえば $S^2$ と $S^3$ はともに ${\pi }_1=0$ だがホモトピー同値ではなく、${\pi }_2(S^2)=\mathbb{Z}\ne 0={\pi }_2(S^3)$ で区別される。

基本群は位相空間を分類するための強力だが不完全な道具であり、より精密な分類にはホモロジー群や高次ホモトピー群が必要となる。