商空間の定義と例

線形空間 $V$ の部分空間 $W$ で「割る」ことで、新たな線形空間を構成できる。これが商空間であり、抽象代数学における商構成の線形代数版にあたる。直感的には、 $W$ 方向の違いを無視して「同じ」とみなす操作である。

同値関係と剰余類

$V$ を体 $K$ 上の線形空間、 $W$ をその部分空間とする。 $V$ の 2 つの元 $u, v$ に対して、

$u \sim v ⟺ u - v \in W$

と定義すると、 $\sim$ は同値関係になる。 $v$ を含む同値類を $v + W$ と書き、剰余類（あるいは同値類、コセット）と呼ぶ。

$v + W = {v + w ∣ w \in W}$

これは $v$ を $W$ の方向にずらした「平行移動」全体の集合であり、 $W$ 自身を $v$ だけシフトしたものと考えられる。2 つの剰余類 $u + W$ と $v + W$ は、完全に一致するか、まったく共通要素をもたないかのどちらかであり、 $V$ 全体がこれらの剰余類に分割される。

商空間の定義

剰余類全体の集合

$V / W = {v + W ∣ v \in V}$

に、次の演算を導入する。

$(u + W) + (v + W) = (u + v) + W$

$c (v + W) = c v + W (c \in K)$

これらの演算が well-defined であること、すなわち代表元の選び方に依存しないことを確認する必要がある。 $u + W = u^{'} + W$ かつ $v + W = v^{'} + W$ ならば $u - u^{'} \in W$ かつ $v - v^{'} \in W$ であり、 $(u + v) - (u^{'} + v^{'}) = (u - u^{'}) + (v - v^{'}) \in W$ となるので、和の定義は矛盾しない。スカラー倍についても同様に確かめられる。

これらの演算のもとで $V / W$ は線形空間になり、これを $V$ の $W$ による商空間と呼ぶ。零元は $0 + W = W$ であり、 $v + W$ の逆元は $(- v) + W$ である。

次元の公式

$V$ が有限次元のとき、商空間の次元は次の公式で与えられる。

$dim (V / W) = dim V - dim W$

この式は、 $W$ 方向の自由度が「つぶされた」結果、残りの自由度が商空間の次元になることを端的に表している。

具体例

いくつかの具体的な商空間を見てみよう。

R^{2} / W

（直線で割る）

$V = R^{2}$ 、 $W = {(t, 0) ∣ t \in R}$ （ $x$ 軸）とする。剰余類 $(a, b) + W$ は $y$ 座標が $b$ であるすべての点からなる水平線である。 $(a_{1}, b) + W = (a_{2}, b) + W$ なので、 $x$ 座標の違いは無視され、 $y$ 座標だけで剰余類が決まる。 $R^{2} / W ≅ R$ となり、次元は $2 - 1 = 1$ で整合する。

R^{3} / W

（平面で割る）

$V = R^{3}$ 、 $W = {(x, y, 0) ∣ x, y \in R}$ （ $x y$ 平面）とする。剰余類 $(a, b, c) + W$ は高さ $c$ にある水平面全体にあたる。したがって $R^{3} / W ≅ R$ であり、次元は $3 - 2 = 1$ となる。

自然な射影（標準射影）

$V$ から $V / W$ への写像

$π : V \to V / W, π (v) = v + W$

は線形写像であり、自然な射影（標準射影、正準射影）と呼ばれる。この写像は全射であり、その核は

$ker π = {v \in V ∣ v + W = W} = W$

となる。つまり、 $W$ の元がちょうど零元に潰される写像になっている。

準同型定理との関係

商空間の真価は、線形写像の準同型定理（第一同型定理）と結びつくことで発揮される。線形写像 $f : V \to V^{'}$ に対して、

$V / ker f ≅ Im f$

が成り立つ。この定理は「核で割った商空間は像と同型である」と述べており、線形写像の構造を完全に特徴づけるものである。

線形写像 $f : V \to V^{'}$ が与えられる

核 $ker f$ で $V$ を割って商空間 $V / ker f$ を作る

商空間と像 $Im f$ が同型になる

たとえば $f : R^{3} \to R^{2}$ を $f (x, y, z) = (x + y, z)$ とすると、 $ker f = {(t, - t, 0) ∣ t \in R}$ であり、 $R^{3} / ker f ≅ R^{2}$ が成り立つ。商空間は抽象的に見えるが、「不要な方向をつぶして本質的な構造だけを取り出す」という操作として、代数学や幾何学の随所に登場する基本概念である。