極大イデアルが有限個しかないってどういうこと？半局所環の基本

極大イデアルが有限個しかない環を半局所環といいます^[1]。$1$ 個なら局所環で、その一歩だけ広げたもの。

$\mathbb{Z}$ を $3$ と $5$ の 2 か所だけで局所化すると、極大イデアルが $2$ 個の環になります^[1]。1 点ではなく、有限個の点のまわりを同時に見る道具です。

定義と Jacobson 根基

$R$ の極大イデアルが ${\mathfrak{m}}_1,\dots ,{\mathfrak{m}}_r$ の有限個だとします。Jacobson 根基はその共通部分です。

$$J(R)={\mathfrak{m}}_1\cap \cdots \cap {\mathfrak{m}}_r$$

局所環では $J(R)=\mathfrak{m}$ になります。半局所環では有限個の交わりで、無限個の交わりを扱わずに済む。

中山の補題は $J(R)$ に含まれるイデアルで働きます。だから半局所環でも、局所環と同じ道具立てが使えます。

剰余は体の直積になる

${\mathfrak{m}}_i$ は互いに素なので、中国剰余定理が使えます。

$$R/J(R)\cong R/{\mathfrak{m}}_1\times \cdots \times R/{\mathfrak{m}}_r$$

右辺は体の有限直積です。半単純な環になっている^[4]。

根基で割ると、環の「骨組み」が $r$ 個の体に分かれる。局所環なら $1$ 個の体、つまり剰余体そのものです。

$r$ が有限であることが効いています。極大イデアルが無限にあると、この分解は成り立ちません。

例：整数環を 2 か所で局所化する

$S$ を $3$ でも $5$ でも割り切れない整数の全体とし、$R=S^{-1}\mathbb{Z}$ とおきます。${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ と書いても同じもの。

極大イデアルは $3R$ と $5R$ の $2$ つだけです^[1]。ほかの素数はすべて単元になっています。

$J(R)=3R\cap 5R=15R$ で、$R/15R\cong {\mathbb{F}}_3\times {\mathbb{F}}_5$。体が $2$ つ並びます。

この環は整域です。だから $R$ 自身が直積に分かれることはありません。分かれるのは根基で割ったあとだけ。

例：座標環が 2 点を表す

$R=k[x]/(x(x-1))$ をとります。極大イデアルは $(x)$ と $(x-1)$ の像の $2$ つ。

ここでは根基が $0$ なので、環そのものが直積になります。

$$k[x]/(x(x-1))\cong k\times k$$

幾何では、$2$ 点だけからなる図形の座標環にあたります。$2$ 点が離れているので、環も 2 つに割れる。

前の例と比べると違いがはっきりします。${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ の $2$ 点は生成点でつながっているので、環は割れません。

直積に分かれる条件

$R$ が有限個の極大イデアルを持ち、$J(R)$ が局所冪零なら、$R$ は極大イデアルでの局所化の直積になります^[2]。

$$R\cong R_{{\mathfrak{m}}_1}\times \cdots \times R_{{\mathfrak{m}}_r}$$

このとき素イデアルはすべて極大です。スペクトルが有限個の離散な点になる。

条件が要るのは、根基が冪零でないと点どうしが分離しないためです。${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ では ${\bigcap }_n{J}^n=0$ で、冪零からはほど遠い。

アルティン環は半局所

ネーターで Krull 次元が $0$ の環、つまり長さが有限の環を考えます。次の 3 つは同値です^[3]。

とくに極大イデアルは有限個です。アルティン環は半局所環であり、しかも局所環の有限直積まで分かれます^[3]。

体上の有限次元代数もここに入ります。有限群 $G$ の群環 $k[G]$ は有限次元なので半局所です。

PID なら根基の有無で決まる

$R$ を単項イデアル整域とします。体でなければ、$J(R)\ne 0$ であることと $R$ が半局所であることが同値になります^[4]。

素元が無限にあれば、根基は $0$ です。$\mathbb{Z}$ や $k[x]$ がその形になります。

素元が有限個なら、その積が根基を生む。${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ では $15$ が生成元です。

半局所デデキント整域は単項イデアル整域

デデキント整域の中では、半局所という条件がそのまま単項性に化けます^[1]。

イデアルの素因子が有限種類しかないので、素イデアルの積で書いたときに、ちょうどその積を実現する元がとれます。

${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ のイデアルは $3^a{5}^b$ の形の元で生成されます。すべて単項です。

代数体の整数環は一般に単項イデアル整域ではありません。ところが有限個の素点で局所化すると、類群が消えて単項になる^[1]。

完備化

$J(R)$ 進位相で完備化すると、$\hat{R}$ も半局所になります。極大イデアルの個数は変わりません。

さらに完備なので、根基の冪が実質的に冪零のようにふるまいます。完備半局所環は、完備局所環の有限直積に分かれる。

$$\hat{R}\cong {\hat{R}}_{{\mathfrak{m}}_1}\times \cdots \times {\hat{R}}_{{\mathfrak{m}}_r}$$

もとの環は分かれなくても、完備化すると分かれます。${\mathbb{Z}}_{(3)}\cap {\mathbb{Z}}_{(5)}$ を完備化すると ${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_5$ になる。

整域だったものが、完備化で整域でなくなります。完備化がどれだけ強い操作かが見える例です。

幾何で見ると

局所環は 1 点のまわりを表します。半局所環は有限個の点のまわりを同時に表す。

曲線上の $2$ 点 $P$ と $Q$ を同時に扱いたいとき、両方の点で局所化した環が半局所環になります。

分岐の様子を調べるときや、交点を数えるときに自然に現れる設定です。点を 1 つに絞ると情報が足りなくなる場面で使います。

まちがえやすい点

点を 1 個から有限個へ増やす。それだけで中国剰余定理が使えるようになり、局所環の道具が広い場面に届きます。

出典