双曲線の離心率と焦点・準線｜高校数学

二次曲線を統一的に理解するうえで欠かせないのが離心率（eccentricity）という概念だ。離心率は曲線の「開き具合」を数値化したもので、楕円・放物線・双曲線を 1 つのパラメータで分類できる。ここでは双曲線の離心率を中心に、焦点と準線の関係を掘り下げていく。

離心率の定義

二次曲線の離心率 $e$ は、焦点 $F$ から曲線上の点 $P$ までの距離と、準線 $l$ から点 $P$ までの距離の比として定義される。

$e = \frac{PF}{P d}$

ここで $P d$ は点 $P$ から準線 $l$ までの距離である。この比が曲線上のすべての点で一定になるのが二次曲線の特徴であり、 $e$ の値によって曲線の種類が決まる。

0 < e < 1

のとき

楕円になる。焦点からの距離が準線からの距離よりも常に短い。

e = 1

のとき

放物線になる。焦点と準線からの距離がちょうど等しい。

e > 1

のとき

双曲線になる。焦点からの距離が準線からの距離を常に上回る。

双曲線は $e > 1$ であることから、楕円に比べて「開いた」曲線であることが離心率の大きさに反映されている。

双曲線の離心率を求める

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の離心率は、焦点距離 $c$ と頂点間の半径 $a$ を用いて次のように表される。

$e = \frac{c}{a}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ より $c > a$ であるから、確かに $e > 1$ が成り立つ。 $b$ が $a$ に比べて大きくなるほど $c$ も大きくなり、離心率は増加する。離心率が大きいほど双曲線の 2 つの枝は大きく開き、漸近線の角度も広がっていく。

$e = \frac{c}{a}$ の条件	$e > 1$ （双曲線）
$c$ と $a$ の関係	$c = a^{2} + b^{2}$
$e$ が 1 に近いとき	2 つの枝が細長くなる
$e$ が大きいとき	2 つの枝が大きく開く

離心率は漸近線の傾きとも関連している。漸近線の傾きは $\pm \frac{b}{a}$ であり、 $b = c^{2} - a^{2} = a e^{2} - 1$ から、傾きは $\pm e^{2} - 1$ と書き換えることもできる。

準線の方程式

楕円と同様に、双曲線にも準線が存在する。焦点 $(c, 0)$ に対応する準線は、

$x = \frac{a ^{2}}{c} = \frac{a}{e}$

で与えられる。もう一方の焦点 $(- c, 0)$ に対応する準線は $x = - \frac{a}{e}$ となる。準線は頂点よりも原点に近い位置にあり、 $\frac{a}{e} < a$ （ $e > 1$ のため）という不等式からこれが確認できる。

楕円の準線

$x = \pm \frac{a}{e}$ （頂点より外側、 $e < 1$ なので $\frac{a}{e} > a$ ）

双曲線の準線

$x = \pm \frac{a}{e}$ （頂点より内側、 $e > 1$ なので $\frac{a}{e} < a$ ）

楕円と双曲線では準線の式自体は同じ形だが、離心率の大小によって準線の位置が頂点の外側か内側かという違いが生まれる。

焦点・準線による双曲線の定義

離心率と準線を用いると、双曲線は次のように定義できる。「焦点 $F$ からの距離と準線 $l$ からの距離の比が一定値 $e > 1$ である点の軌跡」が双曲線である。この定義は楕円や放物線にも共通する形式であり、二次曲線の統一的な特徴づけを与えている。

実際にこの定義から方程式を導いてみよう。焦点を $(c, 0)$ 、準線を $x = \frac{a}{e} = \frac{a ^{2}}{c}$ とし、曲線上の点 $P (x, y)$ について条件 $\frac{PF}{P d} = e$ を立てると、

$(x - c)^{2} + y^{2} = e x - \frac{a ^{2}}{c}$

両辺を 2 乗して整理すれば、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ が得られる。この計算は少し煩雑だが、離心率と準線の定義が標準形に帰着することを示す重要な過程である。

具体例

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ について考えてみよう。 $a = 3$ 、 $b = 4$ であるから、 $c = 9 + 16 = 5$ となり、離心率は $e = \frac{5}{3}$ である。準線は $x = \pm \frac{a ^{2}}{c} = \pm \frac{9}{5}$ に位置する。

$a$	3
$b$	4
$c$	5
離心率 $e$	$\frac{5}{3} \approx 1.67$
焦点	$(\pm 5, 0)$
準線	$x = \pm \frac{9}{5}$
漸近線	$y = \pm \frac{4}{3} x$

この双曲線は $e \approx 1.67$ と離心率がそれなりに大きく、漸近線の傾きも $\pm \frac{4}{3}$ と急角度であるため、比較的大きく開いた形状になる。

離心率と天体軌道

離心率は天文学でも重要な役割を果たしている。惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円（ $e < 1$ ）だが、一部の彗星は双曲線軌道（ $e > 1$ ）をとることが知られている。双曲線軌道の天体は太陽系を一度通過したあと二度と戻ってこない。2017 年に発見されたオウムアムアは $e \approx 1.2$ の双曲線軌道をもち、太陽系外から飛来した天体として大きな話題になった。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$ の離心率はいくつか。

$\frac{3}{2}$
$3$
$2$
$4$

__RESULT__

$a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 12$ なので $c = 4 + 12 = 4$ である。離心率は $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2$ となる。

離心率は二次曲線を統一的に捉えるための鍵であり、双曲線に限らず楕円や放物線を学ぶ際にも繰り返し登場する概念だ。 $e$ の値が 1 より大きいか小さいかで曲線の性質がどう変わるか、常に意識しておくとよいだろう。