漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + rⁿ 型の解法

漸化式 $a_{n+1}=p{a}_n+r^n$ の形は、等比数列の漸化式に指数関数の項が加わったものである。特性方程式だけでは処理できないため、両辺を適切な値で割ることで等比型に帰着させるのが基本戦略となる。

基本形と解法の方針

扱う漸化式の形は次の通り。

$$a_{n+1}=p{a}_n+r^n$$

ここで $p,r$ は定数で、$p\ne 0$, $r\ne 0$, $p\ne r$ とする。この型の漸化式は、両辺を $r^{n+1}$ で割って $b_n=\frac{a_n}{r^n}$ と置換することで見通しがよくなる。

両辺を $r^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\frac{p}{r}\cdot \frac{a_n}{r^n}+\frac{1}{r}$$

ここで $b_n=\frac{a_n}{r^n}$ とおけば、

$$b_{n+1}=\frac{p}{r}{b}_n+\frac{1}{r}$$

となり、$b_{n+1}=\alpha b_n+\beta$ という 1 次漸化式に帰着する。あとは特性方程式 $x=\frac{p}{r}x+\frac{1}{r}$ を解いて等比型に変形すればよい。

具体例 1：$a_{n+1}=3a_n+2^n$

$a_1=1$ とする。両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}$$

$b_n=\frac{a_n}{2^n}$ とおくと $b_{n+1}=\frac{3}{2}{b}_n+\frac{1}{2}$ を得る。特性方程式 $x=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ を解くと $x=-1$ なので、

$$b_{n+1}+1=\frac{3}{2}(b_n+1)$$

$b_1=\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$ より $b_1+1=\frac{3}{2}$ であるから、

$$b_n+1=\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{3}{2}\right)}^n$$

したがって $b_n={\left(\frac{3}{2}\right)}^n-1$ となり、$a_n=2^n{b}_n$ に戻すと、

$$a_n=2^n\left\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^n-1\right\}=3^n-2^n$$

具体例 2：$a_{n+1}=2a_n+3^n$

$a_1=1$ として解く。両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}$$

$b_n=\frac{a_n}{3^n}$ とおけば $b_{n+1}=\frac{2}{3}{b}_n+\frac{1}{3}$ となる。特性方程式 $x=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ の解は $x=1$ であるから、

$$b_{n+1}-1=\frac{2}{3}(b_n-1)$$

$b_1=\frac{1}{3}$ より $b_1-1=-\frac{2}{3}$ なので、

$$b_n-1=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$

よって $b_n=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ となり、

$$a_n=3^n\left\{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right\}=3^n-2^n$$

興味深いことに、具体例 1 と同じ一般項 $a_n=3^n-2^n$ が得られた。これは初期値と係数の組み合わせが偶然一致した結果であり、一般には異なる一般項になる。

$p=r$ の場合

$p=r$ のとき、つまり $a_{n+1}=p{a}_n+p^n$ の場合は少し事情が異なる。両辺を $p^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\frac{1}{p}$$

$b_n=\frac{a_n}{p^n}$ とおけば $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{p}$ という等差数列になる。この場合は特性方程式を使うまでもなく、

$$b_n=b_1+(n-1)\cdot \frac{1}{p}$$

として解ける。$p=r$ のケースは階差型漸化式に帰着するため、むしろ簡単になるわけである。

解法の手順まとめ

この型の漸化式を解く流れを整理しておこう。

注意すべき点として、$r^{n+1}$ ではなく $p^{n+1}$ で割るアプローチも可能だが、$r^{n+1}$ で割る方が指数項を消去できるため見通しがよくなることが多い。どちらで割っても最終的な答えは同じになるので、計算しやすい方を選べばよい。