交わりは途中から規則正しくなる〜ネーター環とアルティン・リースの補題

ネーター環 $R$ 、イデアル $I$ 、有限生成加群 $N \subset M$ をとります。ある $c > 0$ があって、 $n \geq c$ ではつねに次が成り立ちます^[1]。

$I^{n} M \cap N = I^{n - c} (I^{c} M \cap N)$

$n$ が小さいうちは何が起きるか分かりません。 $c$ を超えると、 $I$ を掛けるたびに規則正しく縮むようになります。

交わりは掛け算とずれる

$I^{n} M \cap N$ と $I^{n} N$ は、素朴には同じものに見えます。実際は違う。

$R = k [x, y]$ 、 $I = (x, y)$ 、 $N = (y)$ でみます。 $x^{n - 1} y$ は $n$ 次なので $I^{n}$ に入り、 $y$ の倍数なので $N$ にも入る。

いっぽう $I^{n} N$ の元は次数が $n + 1$ 以上です。 $x^{n - 1} y$ は入りません。交わりのほうが真に大きい。

補題が言うのは、そのずれが $c$ 段ぶんに収まるということ。ここでは $c = 1$ で足ります。

$I^{n} M \cap N = I^{n - 1} (I M \cap N) = I^{n - 1} N$

$y g$ の全項が $n$ 次以上なら $g$ の全項は $n - 1$ 次以上なので、確かに右辺と一致します。

I^{n} N

$N$ を先に $I^{n}$ で縮めたもの。 $n + 1$ 次以上しか残らず、小さすぎる

I^{n} M \cap N

$M$ で縮めてから $N$ と交わらせたもの。 $n$ 次の $x^{n - 1} y$ が残る

ずれが有限段で止まる。これだけの主張が、交叉定理や完備化の議論を支えます。

フィルトレーションの言葉に直す

$M$ の減少列 $M = M_{0} \supset M_{1} \supset \dots$ が $I M_{n} \subset M_{n + 1}$ を満たすとき、 $I$ フィルトレーションと呼びます。

さらに、ある $n_{0}$ から先で $I M_{n} = M_{n + 1}$ となるものを安定な $I$ フィルトレーションといいます^[2]。

$M_{n} = I^{n} M$ は安定です。補題は「安定なフィルトレーションを部分加群と交わらせても安定のまま」と言い換えられます^[2]。

安定という語が、上の図の「途中から一定の比で縮む」に対応します。 $c$ は安定が始まる段。

Rees 環を使う証明

$I = (a_{1}, \dots, a_{r})$ とし、多項式環の中に次の部分環を作ります^[3]。

$R_{I} [X] = {n \sum r_{n} X^{n} r_{n} \in I^{n}}$

$Y_{ν} \mapsto a_{ν} X$ という写像で $R [Y_{1}, \dots, Y_{r}]$ から全射が作れます。 $R$ がネーターなら、基底定理からこの Rees 環もネーターです。

同じ要領で $M_{I} [X] = {\sum_{n} m_{n} X^{n} ∣ m_{n} \in I^{n} M}$ を作ると、これは $R_{I} [X]$ 上の有限生成加群になります。

$N_{I} [X] = \sum_{n} (I^{n} M \cap N) X^{n}$ はその部分加群です。ネーター環上の有限生成加群の部分加群なので、有限生成^[3]。

生成元の次数の最大値を $c$ とおきます。 $n \geq c$ の成分は $c$ 以下の成分から $X$ を掛けて出るので、そのまま定理の等式になります。

証明の要は、フィルトレーション全体を 1 つの次数付き加群に束ねるところにあります。

各段をばらばらに見ていると有限性が使えません。束ねると基底定理が効くようになります。

2 つの位相が一致する

$M$ に $I$ 進位相を入れ、部分加群 $N$ にその相対位相を入れます。いっぽう $N$ 自身にも $I$ 進位相が入る。

前者の基本近傍系は $I^{n} M \cap N$ 、後者は $I^{n} N$ です。集合としては前者のほうが大きい。

補題があると、 $I^{n} M \cap N \subset I^{n - c} N$ が言えます。互いに他方の近傍系に挟まるので、2 つの位相は一致します^[2]。

言い換えると、部分加群の中で「小さい」ということが、外から見ても中から見ても同じ意味になる。完備化を部分加群にも安心して当てられる理由です。

相対位相の近傍系は

I^{n} M \cap N

で、これは大きめの集合。

N

自身の

I

進位相の近傍系は

I^{n} N

で、こちらは小さめ。

補題から

I^{n} M \cap N \subset I^{n - c} N

が出て、両者が挟み合う。

挟み合うので位相が一致し、

N

の完備化が

M

の完備化の部分加群として実現できる。

交叉定理を出す

$N = ⋂_{n} I^{n} M$ とおきます。 $N \subset I^{n} M$ なので、補題の左辺は $N$ です。

右辺に $I^{n - c}$ が掛かっているので、 $n = c + 1$ とすれば $N \subset I N$ 。逆は明らかなので $I N = N$ になります。

$I$ が Jacobson 根基に入っていれば、中山の補題から $N = 0$ ^[4]。ネーター局所環なら真のイデアルはすべてこの条件を満たします。

補題がイデアルを 1 段だけ外へ出す。その 1 段が中山の補題の入口になっています。

完備化が完全になる

短完全列 $0 \to N \to M \to M / N \to 0$ に $I$ 進完備化を当てます。

完備化は逆極限なので、一般には左完全にしかなりません。右側で情報が落ちる可能性がある。

ところが補題があると、 ${I^{n} M \cap N}$ が ${I^{n} N}$ と同値な位相を定めるので、逆系がミッタク・レフラー条件を満たします。極限をとっても完全性が保たれる^[2]。

その帰結として、ネーター環では $\hat{R}$ が $R$ 上平坦になります。完備化が扱いやすい操作である理由の大半が、この補題から来ています。

ネーター性を外すと崩れる

証明でネーター性を使ったのは 2 か所です。Rees 環がネーターになるところと、部分加群が有限生成になるところ。

どちらも基底定理に寄りかかっています。 $R$ がネーターでなければ、 $N_{I} [X]$ が有限生成とは限らず、 $c$ が存在する保証も消えます。

実際、原点まわりの連続関数の芽の環では $m^{2} = m$ が起きるので、交叉定理が破れます。その根元にあるのが、補題の失効です。

例： $c$ の大きさを見る

$R = k [x, y]$ 、 $I = (x)$ 、 $N = (y)$ とします。 $I^{n} \cap N = (x^{n}) \cap (y) = (x^{n} y) = I^{n} N$ なので、 $c = 0$ で足ります。

$I = (x, y)$ 、 $N = (y)$ に替えると、上で見たとおり $c = 1$ が要ります。 $I$ と $N$ の絡み方で $c$ が変わる。

$c$ の値そのものを使う場面は多くありません。有限で止まるという事実だけで議論が進みます。

$R = k [x, y]$ 、 $I = (x, y)$ 、 $M = R$ 、 $N = (y)$ とします。 $I^{2} M \cap N$ に入るのはどれですか。

$y$
$x y$
$x^{2}$

__RESULT__

$x y$ は $2$ 次なので $I^{2}$ に入り、 $y$ の倍数なので $N$ にも入ります。 $y$ は $1$ 次なので $I^{2}$ に入りません。 $x^{2}$ は $I^{2}$ に入りますが $N$ には入りません。

まちがえやすい点

I^{n} M \cap N

と

I^{n} N

を同じものとして扱う。前者のほうが真に大きくなることがあります。

c

が

0

にとれると思い込む。

I

と

N

の絡み方によっては

1

以上が要ります。

n < c

の範囲でも等式が成り立つと考える。主張は

n \geq c

に限られます。

M

が有限生成でない場合に当てる。Rees 環上の有限生成が崩れ、

c

が存在しません。

ネーター性を落として使う。基底定理が使えないので証明そのものが通りません。

不規則な区間が有限で終わる。その一点だけで、交叉定理も完備化の平坦性も出てきます。

参考

Artin-Rees lemma, Lemma 10.51.2. The Stacks Project.

Damian Rössler. *Commutative Algebra*, §11.2. University of Oxford.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, §8.3. Universität Freiburg.

Felix Gotti. *Krull's Theorems and Artin-Rees Lemma*. Massachusetts Institute of Technology.

$I^n M \cap N$ と $I^n N$ は一致しません。$k[x, y]$ で $I = (x, y)$、$N = (y)$ ととると $x^{n-1}y$ が前者だけに残ります。補題はそのずれが有限段で収まると言うもの。Rees 環にフィルトレーション全体を積み上げ、Hilbert の基底定理で有限生成を出すのが証明の骨です。部分加群の相対位相と $I$ 進位相が一致すること、クルルの交叉定理、完備化が完全になることまで、ここから出てきます。