部分空間の直和と直和分解：分け方が 1 通りに決まる条件

$R^{3}$ の点 $(a, b, c)$ は、 $(a, b, 0) + (0, 0, c)$ と分けられます。 $x y$ 平面の点と $z$ 軸の点の和。

この分け方は 1 通りしかありません。2 つの部分空間が原点でしか交わらないため。

$z$ 軸を $x z$ 平面に替えると、 $(1, 0, 0)$ が $x y$ 平面の元としても $x z$ 平面の元としても書けます。分け方が何通りも現れる。

部分空間の和

$V$ の部分空間 $W_{1}$ 、 $W_{2}$ に対して、和を次で定めます。

$W_{1} + W_{2} = {w_{1} + w_{2} ∣ w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2}}$

これも $V$ の部分空間になる。2 つ足してもスカラー倍しても、 $W_{1}$ 側と $W_{2}$ 側に分けた形のまま。

集合としての和集合 $W_{1} \cup W_{2}$ とは別物です。和集合はふつう部分空間になりません。 $x$ 軸と $y$ 軸の和集合には $(1, 1)$ が入っていない。

直和の定義

$W_{1} \cap W_{2} = {0}$ が成り立つとき、 $W_{1} + W_{2}$ を直和と呼び、 $W_{1} \oplus W_{2}$ と書く。

$0$ でないベクトルを 1 つも共有していない、という条件です。

一意性と同値になる

直和であることと、分解が一意であることは同値になる。両向きを示します。

一意ならば交わりが ${0}$ になること。 $v \in W_{1} \cap W_{2}$ をとると、 $v$ には 2 通りの書き方があります。

$v = v + 0 (v \in W_{1}, 0 \in W_{2}), v = 0 + v (0 \in W_{1}, v \in W_{2})$

一意だから $v = 0$ 。交わりは原点だけになります。

逆向きも同じ形です。 $v = u_{1} + w_{1} = u_{2} + w_{2}$ と 2 通りに書けたとして、移項する。

$u_{1} - u_{2} = w_{2} - w_{1}$

左辺は $W_{1}$ の元、右辺は $W_{2}$ の元。同じベクトルだから交わりに入り、 ${0}$ より $u_{1} = u_{2}$ 、 $w_{1} = w_{2}$ です。

次元の公式

部分空間の和の次元は、重なりのぶんだけ引いた形になります。

$dim (W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2} - dim (W_{1} \cap W_{2})$

直和なら $dim (W_{1} \cap W_{2}) = 0$ だから、引く項が消える。

$dim (W_{1} \oplus W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2}$

逆向きにも使えます。 $dim (W_{1} + W_{2})$ が次元の和に等しければ、交わりは ${0}$ 。分解を 1 つも書かなくても、次元を数えれば直和かどうかが決まります。

例： $R^{3}$ を平面と直線に分ける

$W_{1} = {(x, y, 0)}$ 、 $W_{2} = {(0, 0, z)}$ とします。次元はそれぞれ $2$ と $1$ 。

交わりは $x = y = z = 0$ を満たす点だけで ${0}$ 。和の次元は $2 + 1 = 3$ で、 $R^{3}$ 全体になります。

$R^{3} = W_{1} \oplus W_{2}$

$(a, b, c)$ の分解は $(a, b, 0) + (0, 0, c)$ の 1 通りに決まる。

例：直和にならない場合

$W_{1} = {(x, y, 0)}$ 、 $W_{3} = {(x, 0, z)}$ とします。 $x y$ 平面と $x z$ 平面。

交わりは $x$ 軸全体で、 ${0}$ ではありません。次元の公式では $2 + 2 - 1 = 3$ となる。

和は $R^{3}$ 全体になりますが、分け方は 1 通りではない。 $(1, 0, 0)$ は、どの実数 $t$ をとっても次のように書けます。

$(1, 0, 0) = (t, 0, 0) + (1 - t, 0, 0)$

左の項が $W_{1}$ 、右の項が $W_{3}$ の元です。分け方は無限にあり、交わっている $x$ 軸のぶんだけ自由が残っている。

$2 + 2 = 4 \neq = 3$ だから、次元を見ても直和でないと分かります。

単なる和

交わりが原点より広い。同じベクトルに複数の分け方がある

直和

交わりが原点だけ。分け方はどのベクトルでも 1 通りに決まる

3 つ以上では条件が変わる

部分空間が 3 つ以上のとき、「どの 2 つをとっても交わりが ${0}$ 」では足りない。

$R^{2}$ で、 $W_{1}$ を $x$ 軸、 $W_{2}$ を $y$ 軸、 $W_{3}$ を直線 $y = x$ とします。どの 2 本も原点でしか交わらない。

ところが $(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = 0$ となり、零ベクトルが $0 + 0 + 0$ 以外の形にも分解できます。

次元でも合いません。 $W_{1} + W_{2} + W_{3} = R^{2}$ で $2$ 次元、 $1 + 1 + 1 = 3$ とずれる。

正しい条件は、各 $W_{i}$ と「残り全部の和」の交わりが ${0}$ になることです^[1]。

$W_{i} \cap j \neq = i \sum W_{j} = {0} (i = 1, \dots, k)$

零ベクトルの分解で言い換えられる。 $w_{1} + \dots + w_{k} = 0$ （ $w_{i} \in W_{i}$ ）の解が $w_{i} = 0$ だけになる、という条件です。

基底をつなぐ

$V = W_{1} \oplus \dots \oplus W_{k}$ のとき、各 $W_{i}$ の基底を全部つなぐと $V$ の基底になります。

一次独立になるのは、一次関係を $W_{i}$ ごとにまとめると零ベクトルの分解が現れるため。直和なら各まとまりが $0$ になり、そこから各係数が $0$ と決まります。

$V$ 全体を張ることは、和の定義からたどれます。 $V$ の元はどれも $w_{1} + \dots + w_{k}$ と書け、各 $w_{i}$ が $W_{i}$ の基底で書ける。

次元の足し算は、この言い換えです。つないだベクトルの個数を数えれば、そのまま $\sum dim W_{i}$ になる。

補空間はいつでもとれる

有限次元の $V$ で部分空間 $W$ を 1 つ決めると、 $V = W \oplus W^{'}$ を満たす $W^{'}$ が必ず存在します。 $W$ の基底を $V$ の基底へ延長し、足したぶんが張る空間をとればよい。

ただし $W^{'}$ は 1 つに決まりません^[2]。 $R^{2}$ で $W$ を $x$ 軸とすると、 $y$ 軸も直線 $y = x$ も補空間になります。

直交補空間なら 1 つに決まります。ただし、そちらには内積がいる。内積のない空間では、補空間は選ぶものです。

部分空間 $W$ を決める

基底を延長して補空間をとる

$V = W \oplus W^{'}$ になるが $W^{'}$ は一意でない

射影と 1 対 1 に対応する

$V = W_{1} \oplus W_{2}$ が決まると、 $v = w_{1} + w_{2}$ に対して $P v = w_{1}$ と定める写像ができます。線形で、 $P^{2} = P$ を満たす。

逆に $P^{2} = P$ から直和分解が導けます。 $v = (v - P v) + P v$ と書くと、 $P v \in Im P$ 、 $P (v - P v) = P v - P^{2} v = 0$ より $v - P v \in ker P$ 。

交わりも ${0}$ です。 $w \in Im P \cap ker P$ なら $w = P u$ と書け、 $w = P u = P^{2} u = P (P u) = P w = 0$ 。

$V = ker P \oplus Im P$

直和分解とべき等な写像は、片方を決めればもう片方が決まる関係にあります。

固有空間への分解

行列 $A$ が対角化できることは、空間が固有空間の直和になることと同じです^[3]。

$V = E_{λ_{1}} \oplus E_{λ_{2}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{k}}$

異なる固有値の固有空間は、和が直和になる。各成分の上で $A$ はスカラー倍として働くため、行列の作用が固有値の並びだけで書ける。

各 $E_{λ_{i}}$ の基底をつなげば、固有ベクトルからなる基底ができます。それを列に並べた行列で $A$ が対角化される。

対角化できない行列でも、一般固有空間なら直和分解がとれます。

$ker (A - λ I)^{n}$ をとる形。固有ベクトルが足りていても足りていなくても空間を張り切り、ジョルダン標準形の土台になります。

$R^{4}$ の部分空間 $W_{1}$ 、 $W_{2}$ が $dim W_{1} = 3$ 、 $dim W_{2} = 2$ のとき、 $W_{1} + W_{2}$ は直和になりますか。

なる
ならない
場合による

__RESULT__

次元の公式から $dim (W_{1} + W_{2}) = 5 - dim (W_{1} \cap W_{2})$ です。左辺は $R^{4}$ の部分空間だから $4$ 以下、よって $dim (W_{1} \cap W_{2}) \geq 1$ 。交わりが原点だけにはなりません。

3 つの部分空間について、どの 2 つの交わりも ${0}$ でした。和は直和ですか。

直和になる
直和とは限らない
交わりが ${0}$ なら定義から直和

__RESULT__

$R^{2}$ の $x$ 軸、 $y$ 軸、直線 $y = x$ が反例です。どの 2 本も原点でしか交わりませんが、 $(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = 0$ となり分解が一意になりません。各部分空間と残り全部の和との交わりを見ることになる。

交わりを ${0}$ にすると、分け方が 1 通りに決まり、成分ごとに切り離して扱えます。対角化もジョルダン標準形も、空間をどの部分空間の直和に割るかを決める話です。

出典

Michael Ganster. *Summen und direkte Summen*. Lineare Algebra, Technische Universität Graz.

*Sous-espaces supplémentaires*. Toutes les mathématiques (TLM1).

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 4. Brown University.

$(a, b, c)$ を $(a, b, 0) + (0, 0, c)$ と分ける、この分け方が 1 通りしかない理由が $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ です。交わりが原点だけという条件は、分解が一意という条件と同値になる。次元は $\dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ で、直和なら引く項が消えます。3 つ以上では条件が変わり、$x$ 軸と $y$ 軸と直線 $y = x$ のように、どの 2 本も原点でしか交わらないのに分解が一意にならない例が現れる。補空間が 1 つに決まらないこと、$P^2 = P$ と直和分解が 1 対 1 に対応すること、固有空間への分解が対角化そのものだというところまで。