エタール射の基礎

エタール射は、代数幾何学において「局所同型」に対応する射である。可換環論では、形式的にエタールな環拡大として定式化され、ガロア理論の一般化に重要な役割を果たす。

定義

$R\to S$ を有限型の環準同型とする。$S$ が $R$ 上エタール（étale）であるとは、次の同値な条件を満たすことをいう。

エタール射は「微分的に等次元」であり、「無限小的に単射」である射と理解できる。

具体例

体の分離拡大はエタール射の典型例である。$k\to L$ が分離的代数拡大ならば、$L$ は $k$ 上エタールである。${\Omega }_{L/k}=0$ は分離性を反映している。

$k[x]\to k[x,x^{-1}]$ もエタールだ。$x$ の逆元を添加する操作は、$x\ne 0$ の開集合への制限に対応し、局所同型である。

一方、$k\to k[x]/(x^2)$ はエタールではない。${\Omega }_{k[x]/(x^2)/k}\ne 0$ であり、「無限小的な方向」が存在する。

ネーター環上の特徴づけ

$R$ がネーター環、$S$ が有限型 $R$-代数のとき、$S$ が $R$ 上エタールであることは次と同値になる。

任意の素イデアル $\mathfrak{q}\subset S$ に対し、$\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$ とおくと、$S_{\mathfrak{q}}$ は $R_{\mathfrak{p}}$ 上、その剰余体の分離拡大である。つまり、各点で「分離的」に振る舞う。

Grothendieck のガロア理論

エタール射の理論は、古典的なガロア理論を一般化する。連結スキーム $X$ の有限エタール被覆の圏は、ある profinite 群（基本群 ${\pi }_1(X)$）の有限連続作用をもつ有限集合の圏と同値になる。

体のエタール代数はその代数閉包のガロア群による有限集合の作用に対応し、古典的なガロア対応が復元される。

標準的エタール近傍

$X=\mathrm{Spec}R$ 上の点 $x$（素イデアル $\mathfrak{p}$）に対し、$x$ の標準的エタール近傍は次で構成される。

$R$ から $R_{\mathfrak{p}}$ への局所化は平坦だが、一般にエタールではない（$\Omega$ が消えない）。そこで、$R_{\mathfrak{p}}$ のヘンゼル化 $R_{\mathfrak{p}}^h$ を考える。エタール近傍は「局所化とヘンゼル化の間」にある対象として現れる。

応用

エタール射は次の分野で本質的に使われる。

エタール・コホモロジー理論では、ザリスキ位相より細かいエタール位相を用いて、代数多様体のコホモロジーを定義する。これにより Weil 予想の証明が可能になった。

数論では、整数環のエタール基本群がガロア群と関係し、類体論の幾何学的定式化を与える。