部分空間でつぶしてから見る〜商空間と準同型定理

${\mathbb{R}}^2$ を $x$ 軸で割ると、残るのは高さだけである。$(3,2)$ と $(-5,2)$ は同じものと見なされ、$y=2$ という 1 本の横線に化ける^[1]。

横線の全体が新しい空間になる。線どうしを足す規則を入れれば、それがまたベクトル空間になっている。

つぶす方向を部分空間で指定し、残りを空間として扱う。これが商空間である。

剰余類は部分空間の平行移動

$V$ をベクトル空間、$W$ をその部分空間とする。$v\in V$ に対して、次の集合を剰余類と呼ぶ^[1]。

$$v+W=\{v+w\mid w\in W\}$$

$W$ を $v$ だけずらしたもの。$W$ 自身は原点を通るが、$v+W$ は $v$ を通る。$v\notin W$ なら部分空間にならない。

$W$ が $x$ 軸なら、$v+W$ は $v$ の高さにある横線である。高さが同じ $v$ は、どれも同じ剰余類を作る。

同値関係になる

$u-v\in W$ のとき $u\sim v$ と書く。これは同値関係である^[1]。

反射律は $u-u=0\in W$。対称律は $u-v\in W$ なら $-(u-v)=v-u\in W$。推移律は $(u-v)+(v-w)=u-w\in W$。

どれも部分空間が和とスカラー倍で閉じていることから出る。$v$ の同値類がちょうど $v+W$ になる。

同値関係なので、2 つの剰余類は完全に一致するか、まったく交わらないかのどちらかである^[1]。$V$ 全体が剰余類たちに分割される。

$$u+W=v+W⟺u-v\in W$$

とくに $v+W=W$ となるのは $v\in W$ のときだけ。$W$ 自身が、新しい空間での零ベクトルの役をする。

演算を入れる

剰余類全体の集合を $V/W$ と書き、和とスカラー倍を代表元で定める^[1]。

$$(u+W)+(v+W)=(u+v)+W,c(v+W)=cv+W$$

ここで確かめることがある。代表元の選び方によらないか、という点である。同じ剰余類は無数の $v$ で書けるので、どれを使っても答えが同じでなければならない。

$u+W=u^{\prime }+W$ かつ $v+W=v^{\prime }+W$ とする。定義から $u-u^{\prime }\in W$、$v-v^{\prime }\in W$ である。

$$(u+v)-(u^{\prime }+v^{\prime })=(u-u^{\prime })+(v-v^{\prime })\in W$$

$W$ が和で閉じているので、差が $W$ に入る。よって $(u+v)+W=(u^{\prime }+v^{\prime })+W$ で、和は代表元によらない。

スカラー倍も同じ形になる。$c(u-u^{\prime })\in W$ はスカラー倍で閉じていることから出る。

この 2 つが通るので、$V/W$ はベクトル空間になる。零元は $W$ 自身、$v+W$ の逆元は $(-v)+W$ である。

次元の公式

有限次元なら、次元は引き算で出る^[2,3]。

$$\dim (V/W)=\dim V-\dim W$$

証明は基底の延長による^[2]。$W$ の基底 $w_1,\dots ,w_m$ をとり、$V$ の基底 $w_1,\dots ,w_m,v_{m+1},\dots ,v_n$ へ延長する。

このとき $v_{m+1}+W,\dots ,v_n+W$ が $V/W$ の基底になると主張する。本数は $n-m$ である。

張ることは簡単である。$v=\sum a_i{w}_i+\sum a_j{v}_j$ と書いて剰余類に移すと、$w_i+W=W$ なので $w$ の項が全部消える。

一次独立も見る。$\sum b_j(v_j+W)=W$ とすると $\sum b_j{v}_j\in W$ で、これを $w$ たちの一次結合として書ける。

移項すると $V$ の基底についての一次関係になる。基底なので係数は全部 $0$、とくに $b_j=0$ である^[2]。

例：直線で割る

$V={\mathbb{R}}^2$、$W$ を $x$ 軸とする。剰余類 $(a,b)+W$ は高さ $b$ の横線で、$a$ は結果に効かない^[1]。

高さと剰余類が 1 対 1 に対応するので、${\mathbb{R}}^2/W$ は $\mathbb{R}$ と同型になる。次元は $2-1=1$ で合う。

$V={\mathbb{R}}^3$、$W$ を $xy$ 平面にとると、剰余類は高さ $c$ の水平面である。${\mathbb{R}}^3/W\cong \mathbb{R}$ で、次元は $3-2=1$。

つぶした方向のぶんだけ次元が落ちる、という読み方ができる。

自然な射影

$V$ から $V/W$ への写像を、剰余類をとる操作で定める。

$$\pi :V\to V/W,\pi (v)=v+W$$

線形で全射である。核を計算すると、$\pi (v)=W$ となる $v$ の全体、つまり $W$ そのもの。

$$\ker \pi =W$$

$W$ の元をちょうど零へ落とす写像になっている。「つぶす」という言い方が、この核に対応する。

補空間 $W^{\prime }$ は $V/W$ と同型になるが、その同型は $W^{\prime }$ の選び方に依存する。商のほうは選択なしで定まる^[3]。

準同型定理

線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対して、次が成り立つ^[2]。

$$V/\ker f\cong \mathrm{Im}f$$

対応は $\tau (v+\ker f)=f(v)$ で与える。まず代表元によらないことを見る。

$v+\ker f=v^{\prime }+\ker f$ なら $v^{\prime }-v\in \ker f$ なので、$f(v^{\prime })=f(v^{\prime }-v)+f(v)=0+f(v)=f(v)$。定まっている^[2]。

線形性は $f$ の線形性から直ちに出る。全射なのは $\mathrm{Im}f$ の元がすべて $f(v)$ の形だからである。

単射も短い。$\tau (v+\ker f)=f(v)=0$ なら $v\in \ker f$ で、$v+\ker f$ は零元。

次元をとれば次元定理になる。$\dim V-\dim \ker f=\dim \mathrm{Im}f$ で、階数と退化次数の関係そのものである^[2]。

例：具体的な写像で確かめる

$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ を $f(x,y,z)=(x+y,z)$ とする。

核は $x+y=0$ かつ $z=0$ を満たす点で、$\{(t,-t,0)\}$ という直線である。次元は $1$。

像は ${\mathbb{R}}^2$ 全体になる。$(p,q)$ に対して $f(p,0,q)=(p,q)$ だからである。

$${\mathbb{R}}^3/\ker f\cong {\mathbb{R}}^2$$

次元も $3-1=2$ で合う。もとの ${\mathbb{R}}^3$ から、核の方向 1 つぶんが消えている。

例：多項式の空間で割る

実係数多項式の空間 $P$ から $\mathbb{R}$ への写像を $f(p)=p(0)$ とする。定数項をとり出す操作である。

核は $p(0)=0$ を満たす多項式、つまり $x$ で割り切れるもの全体。像は $\mathbb{R}$ 全体である。

$P/\ker f\cong \mathbb{R}$ になる。$x$ の倍数の違いを無視すると、残るのは定数項だけ。

商が便利なところ

商空間は、要らない自由度を落とす道具として使う。補空間を選ばずに済むのが利点である^[3]。

同じことを補空間でやろうとすると、まず $W^{\prime }$ を 1 つ選ぶ必要がある。選び方は無数にあり、結果の見え方が変わる。

商なら $W$ を決めた時点で空間が決まる。あとから別の人が同じ構成をしても、同じものができる。

代表元の話も確かめる。

補足

商の構成は線形代数だけのものではない。群を正規部分群で割る、環をイデアルで割る、いずれも同じ形をしている。

共通しているのは、割る対象が「零に落としてよい部分」だという点である。線形空間では部分空間、群では正規部分群、環ではイデアルがその役をになう。

位相の商もある。円周を $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ として作るのがその例で、整数だけずれた点を同一視している。

つぶす方向を部分空間で指定し、残りを空間として扱う。その残りの正体を言い当てるのが準同型定理である。

参考文献