双曲線の媒介変数表示と双曲線関数（高校数学の二次曲線）

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ を媒介変数で書くには、${\cos }^2+{\sin }^2=1$ の代わりになる関係式が要ります。

$$1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$$

移項すると $\frac{1}{{\cos }^{2}t}-{\tan }^{2}t=1$。右辺が $1$、左辺が引き算という形が、双曲線の式とそっくりです。

$t$ が $-\frac{\pi }{2}$ に近づくと点は下へ、$\frac{\pi }{2}$ に近づくと上へ飛んでいきます。この区間では $\cos t>0$ なので $x>0$。右の枝だけを走ります。

枝が分かれる理由

$x=\frac{a}{\cos t}$ の符号は $\cos t$ の符号で決まります。

$t=\pm \frac{\pi }{2}$ では $\cos t=0$ となり、$x$ が定義できません。この値がちょうど $2$ つの枝の境目にあたります。

媒介変数の範囲を書き忘れると、どちらの枝か分からない答案になります。範囲を必ず添えます。

消去して確かめる

$x=\frac{a}{\cos t}$ から $\frac{1}{\cos t}=\frac{x}{a}$、$y=b\tan t$ から $\tan t=\frac{y}{b}$。

$$\frac{1}{{\cos }^{2}t}-{\tan }^{2}t=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

たしかに双曲線の式に戻りました。

上下に開く場合

右辺が $-1$ の双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ では、$\tan$ と $\frac{1}{\cos }$ の役割が入れ替わります。

$$x=a\tan t,y=\frac{b}{\cos t}$$

代入すると ${\tan }^{2}t-\frac{1}{{\cos }^{2}t}=-1$ で合います。上の枝と下の枝が $\cos t$ の符号で分かれる点は同じです。

もう 1 つの書き方

$\tan$ を使わずに、指数関数で書く道もあります。

$$x=a\cdot \frac{e^t+e^{-t}}{2},y=b\cdot \frac{e^t-e^{-t}}{2}$$

この $\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ と $\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ を、それぞれ双曲線余弦 $\cosh t$、双曲線正弦 $\sinh t$ といいます。

$\cosh t$ が横、$\sinh t$ が縦。点は右の枝だけをなぞります。$\cosh t$ はつねに $1$ 以上なので、左の枝には届きません。

双曲線関数の性質

三角関数とよく似た関係が成り立ちます。

$${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$$

確かめてみます。${\cosh }^{2}t=\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}$、${\sinh }^{2}t=\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}$。引くと $\frac{4}{4}=1$ です。

${\cos }^2+{\sin }^2=1$ の引き算版、という関係。名前に「双曲線」が付くのは、この式が双曲線の方程式そのものだからです。

三角関数との対応

$t$ の意味が違う点に注意します。三角関数の $t$ は角度ですが、双曲線関数の $t$ は角度ではありません。原点と点で挟まれた領域の面積の $2$ 倍にあたる量です。

微分すると入れ替わる

$\cosh t$ を微分すると $\frac{e^t-e^{-t}}{2}=\sinh t$。$\sinh t$ を微分すると $\cosh t$ に戻ります。

$$(\cosh t{)}^{\prime }=\sinh t,(\sinh t{)}^{\prime }=\cosh t$$

三角関数では $(\cos t{)}^{\prime }=-\sin t$ と符号が付きましたが、こちらは付きません。$2$ 回微分するともとに戻る点は共通です。

例で使う

$x=\frac{3}{\cos t}$, $y=2\tan t$ が表す曲線を求めます。

$\frac{1}{\cos t}=\frac{x}{3}$, $\tan t=\frac{y}{2}$ を $\frac{1}{{\cos }^{2}t}-{\tan }^{2}t=1$ に入れます。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

$a=3$, $b=2$ の双曲線でした。$t$ の範囲が $-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}$ なら右の枝だけです。

もう 1 つの例

$x=\cosh t$, $y=3\sinh t$ なら $\cosh t=x$, $\sinh t=\frac{y}{3}$ を代入して

$$x^2-\frac{y^2}{9}=1$$

$a=1$, $b=3$ の双曲線です。$\cosh t\ge 1$ なので $x\ge 1$、右の枝だけを表しています。

懸垂線との違い

$\cosh$ は、ひもの両端を持って垂らしたときの形にも現れます。$y=\cosh x$ のグラフがそれで、懸垂線と呼ばれます。

放物線に似ていますが別の曲線です。$y=\cosh x$ を展開すると $1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$ で、$x$ が小さいうちは $1+\frac{x^2}{2}$ に近い。だから見た目が放物線に寄ります。

双曲線の媒介変数としての $\cosh$ と、グラフとしての $\cosh$ は別の話です。同じ関数が $2$ つの顔を持っている、と見ておきます。