完全交叉環

完全交叉環は、正則局所環を「正則列で割った」形で得られる環である。Cohen-Macaulay 環の特別な場合であり、ホモロジー的によい性質をもつ。

定義

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ が完全交叉（complete intersection）であるとは、ある正則局所環 $(S,\mathfrak{n})$ と $S$-正則列 $f_1,\dots ,f_c\in \mathfrak{n}$ が存在して

$$R\cong S/(f_1,\dots ,f_c)$$

となることをいう。このとき $c=\dim S-\dim R$ が成り立つ。

基本性質

完全交叉環は Cohen-Macaulay 環である。正則列で割る操作は深さを保つため、$\mathrm{depth}R=\dim R$ が成り立つ。

さらに、完全交叉環は Gorenstein 環でもある。標準加群が $R$ 自身と同型になり、双対性がよい形で成立する。

例

$R=k[[x,y]]/(x^2)$ は完全交叉である。$S=k[[x,y]]$ は正則で、$x^2$ は $S$-正則列（長さ 1）なので、$R$ は完全交叉となる。

$R=k[[x,y,z]]/(xz,yz)$ は Cohen-Macaulay だが完全交叉ではない。$(xz,yz)$ は 2 元で生成されるが、$k[[x,y,z]]$-正則列ではないためだ。

幾何学的意味

代数幾何学において、完全交叉は「余次元に等しい個数の方程式で定義される」多様体に対応する。アフィン空間 ${\mathbb{A}}^n$ の中で $n-d$ 個の方程式で定義される $d$ 次元多様体が完全交叉だ。

たとえば、3 次元空間内の 2 本の曲面の交わりとして定まる曲線は完全交叉である。一方、twisted cubic（3 次空間曲線）は完全交叉ではない。

ホモロジー的特徴づけ

完全交叉環は次のホモロジー的条件で特徴づけられる。$(R,\mathfrak{m},k)$ を局所環とするとき、$R$ が完全交叉であることと

$${\dim }_k{\mathrm{Ext}}_R^2(k,k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\dim }_k{\mathrm{Ext}}_R^1(k,k)}{2}\right)$$

が成り立つことは同値である。この条件は Koszul 複体の構造から来ている。

特異点解消との関係

完全交叉特異点は、特異点理論において比較的扱いやすい。孤立特異点の場合、Milnor ファイバーやモノドロミーの理論が展開でき、位相的不変量が計算しやすい。

正則でない完全交叉環は特異点をもつが、その特異点は「単純」であり、解析的にも代数的にもよい性質をもつことが多い。