交わりは途中から規則正しくなる〜ネーター環とアルティン・リースの補題

ネーター環 $R$、イデアル $I$、有限生成加群 $N\subset M$ をとります。ある $c>0$ があって、$n\ge c$ ではつねに次が成り立ちます^[1]。

$$I^{n}M\cap N=I^{n-c}(I^{c}M\cap N)$$

$n$ が小さいうちは何が起きるか分かりません。$c$ を超えると、$I$ を掛けるたびに規則正しく縮むようになります。

交わりは掛け算とずれる

$I^{n}M\cap N$ と $I^{n}N$ は、素朴には同じものに見えます。実際は違う。

$R=k[x,y]$、$I=(x,y)$、$N=(y)$ でみます。$x^{n-1}y$ は $n$ 次なので $I^n$ に入り、$y$ の倍数なので $N$ にも入る。

いっぽう $I^{n}N$ の元は次数が $n+1$ 以上です。$x^{n-1}y$ は入りません。交わりのほうが真に大きい。

補題が言うのは、そのずれが $c$ 段ぶんに収まるということ。ここでは $c=1$ で足ります。

$$I^{n}M\cap N=I^{n-1}(IM\cap N)=I^{n-1}N$$

$yg$ の全項が $n$ 次以上なら $g$ の全項は $n-1$ 次以上なので、確かに右辺と一致します。

ずれが有限段で止まる。これだけの主張が、交叉定理や完備化の議論を支えます。

フィルトレーションの言葉に直す

$M$ の減少列 $M=M_0\supset M_1\supset \dots$ が $I{M}_n\subset M_{n+1}$ を満たすとき、$I$ フィルトレーションと呼びます。

さらに、ある $n_0$ から先で $I{M}_n=M_{n+1}$ となるものを安定な $I$ フィルトレーションといいます^[2]。

$M_n=I^{n}M$ は安定です。補題は「安定なフィルトレーションを部分加群と交わらせても安定のまま」と言い換えられます^[2]。

安定という語が、上の図の「途中から一定の比で縮む」に対応します。$c$ は安定が始まる段。

Rees 環を使う証明

$I=(a_1,\dots ,a_r)$ とし、多項式環の中に次の部分環を作ります^[3]。

$$R_I[X]=\left\{\sum _n{r}_n{X}^n\right|r_n\in I^n\}$$

$Y_{\nu }\mapsto a_{\nu }X$ という写像で $R[Y_1,\dots ,Y_r]$ から全射が作れます。$R$ がネーターなら、基底定理からこの Rees 環もネーターです。

同じ要領で $M_I[X]=\{{\sum }_n{m}_n{X}^n\mid m_n\in I^{n}M\}$ を作ると、これは $R_I[X]$ 上の有限生成加群になります。

$N_I[X]={\sum }_n(I^{n}M\cap N)X^n$ はその部分加群です。ネーター環上の有限生成加群の部分加群なので、有限生成^[3]。

生成元の次数の最大値を $c$ とおきます。$n\ge c$ の成分は $c$ 以下の成分から $X$ を掛けて出るので、そのまま定理の等式になります。

2 つの位相が一致する

$M$ に $I$ 進位相を入れ、部分加群 $N$ にその相対位相を入れます。いっぽう $N$ 自身にも $I$ 進位相が入る。

前者の基本近傍系は $I^{n}M\cap N$、後者は $I^{n}N$ です。集合としては前者のほうが大きい。

補題があると、$I^{n}M\cap N\subset I^{n-c}N$ が言えます。互いに他方の近傍系に挟まるので、2 つの位相は一致します^[2]。

言い換えると、部分加群の中で「小さい」ということが、外から見ても中から見ても同じ意味になる。完備化を部分加群にも安心して当てられる理由です。

交叉定理を出す

$N={\bigcap }_n{I}^{n}M$ とおきます。$N\subset I^{n}M$ なので、補題の左辺は $N$ です。

右辺に $I^{n-c}$ が掛かっているので、$n=c+1$ とすれば $N\subset IN$。逆は明らかなので $IN=N$ になります。

$I$ が Jacobson 根基に入っていれば、中山の補題から $N=0$^[4]。ネーター局所環なら真のイデアルはすべてこの条件を満たします。

補題がイデアルを 1 段だけ外へ出す。その 1 段が中山の補題の入口になっています。

完備化が完全になる

短完全列 $0\to N\to M\to M/N\to 0$ に $I$ 進完備化を当てます。

完備化は逆極限なので、一般には左完全にしかなりません。右側で情報が落ちる可能性がある。

ところが補題があると、$\{I^{n}M\cap N\}$ が $\{I^{n}N\}$ と同値な位相を定めるので、逆系がミッタク・レフラー条件を満たします。極限をとっても完全性が保たれる^[2]。

その帰結として、ネーター環では $\hat{R}$ が $R$ 上平坦になります。完備化が扱いやすい操作である理由の大半が、この補題から来ています。

ネーター性を外すと崩れる

証明でネーター性を使ったのは 2 か所です。Rees 環がネーターになるところと、部分加群が有限生成になるところ。

どちらも基底定理に寄りかかっています。$R$ がネーターでなければ、$N_I[X]$ が有限生成とは限らず、$c$ が存在する保証も消えます。

実際、原点まわりの連続関数の芽の環では ${\mathfrak{m}}^2=\mathfrak{m}$ が起きるので、交叉定理が破れます。その根元にあるのが、補題の失効です。

例：$c$ の大きさを見る

$R=k[x,y]$、$I=(x)$、$N=(y)$ とします。$I^n\cap N=(x^n)\cap (y)=(x^{n}y)=I^{n}N$ なので、$c=0$ で足ります。

$I=(x,y)$、$N=(y)$ に替えると、上で見たとおり $c=1$ が要ります。$I$ と $N$ の絡み方で $c$ が変わる。

$c$ の値そのものを使う場面は多くありません。有限で止まるという事実だけで議論が進みます。

まちがえやすい点

不規則な区間が有限で終わる。その一点だけで、交叉定理も完備化の平坦性も出てきます。

参考