半局所環

半局所環は、有限個の極大イデアルをもつ環である。局所環の一般化であり、有限個の点の近傍を同時に扱う際に現れる。

定義

可換環 $R$ が半局所環（semilocal ring）であるとは、$R$ の極大イデアルが有限個であることをいう。極大イデアルの個数が 1 のときが局所環であり、半局所環はその一般化だ。

$R$ の Jacobson 根基 $J(R)$ は、すべての極大イデアルの共通部分として定義される。半局所環では $J(R)$ が有限個のイデアルの共通部分となる。

基本性質

半局所環 $R$ の極大イデアルを ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_n$ とする。このとき、中国剰余定理により

$$R/J(R)\cong R/{\mathfrak{m}}_1\times \cdots \times R/{\mathfrak{m}}_n$$

が成り立つ。$R/J(R)$ は体の有限直積、すなわち半単純環である。

例

整数環の局所化 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ は局所環だが、$\mathbb{Z}$ の $\{p,q\}$（$p\ne q$ は素数）による局所化は半局所環である。極大イデアルは $(p)$ と $(q)$ の 2 つだ。

$k[x]/(x(x-1))$ は半局所環である。極大イデアルは $(x)$ と $(x-1)$ の像であり、

$$k[x]/(x(x-1))\cong k\times k$$

と分解する。これは 2 点からなる離散的な図形に対応している。

半局所環の完備化

半局所環 $R$ の $J(R)$-進完備化 $\hat{R}$ も半局所環となる。極大イデアルの個数は完備化で保たれる。

完備半局所環は、完備局所環の有限直積として分解する。

$$\hat{R}\cong {\hat{R}}_{{\mathfrak{m}}_1}\times \cdots \times {\hat{R}}_{{\mathfrak{m}}_n}$$

ここで各 ${\hat{R}}_{{\mathfrak{m}}_i}$ は ${\mathfrak{m}}_i$-進完備化である。

幾何学的意味

代数幾何学において、半局所環は有限個の点からなる部分スキームの近傍に現れる。局所環が 1 点の近傍を扱うのに対し、半局所環は有限個の点を同時に扱える。

たとえば、曲線上の 2 点 $P,Q$ を同時に考えるとき、その局所環は半局所環となる。分岐理論や交点理論で自然に現れる設定だ。

有限次元代数との関係

体 $k$ 上の有限次元 $k$-代数は半局所環である。特に、$k[G]$（有限群 $G$ の群環）は半局所環であり、$\mathrm{char}k=0$ または $\mathrm{char}k\nmid |G|$ のとき半単純となる。

表現論において、半局所環とその完備化は基本的な対象である。