離心率が 1 を超えると双曲線になる〜焦点と準線の関係

定点からの距離と、定直線までの距離の比が一定になる点を集めると、二次曲線になります。定点を焦点、定直線を準線、比の値を離心率といいます。

$$\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=e(\text{一定})$$

$\mathrm{PH}$ は準線までの距離。この $e$ の値だけで、できあがる曲線の種類が決まります。

$e$ を $0$ から大きくしていくと、閉じた楕円がだんだん細長くなり、$1$ を通過した瞬間に開いて双曲線へ変わります。$3$ 種類の二次曲線が、$1$ 本の数直線の上に並んでいる格好です。

e の値で決まる 3 つの型

$e=0$ は円にあたります。焦点が中心に来て準線が無限遠へ去るので、比としては特別な場合の扱いです。

双曲線の離心率

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の離心率は、焦点までの距離と頂点までの距離の比です。

$$e=\frac{c}{a},c=\sqrt{a^2+b^2}$$

$c>a$ なので $e>1$ が必ず成り立ちます。双曲線では焦点が頂点の外にあるためです。

準線は $x=\pm \frac{a^2}{c}$ の $2$ 本。焦点よりも内側にあります。$\frac{a^2}{c}<a<c$ という並びです。

数を入れる

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ を見ます。$a=3$, $b=4$ なので $c=\sqrt{9+16}=5$。

$$e=\frac{5}{3}$$

準線は $x=\pm \frac{9}{5}$。焦点 $(\pm 5,0)$、頂点 $(\pm 3,0)$、準線 $x=\pm 1.8$ の順に、外から内へ並びます。

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ なら $c=3$、$e=\frac{3}{2}$、準線は $x=\pm \frac{4}{3}$ です。

定義から確かめる

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の頂点 $(3,0)$ で、比が本当に $\frac{5}{3}$ になるか見ます。

焦点 $(5,0)$ までの距離は $2$。準線 $x=\frac{9}{5}$ までの距離は $3-\frac{9}{5}=\frac{6}{5}$。

$$\frac{2}{6/5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$

一致しました。別の点でも同じ比になります。

点をどこへ動かしても、$2$ 本のバーの比は $1.67$ のまま。青が焦点まで、灰色が準線までの距離です。この比が離心率にあたります。

楕円と放物線の離心率

同じ枠組みで $3$ 種類が並びます。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b$）なら

$$e=\frac{c}{a},c=\sqrt{a^2-b^2}$$

$c<a$ なので $0<e<1$。準線は $x=\pm \frac{a^2}{c}$ で、こちらは焦点より外にあります。

放物線は $e=1$。焦点までの距離と準線までの距離がつねに等しい、という定義そのものです。

準線の位置をそろえて見る

準線が $x=\frac{a^2}{c}$ なのは、$3$ 種類に共通です。楕円では $c<a$ だから $\frac{a^2}{c}>a$ で曲線の外、双曲線では $c>a$ だから $\frac{a^2}{c}<a$ で頂点の内側にきます。

$e$ が $1$ をまたぐ瞬間に、準線と焦点の位置関係が入れ替わる。曲線が閉じるか開くかの境目が、ここに現れています。

極方程式でまとめる

焦点を原点にとり、準線までの距離を $\ell$ とすると、$3$ 種類が $1$ つの式で書けます。

$$r=\frac{e\ell }{1+e\cos \theta }$$

$e$ に $0.5$ を入れれば楕円、$1$ なら放物線、$2$ なら双曲線。最初のアニメーションはこの式で描いています。

分母が $0$ になる $\theta$ があるかどうかが分かれ目です。$e<1$ なら $e\cos \theta$ は $-1$ に届かないので $r$ は有限のまま。$e>1$ だと届いてしまい、$r$ が無限に飛ぶ方向が現れます。それが漸近線の向きです。

離心率から式を作る

焦点が $(4,0)$、離心率が $2$、中心が原点の双曲線を求めます。

$c=4$, $e=\frac{c}{a}=2$ から $a=2$。$b^2=c^2-a^2=16-4=12$。

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$

漸近線は $y=\pm \frac{\sqrt{12}}{2}x=\pm \sqrt{3}x$。準線は $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm 1$ です。

離心率と形の関係

双曲線では、$e$ が $1$ に近いほど枝が細く、大きいほど開きます。漸近線の傾き $\frac{b}{a}$ と $e$ の関係を見ると理由が分かります。

$$e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$$

$e$ が大きいほど $\frac{b}{a}$ が大きい。漸近線が立ってきて、枝が大きく開きます。$e\to 1$ では $\frac{b}{a}\to 0$ で、漸近線が横に寝ていきます。