エタール射（代数で局所同型を書く）

環準同型 $R\to S$ がエタールであるとは、平坦かつ不分岐であることをいいます^[1]。

幾何の言葉では、代数の世界で「局所同型」を書き表したものにあたります^[1]。ザリスキ位相では開集合が足りないので、その代わりに使われる概念です^[5]。

被覆の枚数がどこでも同じで、どこにも枝分かれの崩れがない。そういう射だと思うと近い。

不分岐であること

不分岐とは、相対的なケーラー微分が消えることです^[2]。

$${\Omega }_{S/R}=0$$

点ごとの条件でも書ける^[2]。剰余体の拡大が分離代数的で、下の極大イデアルが上の極大イデアルを生成する、という $2$ つです。

対角射が開埋め込みになる、という言いかえもあります^[2]。有限表示の射なら、この $3$ つが同値になる^[2]。

$B=A[t]/(F)$ の形なら判定が簡単です^[2]。$F$ が分離的、つまり $F$ と $F^{\prime }$ が単位イデアルを生成するときに不分岐になる。

枚数が変わらない

不分岐という条件は、ファイバーの点が重ならないことに対応する。

上では走査線をどこへ動かしても $3$ 点が残る。下ではまん中で $2$ 点が $1$ 点に落ちる。

落ちた場所が分岐点です。エタール射では、この現象が起きない。

枚数がどこでも同じであることが、被覆としての素直さを支えています。

平坦であること

不分岐だけでは足りません。平坦性を足してはじめてエタールになる^[1,2]。

平坦性は「ファイバーの大きさが急に変わらない」ことを保証する。枚数が場所によって飛ばないための条件です。

滑らかな射のうち不分岐なもの、という言い方もできる^[1]。滑らかさが相対次元 $0$ で実現された形にあたる。

持ち上げで書く

微分を使わない定義もあります^[1]。形式的にエタール、という言い方です。

冪零なイデアルで厚みを付けた点を用意し、そこから $X$ への写像を考える。薄いほうで決まった写像が、厚いほうへちょうど一通りに持ち上がるとき、形式的にエタールと呼ぶ。

一意に持ち上がる、というところが要点です。存在だけなら滑らか、一意性だけなら不分岐にあたる。

形式的にエタールで、しかも有限表示であることがエタールの定義です^[1]。

標準エタール

局所的には、エタール射はいつも次の形に書けます^[1]。

$$S\cong (R[x]/(f){)}_g(f\text{はモニック},f^{\prime }\text{は単元})$$

$f^{\prime }$ が単元だという条件が効く。根が重ならず、係数を動かしても根どうしがぶつからない。

$f^{\prime }$ が $0$ になる場所では、根が合流して重根が生まれる。そこで枚数が落ちる。

$f^{\prime }$ を単元にしておくことが、枚数を保つ条件になっています。

ヤコビ行列で判定する

多変数でも同じ形の判定ができます^[3]。エタール射には、変数の本数と式の本数がそろった表示がある。

$$S=R[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_n)$$

このとき $\det (\partial f_j/\partial x_i)$ の像が $S$ で単元になる^[3]。正方行列の行列式が可逆、という条件です。

滑らかな多様体なら、接空間のあいだの微分が同型になることと同値です^[1]。局所同型という直感と、行列の可逆性がここで結びつく。

体の上のエタール代数

$k$ が体のときは、答えが完全に分かります^[3]。

$k\to S$ がエタールであることと、$S$ が $k$ の有限分離拡大の有限直積になることは同値です^[3]。

分離拡大が $\Omega =0$ を与え、有限直積が「点がばらけている」に対応する。ガロア理論がそのまま入ってくる入口になっています。

例: 開埋め込みと局所化

開埋め込みはエタールです^[1]。局所的に同型なので、定義をそのまま満たす。

$k[x]\to k[x,x^{-1}]$ もエタールになる。$x\ne 0$ の開集合へ制限する操作にあたります。

例: n 乗写像

$R[t,t^{-1}]\to R[t,t^{-1},y]/(y^d-t)$ はエタールです^[1]。$d$ 枚の被覆にあたる。

$t$ を可逆にしてあるところが効いている。$y^d-t$ の微分は $d{y}^{d-1}$ で、$y$ が可逆であれば $d$ が可逆なかぎり単元になる。

原点を戻すと崩れる。$t=0$ では $y=0$ に $d$ 枚が重なり、分岐点が現れます。

反例: 冪零がある場合

$k\to k[x]/(x^2)$ はエタールではありません。$\Omega \ne 0$ で、不分岐の条件が破れる。

$k[x]/(x^2)$ は $k$ の分離拡大の直積になりません^[3]。冪零元があるので、体の積にはなりようがない。

標数 $p$ での $p$ 乗写像も外れる。$y^p-t$ の微分が $p{y}^{p-1}=0$ になり、単元になりません。

滑らかとの違い

滑らかな射は、持ち上げの存在だけを要求する。一意性まで求めたものがエタール射です。

相対次元で見れば分かりやすくなる。滑らかは相対次元がいくらでもよく、エタールは相対次元 $0$ に限る。

${\mathbb{A}}^1\to \mathrm{Spec}k$ は滑らかですがエタールではありません。$\Omega$ が $1$ 次元残る。

エタール位相

ザリスキ位相は開集合が少なすぎて、コホモロジーを支えられません^[5]。

そこでグロタンディーク位相を使う^[5]。開集合の代わりにエタール射を並べ、$\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X)$ という圏を土台にする。

ヴェイユ・コホモロジーを実現するために導入され、ドリーニュが $\ell$ 進コホモロジーでヴェイユ予想を完成させました^[5]。

エタール基本群

有限エタール被覆は、位相での被覆空間にあたる^[4]。ガロア被覆の自己同型群の逆極限として、エタール基本群 ${\pi }_1(X,x)$ が定まります^[4]。

連結スキームの有限エタール被覆の圏が、この群の有限連続作用を持つ集合の圏と同値になる^[4]。グロタンディークのガロア理論と呼ばれます。

体の場合には、エタール基本群が絶対ガロア群に一致します^[4]。古典的なガロア対応が、そのまま特別な場合として出てくる。

$\mathbb{C}$ 上のスキームでは、位相的な基本群の副有限完備化になる^[4]。リーマンの存在定理が両者を結んでいます^[4]。

よくある誤り

参考文献